Pokrzywiony dzwon - rozkład lognormalny

W wielu współczesnych modelach ekonomicznych pojawia się założenie lognormalności rozkładu tempa zmian jakiejś cechy, choć rozkład ten nie jest zbyt dobrze znany w finansach. Z czego wynika to założenie? To jest tematem tego artykułu. Gdyby najprościej chcieć zdefiniować rozkład logarytmicznie normalny (log-normalny), to powiedzielibyśmy, że jeśli logarytm zmiennej x ma rozkład normalny, to sama zmienna x ma rozkład lognormalny. O ile dla logarytmu z x rozkład jest normalny, to dla samego x będzie log-normalny. To przekształcenie z funkcji ln(x) na x przekształca kształt rozkładu, który staje się asymetryczny. Poniższy przykład pozwala porównać oba rozkłady:

Jak widać lognormalny rozkład może posiadać dużą prawostronną skośność. Co więcej, posiada on także niezerową kurtozę odpowiadającą za to, że rzadkie zdarzenia nie są aż tak rzadkie.

Wprowadźmy logarytmiczną stopę zwrotu w okresie od 0 do t:

(1)

Czysto matematycznie stopę tę możemy rozłożyć na sumę wielu podokresów:

Zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym w ogólnej postaci, jeśli losowa logarytmiczna stopa w każdym podokresie będzie miała skończoną wartość oczekiwaną i wariancję, to suma wielu takich stóp zwrotu będzie dążyć do rozkładu normalnego. Nie jest konieczna niezależność stóp zwrotu (chociaż musi być zachowana ogólna losowość i autokorelacja stóp może być tylko czasowa) ani identyczność rozkładów w każdym okresie - proste ujęcie można przeczytać w angielskiej wikipedii:
https://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem#Central_limit_theorems_for_dependent_processes

Bardziej szczegółowe i specjalistyczne omówienie tego zagadnienia Czytelnik znajdzie np. w [1].

Skoro suma takich stóp dąży do normalności, to znaczy, że logarytmiczna stopa zwrotu podana we wzorze (1) ma w gruncie rzeczy rozkład normalny. Przekształćmy teraz wzór (1):

Ale matematycznie oznacza to, że:

 I w ten sposób dotarliśmy do rozkładu lognormalnego: jeżeli zmienna x ma rozkład normalny, to exp(x) ma rozkład lognormalny (zob. np. Log-normal_distribution ). Wynika z tego, że stopa brutto P(t) / P(t-1) musi mieć rozkład log-normalny. A zatem prosta stopa zwrotu netto, P(t) / P(t-1) - 1, także ma rozkład log-normalny.

Oparcie się na centralnym twierdzeniu granicznym wynika z faktu, że logarytmiczne stopy zwrotu można do siebie dodawać. Rozumowanie to nie jest więc możliwe do przeprowadzenia na zwykłych stopach zwrotu. Z drugiej strony jeśli suma zmiennych dąży do rozkładu normalnego, to również średnia arytmetyczna musi do niego dążyć. W związku z tym ostatnim zdaniem rodzą się liczne nieporozumienia: można pomyśleć, że skoro tak, to średnia miesięczna stopa zwrotu z danego roku powinna dążyć do rozkładu Gaussa. Ale przecież jest to średnia zaledwie z 12 miesięcy, podczas gdy twierdzenie dotyczy granicy w nieskończoności okresów.

Z punktu widzenia miar średnich możemy uznać, że:
- geometryczna stopa zwrotu powstająca poprzez cechę multiplikatywności stóp zwrotu brutto będzie mieć rozkład logarytmicznie normalny
- arytmetyczna stopa zwrotu powstająca poprzez sumę stóp zwrotu netto będzie mieć rozkład normalny.

Dodatkowo również warto zastanowić się nad kwestią wskaźnika Sharpe'a opartym na idei symetryczności ryzyka. Jeśli już stosujemy ten wskaźnik to powinniśmy raczej używać logarytmicznych stóp zwrotu, aby uzyskać rozkład normalny, a przez to symetryczność. Właściwie wszędzie tam gdzie potrzebna jest symetria rozkładu, trzeba oprzeć się na logarytmicznych stopach zwrotu. Nic dziwnego więc, że w modelach Markowitza, CAPM i innych często się ich używa.

Podsumowując, rozkład log-normalny jest bardziej naturalnym czy nawet "normalnym" rozkładem od rozkładu Gaussa dla stóp zwrotu, a jego zrozumienie zmienia nasze spojrzenie na statystykę w finansach.

Literatura:

[1] Andrews D. W. K., An  Empirical  Process  Central  Limit  Theorem for  Dependent  Non-identically  Distributed Random  Variable,  Journal of Multivariate Analysis 38, 187-203 (1991);
[2] E. Limpert, W. A. Stahel, M. Abbt, Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues, May 2001 / Vol. 51 No. 5
[2] https://en.wikipedia.org 

Czym się różni oczekiwany zysk od wartości oczekiwanej zysku?

