Łatwo powiedzieć, że w USA trwa bańka, która zanim pęknie, może utrzymywać się przez wiele lat. Ale udowodnić, że amerykańskie indeksy są przewartościowane, jest bardzo trudno. Samych metod wyceny istnieje sporo, a to dopiero początek, bo prawdziwe trudności zaczynają się w momencie prognozowania zysków.
Tempo wzrostu EPS (w) - wstępna analiza
Nie chodzi tu tylko o pierwsze lata prognozy, ale też dalszą i daleką przyszłość. Przeanalizujmy dwa okresy EPS S&P 500: 1871-2025 (155 lata) oraz 1981-2025 (45 lat). W pierwszym przypadku średnioroczna arytmetyczna stopa wzrostu wyniosła 8,6%, a w drugim 15,2%. Wiadomo jednak, że średnia arytmetyczna zupełnie się nie sprawdzi dla wygładzonych prognoz chociażby dlatego, że w jednym roku zysk może być bliski zera, a w następnym powrócić do trendu, tak że średnia pokaże gigantyczny wzrost procentowy. Zauważmy na przykład, że spadek z 10 do 0,1 oznacza -99%, ale wzrost z 0,1 do 10 oznacza 9900%.
Podejścia do tego problemu są różne. Jedni powiedzą, że nie można usuwać sztucznie szoków, bo stanowią naturalną część dynamiki gospodarczej. Traktują je więc jak grube ogony rozkładu prawdopodobieństwa albo tworzą modele które uwzględniają rzadkie zmiany. Inni powiedzą, że takie podejście byłoby uprawnione, gdyby te odchylenia były systematyczne. Jeżeli nie są, to jedynie zaburzają prawdziwy wzrost w długim terminie i dlatego należy je potraktować jak obserwacje odstające.
Zobaczmy różnicę, gdy usuniemy te zaburzenia. Użyję funkcji tsoutliers() albo tsclean() w pakiecie forecast (język R). Porównajmy oryginalne dane z "poprawionymi", najpierw od 1871 roku:
Od 1981 roku:
W pełnej próbie średnia spada do 6,2%, a drugiej zmniejszyła się aż o połowę - do 7,5%. Czyli taka poprawka zredukowała różnicę między próbami. Powstaje uzasadnione pytanie, czy średnia istotnie się zmienia? Trzeba przeprowadzić kilka testów. Wg KPSS zmienna mieści się w granicach stacjonarności, choć na styk (p-value = 0.0858), natomiast ADF i PP jednoznacznie opowiadają się za stałością średniej (p-value < 0.01).
Wariancja także się nie zmienia (Test Breuscha–Pagana: p-value = 0.162, a po usunięciu outlierów także Harrison-McCabe: p-value = 0.976).
Oczywiście testy odrzuciły rozkład normalny oryginalnej zmiennej, ale co ciekawe odrzuciły go nawet po usunięciu obserwacji odstających (Shapiro-Wilk: p-value = 0.0135, Jarque Bera: p-value = 0.000146).
Aby znaleźć "prawdziwą" średnią posłużę się pakietem rugarch, który wbrew pozorom nie służy tylko do modelowania procesów GARCH. Najlepsze dopasowanie do oryginalnych zmian dostałem dla uogólnionego rozkładu błędów (GED - generalized error distribution). Kryteria BIC i HQIC wskazywały różne modele, ale BIC był stabilniejszy w tym sensie, że po ucięciu pierwszych lub ostatnich obserwacji bardzo często wskazywał na model czystego szumu, tj. bez autokorelacji, z istotną średnią na poziomie 6,67%. Chociaż test Breuscha–Godfreya nawet sugeruje autokorelacje dla 5-tego rzędu, co pokrywałoby się z wynikami HQIC, to wszystko to jest chwiejne i po ucięciu pierwszych lub ostatnich danych te zależności zanikają. Dlatego BIC jest tu całkowicie wystarczające.
W ten sposób z powyższego modelu otrzymałem średnią stopę zwrotu 6,7%. Dla przypomnienia, ta średnia została wyłuskana dzięki przyjęciu rozkładu GED i z oryginalnych danych, czyli bez sztucznego usuwania outlierów.
