Stopa procentowa r jest ceną uzyskania i trzymania pieniądza. Trzymanie pieniądza wiąże się z wymiarem czasu, a zatem r jest ceną czasu. Czas możemy podzielić na okresy 0,1,...n. Początkowy kapitał x z okresu 0 zostaje powiększony w okresie 1 o x*r. W drugim okresie posiadamy już x+x*r, a więc ten kapitał staje się znów początkowy w stosunku do drugiego okresu i powiększony o x*r, czyli uzyskujemy:
t=2 (x+x*r)+(x+x*r)*r = (x+x*r)(1+r) = x(1+r)(1+r)=x(1+r)^2.
Każdy kolejny okres zostaje w analogiczny sposób potraktowany:
t=3 x(1+r)^2+(x(1+r)^2)*r = (x(1+r)^2)(1+r) = x(1+r)^3
...
...
t=n x(1+r)^n
Powyższe odwzorowanie można uogólnić, jeśli chcemy uwzględnić kapitalizację częstszą niż raz na okres t (czyli najczęściej miesięczną lub kwartalną). Wówczas każdy t-ty okres dzieli się na m podokresów. W sumie otrzymujemy m*n podokresów. Jeśli r jest roczną stopą procentową, to r/m będzie miesięczną lub kwartalną stopą procentową. Zatem wartość przyszła ze wszystkich podokresów wyniesie:
x(1+r/m)^(m*n)
Jeśli tylko m dąży do nieskończoności, otrzymamy wzór na kapitalizację ciągłą x*e^(r*n):
Pamiętamy, że odległość pomiędzy dwiema orbitami (trajektoriami) układu dynamicznego, zachowuje się zgodnie ze wzorem exp(L*n), gdzie L=r, L - współczynnik Lapunowa. Wykładnik L nie jest więc stopą procentową aktywa, lecz zmiany (wartości) aktywa:
zmiana warunków po t-tym okresie czasu = (zmiana warunku początkowego w okresie 0)*exp(t*L).
Istnieje ścisły związek pomiędzy stopą procentową r a stopą zwrotu (inaczej efektywną stopą procentową) R:
efektywna stopa procentowa = R = (wartość przyszła - wartość dzisiejsza)/wartość dzisiejsza.
Czyli w naszym przykładzie:
Przekształćmy to wyrażenie:
R+1 = exp(r*n)
ln(R+1)=r*n.
A więc
Ponieważ R można zapisać jako [P(n)-P(0]/P(0), gdzie P(t) - cena aktywa a okresie t, to
R+1 = P(n)/P(0), czyli indeks ze stopy zwrotu.
Ostatecznie:
r = (ln(P(n)/P(0))/n
Wyrażenie ln(P(n)/P(0)) nazywa się logarytmiczną stopą zwrotu.
Znaczenie praktyczne logarytmicznej stopy zwrotu jest ogromne, można bowiem bezpośrednio dodawać do siebie poszczególne stopy zwrotu (na przykład z różnych akcji - błędem jest dodawanie zwykłych arytmetycznych stóp podawanych przez serwisy), co nie jest możliwe w przypadku arytmetycznych stóp zwrotu, czyli R.
Aby L=r, we wzorze na R za P(t) należy podstawić P(t2)-P(t1), gdzie P(t2)-P(t1) oznacza błąd pomiaru lub prognozy, co oznacza różnicę wartości w t-tym okresie czasu pod wpływem błędów w warunkach początkowych. Czyli stopa R musi wyrażać się już wzorem:
Poprawny jest nadal wzór:
R = exp(r*n)-1, jeśli tylko błąd P(t2)-P(t1) nie wynosi zero.
Zaś wykładnik L:
Powinienem zapisać, że t=0, ponieważ zaczynamy od okresu 0:
Przewidzenie ruchu kursu wydaje się więc zadaniem niewykonalnym, jeśli L>0. Po pierwsze trzeba by na podstawie danych z przeszłości potrafić wyznaczyć dokładną drogę, po której poruszał się kurs. Czy tylko na podstawie samych zmian kursu (które często zmieniają się szybciej niż co minutę) będziemy w stanie wyznaczyć odwzorowanie generujące trajektorię kursu? Jeśli będziemy chcieli tylko w przybliżeniu oszacować kurs, nasze wysiłki zdadzą się na nic. Jeśli L=0,2, a błąd w warunku początkowym wyniesie 1 grosz, czyli 0,01 zł, to teoretyczny błąd po 100 okresach wyniesie exp(0,2*100)*0,01=4851651,95 zł. A więc błąd po 100 okresach równa się 4,85 mln zł. Jeśli 1 okres to minuta, to błąd ten wyniesie już po 100 minutach. Jak to możliwe? Czy tak wielkie odchylenie nie jest jakimś fałszem?
Poniżej przedstawię, skąd tak naprawdę biorą się tak duże odchylenia po n iteracjach.
Najpierw definiujemy L jako średnią wartość logarytmu pochodnej wzdłuż trajektorii P. Czyli chcemy wiedzieć, jak średnio zmienia się trajektoria kursu po n iteracjach (n okresach) pod wpływem pewnego początkowego błędu.