Ten wpis mógłbym rozpocząć i zakończyć jednym zdaniem: Oczekiwana stopa w sensie ekonomicznym to nie jest wartość oczekiwana stopy w sensie matematycznym. Zakończenie takim zdaniem nie jest jednak do końca pełne. Gdybym sam się mocniej nad tym nie zastanawiał, to uznałbym to zdanie za banalne - na pierwszą kategorię spojrzałbym przez pryzmat wymagań: inwestorzy będą brać pod uwagę nie tylko dane statystyczne, tzn. ilościowe, ale także jakościowe, czy finanse są przejrzyste, czy zarząd wypełnia swoje obowiązki i wywiązuje się z obietnic lub prognoz itp. Ponadto mogą przyjść informacje ekonomiczne, które zmienią poziom ryzyka, a więc i wymaganą premię za ryzyko.
Z tego punktu widzenia oczekiwana stopa wydaje się być czymś ulotnym, subiektywnym, opartym bardziej na funkcji użyteczności niż twardych danych historycznych.
Jednak idąc tropem modeli ekonomicznych, takich jak CAPM dochodzimy do wniosku, że oczekiwana stopa zwrotu jest jak najbardziej do obliczenia. Tak więc pełniejsza odpowiedź na tytułowe pytanie byłaby następująca. O ile wartość oczekiwana jest po prostu miarą statystyczną, o tyle na oczekiwaną stopę zwrotu wpływają koszty ekonomiczne jak czas i ryzyko. To ryzyko może mieć charakter zarówno mikroekonomiczny, a więc dotyczyć tylko samej spółki, jak i makroekonomiczny, a więc dotyczyć gospodarki, która z kolei przekłada się na zmiany indeksu giełdowego. W pierwszym przypadku, jeżeli przychodzi wiadomość, że spółka zostaje zmuszona zwiększyć zadłużenie, wzrasta ryzyko niewypłacalności, zatem inwestorzy będą wymagać większej premii za ryzyko trzymania akcji - oczekiwana stopa zwrotu rośnie (cena spada), ale przecież wartość oczekiwana nie zmienia się... W drugim przypadku, jeżeli gospodarka nagle się osłabia, to zwiększa się niepewność rynku, tak że inwestorzy będą wymagać większej premii za ryzyko trzymania akcji, tj. zwiększa się oczekiwana stopa zwrotu (indeksy spadają), ale - znów - wartość oczekiwana stopy nie zmieniła się. A przecież dokładnie o tym mówi CAPM, zgodnie z którym oczekiwana stopa zwrotu stanowi funkcję ceny za ryzyko (tj. powiązania awersji do ryzyka z samym ryzykiem). Jeżeli więc akcje są skorelowane z rynkiem , to sama wartość oczekiwana może być zupełnie różna.

Jednak chyba najtrudniejszą rzeczą do zrozumienia tutaj jest przejście od modelu Markowitza do CAPM. Model Markowitza opiera się na oczekiwanych stopach zwrotu, które mogą jeszcze zostać utożsamione z wartościami oczekiwanymi (średnimi). Ale jego przejście w CAPM zmienia skalę mikro w makro, tzn. powstaje korelacja z całym rynkiem i z tego powodu oczekiwana stopa zwrotu staje się miarą opartą na ryzyku rynkowym - a więc nie może być obliczona tak po prostu przez średnią. To daje do myślenia!

Zmiany i ceny akcji są miarami subiektywnych oczekiwań inwestorów. Zupełnie inna sprawa dotyczy takich kategorii jak zmiany przychodów, zysku, dywidendy czy przepływów pieniężnych. Inwestorzy nie mają wpływu na te parametry, nie mogą więcej wymagać od spółki, bo wymagają maksimum efektywności zarządzania. Oczywiście kolejne informacje zarówno mikro jak i makro, będą wpływać na ocenę oczekiwań finansów spółki. Tylko że ocena tych oczekiwań kształtuje właśnie kurs i stopy zwrotu, a nie kategorie księgowe. Można powiedzieć, że kategorie księgowe są obiektywne, a rynkowe subiektywne. O ile oczekiwana stopa zwrotu z akcji jest funkcją "subiektywnej" awersji do ryzyka oraz "subiektywnej" miary ryzyka, o tyle parametry księgowe im nie podlegają, a na pewno nie podlegają w tak szerokim zakresie. Dlatego ich oczekiwania będą wyznaczane przez jakieś średnie.

Podsumowując: zawsze musimy wiedzieć co dokładnie chcemy wyznaczyć. Jeżeli chcemy stworzyć tylko optymalny portfel Markowitza, to wystarczy wyznaczyć pewną średnią stopę zwrotu. Jeśli chcemy oszacować stopę zwrotu w równowadze rynkowej (ile inwestor ma prawa wymagać), wtedy sięgamy do modeli równowagowych, jak CAPM. Jeśli utożsamimy wartość fundamentalną akcji z wartością w równowadze, to do wyznaczenia takiej wartości będzie potrzebna stopa dyskontowa w równowadze - a taką uzyskamy z modeli równowagowych, jak CAPM. Jeśli z kolei interesują nas kategorie księgowe, to ich zmiany będziemy badać wyznaczając odpowiednie średnie.