Zauważmy, że uzyskane 6,7% jest bardzo bliskie średniej z 6,2% i 7,5% otrzymanych wcześniej (Nawiasem mówiąc identyczny wynik dostałem dawno temu, gdy liczyłem średni wzrost dla lat 1933-2009, zob. tu). Oznacza to, że faktycznie ostatnie 45 lat nie zmieniły wcale średniego tempa wzrostu największych firm amerykańskich. Jak się tak zastanowić, to jest dość niesamowite, że średnio te spółki rozwijają się ciągle w takim samym tempie, niezależnie od tego, jakie tam trafią i z jakimi wagami. Stąd naprawdę trudno mieć pretensje do sceptyków wątpiących w utrzymanie tempa wzrostu na obecnym poziomie po 10-15%. Biorąc powyższe pod uwagę, przyjmuję "średnią arytmetyczną" 6,7%.
Ponad 150 obserwacji, nawet stacjonarnej zmiennej, to jednak nie jest zbyt dużo. Prawdziwa wartość oczekiwana będzie zbliżona do estymatora Blume'a (EB), który stanowi średnią ważoną średniej arytmetycznej i geometrycznej. Estymator na pierwsze lata do przodu będzie bliski "średniej arytmetycznej", tj. 6,7%. Ale w bardzo długim okresie - za 100 lat i więcej - będzie zbliżał się do geometrycznej, która wyniosła 4,2% (w latach 1871-2025) . Co więcej, gdyby przyjąć surową wersję EB, po 155 latach wartość dalej spadałaby, co można by interpretować jako karę za niepewność. Ja jednak przyjąłem, że nie może spaść poniżej stopy wolnej od ryzyka. Teoretycznie można przyjąć, że granicą jest zerowy wzrost, co odpowiadałoby modelowi Gordona ze stałymi dywidendami. Żeby jednak go przyjąć, trzeba by uzasadnić, dlaczego zyski czy dywidendy nie będą już rosły. W końcu cykl życia firmy dla indeksu nie obowiązuje. Prawda jest taka, że DCF / DDF trzeba tak zbudować, aby po tych 155 latach nastąpiło już tak duże dyskonto, że nie będzie miało większego wpływu na wycenę. To stanowi też wskazówkę do ustalenia stopy dyskontowej.
Stopa dyskontowa (r)
Chociaż stopa dyskontowa to nie jest dokładnie to samo co wymagana (oczekiwana) stopa zwrotu, bo dotyczy teraźniejszości (w sensie sprowadzania wartości do chwili obecnej), a nie przyszłości (prognozy przyszłości), to będziemy je utożsamiać ze sobą. I od razu na początku należy wyjaśnić jedno nieporozumienie na temat składników oczekiwanej stopy zwrotu. Jeżeli mówimy o wartości na akcję, to zawsze będzie to aprecjacja ceny plus stopa dywidendy. Nie ma znaczenia czy są emisje akcji lub nabycie akcji własnych. Akcjonariusz pośrednio je otrzymuje poprzez większą lub mniejszą liczbę akcji. Jeśli liczba akcji spada, rośnie wartość na akcję; i odwrotnie, gdy liczba akcji rośnie. Dlatego wyceniając pojedynczą akcję błędem jest dodawanie buybacków i nowych emisji. W ten sposób podwoilibyśmy zysk z akcji. Emisje i nabycia można dodawać tylko w przypadku wyceny całego kapitału własnego, tj. pełnej kapitalizacji. Na koniec można oczywiście uzyskać wycenę 1 akcji poprzez podzielenie kapitału przez bieżącą liczbę akcji i będzie to drugi prawidłowy sposób wyceny. Ale to oznacza, że nie można rzecz jasna posługiwać się wtedy historyczną stopą wzrostu z 1 akcji (w tym indeksu), tylko pełnego kapitału.
W całym okresie 1872-2025 średnia arytmetyczna aprecjacji S&P 500 oraz jego stopy dywidendy wyniosła 10,6%:
Co ciekawe, w tym wypadku nie było w ogóle obserwacji odstających. Stopa zwrotu okazała się nie tylko stacjonarna, ale również gaussowska. Jednakże wariancja miała okres zaburzeń w latach 20. i 30. ubiegłego wieku, co wykazał test MOSUM:
Z powodu tych czasowej niestabilności dobrze jest sprawdzić średnią już po tym okresie. Np. od 1945 faktycznie średnia rośnie do 12,2%. Ale tak jak w księgowości obowiązuje zasada współmierności przychodów i kosztów, tak przy wycenie trzeba wstawić parametry z tego samego zakresu. Bez outlierów średni wzrost EPS od zakończenia II wojny światowej wyniósł 8,1%. To oznacza, że różnica między r a w będzie zawsze wynosić nieco ponad 4 pkt proc.
Zaburzenia samej wariancji skłaniają do sprawdzenia modelu GARCH. Faktycznie model ten daje lepsze dopasowanie, tzn. BIC i HQIC są niższe niż bez równania z wariancją. Jednak gdy ustawimy ARCH(1), to średnia stopa zwrotu staje się trochę wyższa niż średnia (10,6%), bo dokładnie 11%.
