W niedawnym wpisie zaproponowałem wzór na procentową zmianę ceny kawy, gdy zmienia się jej podaż:
Zmiana ceny = [1 / (1 + zmiana podaży) - 1] * 100%
Oczywiście można to uogólnić na każdy towar. Mamy więc formułę:
Chociaż ułożyłem to na szybko, "pi razy oko", bo ładnie pasowało, to sprawdzę co wyjdzie, jeśli z tego wzoru wyprowadzę cenę.
Przekształcamy:
Teraz całkujemy obie strony, ponieważ chcemy dostać sumę tych zmian:
a prawa:
gdzie u = Q + dQ, a wtedy zmiana du = dQ.
Wracamy do Q + dQ zamiast u, więc mamy:
W sumie:
gdzie C = C1 + C2.
Obustronnie stosujemy funkcję wykładniczą, exp(), pozbywając się logarytmów i dostajemy:
Oznaczając A = e^C:
Przy całkowaniu dostaliśmy sumę wszystkich zmian cen procentowych, aby dostać pewnego rodzaju krzywą podaży, ale krzywa ta nie jest zawieszona w próżni - cena logarytmiczna jest na osi pionowej i ma pewną wartość początkową C1, a logarytmiczna podaż jest na osi poziomej i jej wartość początkowa jest stałą C2, dlatego dodajemy te stałe przy całkowaniu. Samo C sumą obydwu stałych, czyli połączeniem logarytmów ceny i podaży. Funkcja wykładnicza z C daje e^C, którą oznaczyliśmy jako A. Załóżmy, że mamy jakąś cenę początkową P0, której odpowiada podaż Q0. W krótkim okresie czasu podaż się nie zmienia, a my chcemy wyznaczyć cenę na dany moment. Wynika z tego, że dQ = 0.
W takim momencie
Ogólny wzór na cenę byłby wtedy następujący:
lub inaczej:
Ten drugi wzór pozwala posługiwać się jedynie zmianami podaży w stosunku do wybranego punktu początkowego 0.
Uzyskany wzór możemy użyć w dwóch wersjach.
Wersja 1)
Pierwsza zakłada, że ponieważ cena P dotyczy zawsze momentu, a nie okresu, to dQ = 0, co dałoby:
Wersja 2)
Druga przyjmuje faktyczną podaż na chwilę obecną (Q), ale antycypuje już zmianę w niedalekiej przyszłości:
Obie wersje tak naprawdę powinny dawać te same wyniki. Różnica jest tylko taka, że w pierwszej wersji za Q przyjmujemy podaż, która jest oczekiwana przez rynek / inwestora. Z kolei druga wersja przyjmuje faktyczną podaż (Q) na dziś, która jednak już się zmienia lub za chwilę się zmieni. W tej wersji mamy dwie zmiany: z Q0 na Q oraz dQ. Często możemy przyjąć, że Q = Q0, jeżeli Q0 dotyczy niedalekiej przeszłości.
Ważną sprawą jest zrozumienie, że ta analiza zakłada, że w każdym punkcie popyt = podaż, dlatego zmiany w podaży są jednocześnie zmianami popytu. Jednocześnie krzywa popytu się nie zmienia - po prostu przesuwamy się po jej punktach, gdy podaż się ciągle zmienia. Stąd funkcja P = Q0*P0 / Q może być interpretowana jako funkcja zagregowanego popytu i będzie ją reprezentować krzywa:
Trzeba pamiętać, że ten model pokazuje jedynie sytuację, gdy zmienia się podaż, popyt się do niej dostosowuje, ale już nie wpływają na niego inne czynniki.
Przykład. Wycena kawy arabica.
Podaż kawy w 2025 ma spaść w stosunku do 2024 o 25%. Dotyczy to sezonu 2026/25. Jednak podaż za sezon 2025/24 praktycznie się nie zmienia w stosunku do poprzedniego. Powiedzmy, że nasza cena startowa P0 to średnia w roku 2024 - wyniosła ona ok. 230 (z tygodniowych danych). Tak jak pisałem, obecna podaż nie zmieniła się, tzn. Q = Q0. Jednak w kolejnym roku nastąpi spadek o 25%. mamy więc:
P = P0 / (Q0 / Q0 + zmiana Q) = 230 / (1 - 0,25) = 307.
W Brazylii inflacja jest, jak w Polsce, dość wysoka i wynosi 4,5-5%. Dodajmy więc 5% inflacji:
307*1,05 = 322.
Sama tygodniowa stopa zwrotu ma odchylenie st. 4,4%, więc taką wartość można by umieścić w zakresie 307 - 336.
Powiedzmy jednak, że punktem odniesienia jest 250, ponieważ od tego punktu dyskontowano informacje o spadku podaży. Mielibyśmy wtedy 250 / (1 - 0,25) = 333. Ponieważ to był listopad 2024 nie będziemy już dodawać inflacji, ale dodamy odchylenie 4,4%. Dostaniemy przedział 319 - 348. Obecna cena kawy wynosi ponad 380 $, więc z punktu widzenia tego modelu jest mocno przewartościowana.
Oczywiście nie jest powiedziane, że model jest prawidłowy. O tym się przekonamy, jeśli cena spadnie w te rejony.