Dlaczego bierzemy średnią logarytmu, a nie po prostu średnią? Ze względu na własności logarytmów. Suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu jego wyrazów:
ln(dP(n)/dP(n-1)+ln(dP(n-1)/dP(n-2)+...+(ln(dP(1)/dP(0) =
ln(dP(n)/dP(n-1)*dP(n-1)/dP(n-2)*...ln(dP(1)/dP(0) = ln(dP(n)/dP(0))
Czyli mamy nasz poprzedni wzór:
Inaczej możemy to zapisać (poprzednio już to widzieliśmy), że
L=1/n*ln(P(n2)-P(n1)])/[P(t2)-P(t1).
Niech b oznacza błąd początkowy. Możemy zapisać, że
P(n2)=[P po n-tej iteracji](b) - wartość końcowa, gdy wystąpił błąd na początku
P(n1)=[P po n-tej iteracji](0) - wartość końcowa, gdy nie wystąpił błąd na początku
P(02)=P(b) - wartość początkowa z błędem na początku
P(01)=P(0) - wartość początkowa bez błędu
Z definicji pochodnej otrzymujemy (różnica P(b)-P(0)=dP(b)=b):
([P po n-tej iteracji](b)-[P po n-tej iteracji](0))/b = dP(n)/dP(0)
([P po n-tej iteracji](b)-[P po n-tej iteracji](0) = dP(n)/dP(0)*b
Ponieważ L = 1/n*ln(dP(n)/dP(0)) to dP(n)/dP(0) = exp(n*L).
Stąd wzór:
błąd po n-tej iteracji = exp(n*L)*(błąd w okresie 0).
Zapiszmy to jeszcze raz bo to ważne:
Można powiedzieć, że wyprowadziliśmy ten sam wzór na błąd po raz drugi. Jednak należy zauważyć, że o ile drugi sposób jest dużo precyzyjniejszy, to nie wyjaśnia w sposób teoretyczny stosowania logarytmów, a jedynie techniczny.
Połączenie obu sposobów daje pełny obraz na temat L. Stopa procentowa nieprzewidywalności okazuje się średnią logarytmu pochodnej błędu pomiaru dla kapitalizacji ciągłej. Chociaż moglibyśmy się uprzeć i zastosować wzór na kapitalizację dyskretną. Różniczki wynikające z definicji wykładnika Lapunowa mogą bowiem zostać zastąpione różnicami. Mając do czynienia z odwzorowaniem jednowymiarowym (a więc po prostu cena dnia następnego zależy tylko od ceny bieżącej), dla początkowego błędu 0,01 zł, kapitalizacji dziennej dającej dzienną stopę procentową +0,03 (roczna stopa procentowa wyniosłaby 10,8, r/360=0,03=>r=10,8), po miesiącu błąd by się dopiero podwoił
(0,01*(1+0,03)^30 = 0,024). A więc dla błędu 10 gr, błąd wyniósłby po tym samym czasie 24 grosze. Ale po roku początkowy błąd 10 gr wyniósłby już 4182,16 zł.
Należy jednak zwrócić uwagę, że błędy o jakich mówimy, stanowią raczej miernik niemożliwości prognozowania niż faktyczne wartości odchyleń. Zacytuję fragment pracy "Analiza i przetwarzanie sygnałów chaotycznych" Z. Galiasa, który we wstępie ogólnie pisze czym są układy chaotyczne. Autor ogranicza się do dyssypatywnych układów, czyli takich, w których energia zostaje rozproszona - w takich układach rozwiązania znajdują się w pewnej kuli, której już nie opuszczą.
Przez chaos w takich układach będziemy rozumieć nieregularne zachowanie, które wydaje się być przypadkowe, ale takie nie jest. Przypadkowość ta jest wynikiem wrażliwości trajektorii na warunki początkowe objawiająca się w tym, że dwie trajektorie startujące z dowolnie bliskich punktów, w przypadku układu chaotycznego, zwykle wykładniczo oddalają się od siebie, pozostając równocześnie w ograniczonym obszarze przestrzeni fazowej, i po pewnym czasie stają się nieskorelowane. Układ chaotyczny jest to najprościej mówiąc układ generujący przebiegi ograniczone posiadający własności wrażliwości na warunki początkowe.
Podkreśla się w tym fragmencie, że trajektorie pozostają w pewnym ograniczonym obszarze przestrzeni. Obszar ten można utożsamić z atraktorem, czyli przyciągaczem trajektorii. Wynika z tego, że trajektorie nie fruną sobie w nieskończoność, ale zawijają się wokół siebie. Dlatego, nawet jeśli wystartujemy z dwóch dowolnie bliskich punktów początkowych, to utworzone dwie trajektorie pomimo wykładniczego oddalania się, będą po pewnym czasie się zbliżać, a potem znów się oddalą. Nie wiemy jednak jak i kiedy.
Dlatego w obliczeniach wykładnika Lapunowa nie należy obejmować momentów zbliżania się orbit, czyli kontrakcji, ponieważ arbitralnie ustalamy, aby wykładnik mierzył siłę oddalania się, a nie zbliżania orbit.