Średnia geometryczna S&P 500 "Total Return" (który sztucznie stworzyłem rozpoczynając od 1871 r. z wartością 1) w ciągu 155 lat wyniosła 9,4%. Mimo ogólnej stacjonarności, muszę przyznać, że większe zaufanie mam do danych po 1945 roku. Formalnie indeks powstał dopiero w 1957 roku, a dla wcześniejszych lat otrzymujemy jedynie rekonstrukcję historyczną. W latach 30 ub. w. zaczęto tworzyć indeks, nie od razu to było 500 spółek. Co więcej, sprawozdawczość finansowa nie była tak rozwinięta, a standardy były słabe. Dlatego skłaniałbym się do uznania średniej geometrycznej ok. 11,2%, bo tyle wyniosła od 1945. Czyli w długim okresie tyle naprawdę zarabia amerykański inwestor w skali roku.
Mając obie średnie, naturalne nasuwa się pytanie o zastosowanie analogicznego EB dla stopy dyskontowej. Pomijając problemy matematyczne związane z EB dla współczynnika dyskontowego [1], zauważmy, że średnia arytmetyczna i geometryczna aż tak bardzo się nie różnią. W sumie uznajemy, że mamy jedną średnią równą 11%.
Czy jeśli pozostawimy stałą stopę dyskontową w każdym okresie, a stopa wzrostu będzie się zmieniać, to wycena będzie spójna? Trzeba pamiętać, że formalnie r nie jest parametrem analogicznym do w. Nawet jeśli firma przestanie zwiększać zyski, to oczekiwana stopa zwrotu może pozostać na tym samym poziomie co dotychczas - inwestor wymaga wtedy większej stopy dywidendy albo buybacków. Jeśli dywidenda nie może rosnąć z powodu pogorszenia rentowności, to kurs akcji spada, tak aby przyszła stopa zwrotu pozostała na tym samym poziomie. Stąd powstaje pułapka w różnicy między uśrednianiem historii a szacowaniem przyszłości, bo skoro kurs spada, to średnia stopa zwrotu spadnie. Dlatego wielu ekonomistów opowiada się za stosowaniem metod bayesowskich, które wykorzystują informacje subiektywne lepiej oddające przyszłe oczekiwania inwestorów. Premia za ryzyko nie zależy od tego czy firmie szło dotychczas dobrze czy źle, ale od tego, jak inwestor ocenia jej perspektywy przy jednoczesnym oporze własnym wobec niepewności tej oceny.
Z drugiej strony r nie może być dowolnie zależne od akcjonariuszy, bo wynika z równowagi popytu i podaży. Najlepiej widać to w momencie emisji akcji. Chociaż w aukcji czynny udział biorą sami kupujący, to emitent narzuca początkowe warunki, a te zależą od potrzebnego kapitału na inwestycje. Oznacza to, że emitent z góry zakłada, że uda mu się osiągnąć zamierzone cele, np. wygenerować dodatkowe zyski, tzn. większe g. Inwestorzy albo w to uwierzą, albo nie. Na rynku wtórnym sprawa się jednak komplikuje, bo strona podażowa odrywa się od sfery realnej. Jeśli pojedynczy inwestor nie ma wpływu na działalność spółki, to prawie cały ruch cenowy odbywa się w sferze spekulacji. Niewielka pozostała część stanowi średnią stopę oszczędności na dziś, którą wyznacza się za pomocą krótkoterminowej stopy procentowej, np. rentowności bonów skarbowych 3M. Ważne jest, że stopa procentowa należy do kategorii makroekonomicznej, a więc pojedyncza spółka nie ma wpływu na jej wysokość. Mówimy tu o stopie wolnej od ryzyka, która dowodzi, że strona podażowa musi się całkowicie podporządkować popytowi pod tym względem. Dopiero na premię za ryzyko ma już ona pewien wpływ - chociażby przez kalibrację poziomu zadłużenia czy transparentność w komunikacji z inwestorami. Jesteśmy jednak w tej komfortowej sytuacji, że to ryzyko jest minimalne w tym sensie, że w przypadku indeksu akcji ważonego ich kapitalizacją:
- jest dynamicznie dywersyfikowane (pogorszenie wyników obniża wagę),
- największe spółki muszą być maksymalnie transparentne,
- ryzyko bankructwa nie istnieje, dopóki kraj nie zbankrutuje (rosnący dług USA jest faktycznie problemem, ale nadal ten kraj jest uważany za punkt odniesienia dla ryzyka światowego czy krajowego na rynkach zagranicznych),
- duża kapitalizacja zapewnia płynność,
- w przypadku rynku amerykańskiego brak spółek skarbu państwa, obarczonych ryzykiem politycznym.
Konkluzja jest taka, że stopa dyskontowa jest praktycznie w całości dyktowana przez rynek pieniężny / kapitałowy (tzn. przez sferę makro-pieniężną). A stąd wnioskujemy, że r nie będzie bezpośrednio korelować z w. Pośrednio jednak będzie korelować poprzez stopę wolną od ryzyka, która w dużym zakresie odzwierciedla naturalną stopę procentową, a przez to stan gospodarki, do którego przyczyniają się duże spółki. Faktycznie, historyczna stopa zwrotu z indeksu (nawet bez dywidendy) jest skorelowana ze wzrostem EPS jego spółek między 0,2 a 0,3, choć wartość ta jest niepewna i chwiejna, bo dla lat 1950-2005 była zerowa. Ostatnie 15 lat to powrót do korelacji 0,3.
W tej wycenie zakładam, że r i w są niezależne, jednak w nigdy nie spadnie poniżej stopy wolnej od ryzyka (a więc w tym sensie zachowana będzie zależność). Tutaj powstaje kolejny niuans, bo ważne o jakiej stopie wolnej od ryzyka mówimy: krótko- czy długoterminowej? Wyżej stwierdziłem, że różnica między r a w to będzie zawsze niewiele ponad 4 pkt proc. Z kolei z modelu GARCH otrzymałem r = 11%, wobec tego w wyniesie ok. 7%. Czyli z jednej strony mamy:
11 = 7 + 4 = w + FCF/P
11 = Rf + premia za ryzyko.
Połączmy dwa fakty: (1) premia za ryzyko nie zawiera inflacji (która siedzi w premii za czas), a najwyżej premię za ryzyko zmienności inflacji. Ale za to w zawiera inflację. (2) Rf zawsze będzie mniejsze od 7%, ponieważ stopy procentowe od dawna nie osiągają takich poziomów.
Załóżmy, że Rf = 4%. Wtedy premia za ryzyko = 7%. Wiemy, że w musi spaść (zgodnie z EB), czyli FCF/P musi wzrosnąć, aby r nie zmieniło się. Ale skoro w w bardzo długim terminie staje się bliskie Rf, to FCF musi być równe co najwyżej premii za ryzyko, a więc nie może zawierać inflacji.
Przyjęcie Rf = 4% miałoby sens, gdyby przyjąć, że stopa wolna od ryzyka to krótkoterminowa rentowność bonów 3M, bo mniej więcej tyle właśnie wynosi dziś. Mam jednak wątpliwości co do tego założenia. W długoterminowej równowadze w prędzej będzie zmierzać do naturalnej stopy procentowej w sensie Wicksella (zob. tu) albo średniej geometrycznej tempa wzrostu PKB per capita. W długim okresie PKB na osobę jest bezpieczniejsze. Populacja nie może rosnąć w nieskończoność (chyba że Musk osiedli ludzkość na innych planetach). przy zbyt dużej ludności znowu dojdzie do jakiejś epidemii/pandemii albo wojny. Tak więc PKB na osobę geometrycznie rośnie w tempie 4%, licząc od 1872 r. lub 5% licząc od 1929. Od tego późniejszego roku dane są rzetelniejsze (wcześniejsze są przybliżeniami), dlatego uznamy, że to jest 5%.
Długoterminowa stopa wzrostu
W sumie średnia arytmetyczna = 6,7%, geometryczna zastąpiona 5%, liczba obserwacji T = 155. EB wygląda wtedy tak:
Na to nakładamy funkcję MAX(EB, 1.05^N). Rok prognozy, N, normalnie zaczyna się od 1 w górę, tak daleko, aż dyskonto wyzeruje prognozę. Od razu zaznaczam, że tak liczona stopa wzrostu nie zacznie się od roku 2027 czy kolejnego, bo po pierwsze uwzględniam bieżący cykl, a po drugie trzeba uwzględnić nadwyżkowe zyski dzięki rewolucji AI.
Szacowanie wpływu rewolucji AI na zyski
W poprzednim art. na 2026 szacowałem EPS na poziomie 276. Jednak zgodnie z najnowszymi danymi już dziś wynosi on 295, znacząco przewyższając prognozę. Wynika z tego, że analitycy S&P najlepiej oszacowali wzrost na poziomie 20%, że nawet oni nie doszacowali go, skoro 295 to wartość na czerwiec 2026, a zostały jeszcze dwa kwartały. Bo dzisiejsza roczna stopa wzrostu wynosi aż 28% patrząc na czerwiec 2026/czerwiec 2025. To znaczy, że powinienem teraz właśnie jej użyć do szacowania EPS na 2026. W 2025 było 248, zatem na 2026 dostajemy 317 $ (248*1,28 = 317). Ten potężny wzrost będzie jednak musiał być wyrównany w kolejnych latach w postaci 8-letniego cyklu, który odkryłem w też w poprzednim wpisie. Analiza wykazała, że ów cykl kończy wzrost w 2027 r. Ale skoro w 2026 mamy mieć niemal +30%, to możemy przyjąć, że w 2027 będzie tylko 3-4%, co nie jest pesymistycznym scenariuszem, bo tyle otrzymałem przy prognozie na 2027. Wcześniej dostałem równo 3%, a teraz po aktualizacji między 3,3 a 3,7% w zależności od wielkości próby. Chodzi tu o model ARIMA na filtrze Butterwortha. Dla próby od 1943 dostałem optimum ARIMA(1,1,4), a od 1928 ARIMA(4, 1, 1). W pierwszym przypadku cykl wyniósł 8 lat, czyli tyle samo co wcześniej, gdy badałem od 1980, ale w drugim 6 lat, co sugeruje, że po 2 wojnie św. cykl się wydłużył. W każdym razie przyjmujemy, że następuje domknięcie trendu rosnącego w postaci wzrostu zaledwie 3,5% w 2027. Na 2028 prognozowałem wcześniej spadek EPS, jednak rezygnuję z przyjęcia nominalnego spadku na rzecz jedynie realnego. W 2028-2029 EPS realnie nie będzie rósł. W kolejnych latach zakładam dynamiczny wzrost dzięki AI, jednak pozostaje pytanie jak długo może to potrwać i jak silna może być ta dynamika. Dlatego przygotowałem 2 scenariusze: optymistyczny i sceptyczno-obiektywny. Pierwszy z nich zakłada 25 lat rewolucji sztucznej inteligencji, natomiast drugi ma łagodniejszy przebieg: trwa 15 lat i ma bardziej ewolucyjny charakter. Oba warianty zawierają okres ekspansji i stopniowe wchłonięcie AI przez gospodarkę. Obecny potencjał AI można traktować jako świt nowej ery technologicznej albo jako normalny proces rozwoju technologicznego, taki sam jak wcześniej przemysł, komputery, Internet. Niezależnie od wariantu po etapie przyspieszenia nastąpi powrót do normalnego wzrostu. I dopiero od tego momentu zaczyna działać EB, czyli stopniowy spadek do 5% po 155 latach. Omówmy krótko oba warianty.
Wariant optymistyczny
Wariant ten uważam za główny i na obecną chwilę skłaniam się ku niemu - mimo że nie jest zupełnie obiektywny. Jego główną podstawą jest fakt, że AI nie jest zwykłym wzrostem produktywności z powodu wprowadzenia kolejnej innowacji niezależnej od poprzedniej. Jeśli w jednym roku powstaje LLM, który odciąża pracownika o 5% jego pracy, to w następnym roku ten sam LLM może znowu odciążyć tego pracownika o kolejne 5%, a przecież w tym nowym roku pracownik dostaje od początku więcej czasu na kolejną innowację. Zatem cały efekt się kumuluje: zaoszczędzony koszt czasu powstaje nie tylko dzięki samemu AI, ale także dzięki tej innowacji, którą rok temu wprowadził.
W zasadzie możliwości są jeszcze większe: agent AI może programować nowego agenta AI, a ten agent kolejnego. Każdy kolejny poziom może być nadzorowany przez poziom wyżej. Na końcu agentem może być fizyczny robot wykonujący powtarzalną produkcję. To przypomina swego rodzaju perpetuum mobile dla innowacji przedsiębiorstwa.
Ze względu na zamknięcie cyklu w 2028, szacuję, że koszty zaczną odgrywać coraz większą rolę. Stąd wzrost tylko +2% w 2028 oraz +1% w 2029. W 2030 5%, a od 2031 zaczyna się nowa era: początkowo "tylko" 10%, ale będzie rozkręcało do 2039-2040 r. w którym osiągnie 16% i od następnego roku wzrost nadal duży, ale stopniowo spada: w 2045 będzie to 14%, 2050 11%, w końcu 2056 7%. Od 2057 będzie średnia arytmetyczna (6,7%), która będzie spadać zgodnie z EB.
Wariant obiektywno-sceptyczny
Ten wariant zakłada, że koszty energii i pamięci komputerów redukują wzrost wydajności proponowany przez wariant optymistyczny. Wizja samodzielnych meta-agentów AI jest ograniczona koniecznością nadzoru takiego procesu przez człowieka. Nie chodzi o to, że programiści korporacyjni muszą rozumieć co AI robi, ale muszą rozumieć skutki tego co robi i w razie wystąpienia błędu natychmiast je naprawić.
Niektórzy uważają błędnie, że niewiedza o tym, jak AI coś obliczył czy wywnioskował, stanowi zbyt duże ryzyko dla firmy (czy nawet społeczeństwa). Ale przecież już bez AI korporacje od dawna nie są w stanie ogarnąć jak działa ich własny system, który powstał dawno temu, nad którym pracowało wielu ludzi, spośród których wielu potem odeszło, a który ciągle się rozrastał. Przykładem jest Windows, który zawiera kilkadziesiąt milionów linii kodu. Swego czasu sam się zastanawiałem jak to możliwe, że co chwilę ten system jest aktualizowany i jak ciągle wyłapywane są jakieś dziury. Teraz rozumiem, że po prostu naprawiają tylko to, co wychodzi "w praniu", czyli nie sprawdzają czy dodany kod zgadza się z całą architekturą systemu.
W przypadku agentów AI problem leży w tym procesie "prania". Bo dotychczas znajdowanie błędów w systemie i ich naprawianie szło ze sobą w parze. Gdy jednak agent AI tworzy np. system komputerowy wykorzystując własnych agentów AI, to poziom złożoności systemu powstaje tak szybko, że trzeba mieć specjalnych agentów do znajdowania tych błędów. To rodzi kolejne koszty, które zjadają potencjalne zyski.
Dodatkowo konkurencja (zarówno amerykańska, jak i zagraniczna) będzie stopniowo zwiększać swój udział w rynku, ścinając marże i zmuszając największych graczy do wojny cenowej. Już dziś chińskie modele typu Kimi, GLM (Z.ai), Qwen czy DeepSeek są wielokrotnie tańsze od amerykańskich, a jakościowo niewiele im ustępują (przynajmniej w niektórych typach zadań). Ostatnio Qwen i Grok wprowadziły opcję generowania grafiki. Oczywiście nie wspominam nawet o portalach przeznaczonych do takich zadań.
Może być tak, że ze względu na duże koszty utrzymania infrastruktury, giełdowi giganci będą zmuszeni wprowadzić pełno-płatne usługi AI. Najpierw przyzwyczajają użytkowników do swojego produktu "za darmo", a następnie narzucają opłaty. Finansowo ma to sens, bo przy danej usłudze zostaną tylko ci, którzy za nią płacą. Rzecz w tym, że te osoby, które zrezygnują, będą poszukiwać darmowych alternatyw, które następnie będą pokazywać tym, którzy płacą za usługę.
Jeszcze jedna myśl przyszła mi do głowy. Firmy, które działają na rynku od lat, będą z dużą ostrożnością podchodzić do zastępowania pracowników przez AI, nawet gdyby roczny test jednoznacznie wykazał, że to się opłaca. Muszą brać pod uwagę ryzyko całkowitego uzależnienia od danego producenta AI. Jest różnica między agentem AI a zwykłym produktem typu Excel. Np. gdyby Microsoft przesadził z ceną Office, to ludzie i firmy zaczęliby przestawiać się na darmowe odpowiedniki. Dopóki nie jest dla nich za drogi, nie opłaca im się porzucać rozbudowanego pakietu, którego od lat używali (dla przykładu, choć Microsoft porzucił język VBA, to nadal wiele firm korzysta z tego języka, który jest dostępny jedynie w pakietach Office). Jednak agent AI to zupełnie inna liga - w końcu on miał zastępować pracownika, a nie być jego narzędziem pracy. Oczywiście dla niewielkich zadań, można to traktować jeszcze jak każde inne narzędzie, ale sytuacja się zmienia, gdy ma się stać częścią systemu pracy. Firmy będą chętnie używać agenta AI dopóki będą mogły go w razie czego wymienić tak samo jak pracownika. W sytuacji oligopolu producentów AI wymiana staje się ograniczona. Jeżeli więc w takim środowisku firma miałaby zastąpić wielu pracowników jednym agentem AI, to by musiała uwzględnić ryzyko uzależnienia się od niego.
Na kolejne lata domykamy cykl: w 2028 +1,5%, w 2029 +0,5%. Od 2030 zaczynamy wzrost 3,5%, a od następnego roku rozpoczyna się gwałtowny wzrost 10% i osiąga max 15% w 2036. Od kolejnego roku zysk rośnie coraz wolniej. W roku 2046 jest to 7% - znika efekt AI, tak że oczekiwany wraca do średniej arytmetycznej, czyli włącza się EB.
Oba warianty zostały zilustrowane na poniższym wykresie:
Prognoza dla poszczególnych lat w obu wariantach nie jest całkowicie arbitralna. Jej ustawienie zostanie uzasadnione w dalszej części.
ROE i PKB
Średnie ROE w latach 2000-2025 wyniosło ok. 14%, jednak ostatnie lata to ciągły wzrost i dziś wynosi ok. 20%. Choć ROE może być niestacjonarne, to okazuje się silnie skorelowane ze wzrostem gospodarczym. W ostatnich 30 latach korelacja ta wyniosła niemal 70%. Poniżej wykres ROE i wzrostu realnego PKB per capita:
Możemy więc stworzyć prosty model regresji liniowej: ROE = a + b*GDP_growth. Uzyskałem model roe = 11.68 + 1.38*gdp , gdzie gdp to realny wzrost PKB per capita. Średnia gdp wyniosła 1.65%. Zauważmy, że PKB na osobę znacząco wolniej rośnie niż ogólny wzrost gosp. ze względu na spory wzrost populacji (średniorocznie 0,8%). Jest to jednak znacznie lepsza miara samej produktywności gospodarki.
Teraz musimy tylko znaleźć prognozę gdp na następne 30 lat. Wielu powie, że to wróżenie z fusów, bo przecież AI jest zupełnie nowym zjawiskiem technologicznym. Z drugiej strony Internet też był zupełnie nowym zjawiskiem. Choć, jak wyżej tłumaczyłem, potencjalnie AI może mieć silniejszy wpływ na wzrost produktywności, to ograniczenia organizacyjno-instytucjonalne będą go spowalniały i zwyczajnie sprowadzały do możliwości wchłonięcia przez gospodarkę. Internet zaczął stawać się powszechny w USA od 1994 r., więc ten rok uznamy za punkt przełomu. W 2001 r. używało go 49% społeczeństwa, a w 2006 r. było to już prawie 70% (źródło: Bank Światowy). Dlatego możemy uznać okres 1994-2006 za czas wpływu Internetu na gospodarkę. Średnie gdp wyniosła w tym czasie 2,3%. Z kolei analogiczny okres 13 lat wcześniej, tj. 1981-1993 to było praktycznie 2%. Czyli różnica zaniedbywalna. Porównania w czasie są jednak zawsze ryzykowne, bo można pominąć wiele występujących zjawisk w danym okresie.
Jest lepszy sposób. Można porównać rozwój USA z innymi krajami w czasie przyswajania Internetu. Dobrym porównaniem będą niektóre kraje europejskie. Przyjąłem Niemcy, Francję i Włochy, wyciągając średnią z ich danych. W 2006 r. średnio 52% społeczeństwa miało Internet lub go używało. Ale porównując ich gdp 1981-1993 (1,8%) z 1994-2006 (1,6%) też widać, że nie ma wzrostu produktywności. Jeśli mielibyśmy porównać USA z Europą, to najpierw odejmujemy 1,6 od 2,3 (0,7 pkt proc.) z 2-go okresu, następnie 1,8 od 2 (0,2 pkt proc.) z 1-go okresu, i wyznaczone różnice odejmujemy od siebie: 0,7 - 0,2 = 0,5 pkt proc. Zatem efekt Internetu na wzrost PKB wyniósł zaledwie 0,5% rocznie. Oczywiście efekt mógł się jeszcze kumulować przez kolejne lata, ale były to zaniedbywalne wielkości, ponieważ gospodarka zwyczajnie wchłonęła ten etap.
Co ciekawe, właśnie 0,5 pkt proc. przewija się w różnych pracach nt. wpływu AI na PKB w przyszłości. Nygaard et. al [2] przewidują, że w latach 2025-2035 produktywność w USA wzrośnie od 0,1 do 1,5 pkt proc. przy dominującym scenariuszu 0,5 pkt proc. Ostatnio z kolei Karger et. al przeprowadzili szczegółowe ankiety m.in. z ekonomistami (90) i tysiącami ekspertów od AI. Badacze założyli, że lata 2025-2029 to faza początkowa wzrostu, a 2045-2049 dojrzała. Ekonomiści byli bardziej wstrzemięźliwi od ekspertów. Od tych pierwszych dostajemy prognozę wzrostu PKB w USA średnio 2,5% rocznie niezależnie od fazy (eksperci w drugiej fazie dawali 3%). W razie spełnienia się scenariusza szybkiej adaptacji AI, ekonomiści prognozowali 3,3% w fazie początkowej i 3,5% w fazie końcowej (eksperci 3,7 i 5,3). W latach 2007-2025 wzrost gospodarczy USA wyniósł średniorocznie 2% - tyle samo co w latach 1981-1993. Stąd 2% to dobry punkt odniesienia, a 0,5 pkt proc. to nadwyżka prognozowana przez ekonomistów w średnim ujęciu - dla wariantu obiektywnego. Eksperci AI mogą trochę zbyt entuzjastycznie podchodzić do tematu, z drugiej strony mają większą wiedzę o możliwościach AI. Dlatego trzeba też brać po uwagę ich scenariusz. Z tym że w tym badaniu i tak przyjmowano różne scenariusze, więc za wariant optymistyczny można przyjąć zdanie ekonomistów o nadwyżce 1,3% na 2025-2029 (tzn. 3,3 - 2 = 1,3) i 1,5% na 2045-2049 (3,5 - 2 = 1,5).
Warto w tym miejscu zauważyć różnicę między wzrostem PKB per capita a samą produktywnością. PKB na osobę rośnie nie tylko dzięki podnoszeniu się wydajności (produktywności), ale też dzięki dodatkowym nakładom. Nakłady, czyli wydatki, to z jednej strony dodatkowe wynagrodzenie dla jakiejś grupy (przedsiębiorcy, płace budżetówki, emeryci itd.), ale z drugiej dodatkowe zadłużenie gospodarki. Dlatego chwalenie się samym PKB czy jego wzrostem to czysty populizm lub brak zrozumienia o czym mowa. I dlatego ważne, by odjąć lub podzielić PKB przez zadłużenie. Dla przykładu, dług Francji stanowi dziś 119% PKB (źródło), praktycznie tyle samo co USA (źródło). Oczywiście dług sam w sobie nie jest zły, jeśli służy jako inwestycja do wzrostu gosp. w przyszłości. Gorzej jeśli ma zasypywać bieżące potrzeby. Dlatego powinniśmy być sceptyczni co do przyszłości polskiej gospodarki - całe dodatkowe zadłużenie w ostatnich latach idzie na 4 cele: wydatki socjalne, obronność, budżetówkę i spłatę samego długu. Z tego nie będzie wzrostu.
Wg mnie te prognozy ekonomistów trzeba jednak skorygować o bieżący cykl, który raczej sugeruje spadek wzrostu na najbliższe 2-3 lata. Filtr Butterwortha plus AR(5) ze średnią 1,9%, uzyskane z auto.arima dały mi taki obraz:
W roku 2026 ma być 1,34%, w 2027 1,23%, w 2028 1,25%, w 2029 1,45%, w 2030 1,77%, w 2031 2,06%.
Dodanie tutaj 0,5 pkt proc. dzięki AI do prognozy na 2026-2028 to nadal będzie poniżej średniej 1,9%, a w 2029 dopiero na jej granicy. Dlatego w najbliższych latach nie spodziewam się widocznego wpływu AI na gospodarkę.
Wykryty spadek dynamiki PKB na kolejne kilka lat mniej więcej będzie się pokrywał z wcześniejszą prognozą słabnącego wzrostu EPS. Czyli ROE - jako model zależny od PKB - spadnie w latach 2027-2028. Jednak ten model jest wadliwy, bo nawet w wariancie optymistycznym, czyli dodaniu 1,3 pktu proc do gdp, dostalibyśmy:
2027-2028: 11.68 + 1.38*(1.25 + 1.3) = 15.2
2029: 11.68 + 1.38*(1.45 + 1.3) = 15.5.
Jednak obecnie ROE jest dużo wyższe, bo ok. 21-22%. Tyle wyniesie w 2026. Tak więc model ROE oparty na PKB raczej nie sprawdzi się w latach 2026-2029. Zamiast tego lepiej wykonać następującą procedurę dla tych lat:
- wstawić do wzoru EPS / BV najpierw prognozy EPS, które wcześniej pokazałem - rozdzielając wariant obiektywno-sceptyczny i optymistyczny;
- BV, czyli kapitał własny na akcję uzyskać z ostatnich raportów P/BV, odwrotność mnożymy przez wartość indeksu w tym okresie. Najłatwiej skorzystać z tej strony . Na koniec 2025 dostaniemy ok. 1270.
- wiedząc, że zysk zatrzymany wynosi ok. 60% EPS, prognoza ROE to EPS / (KW + EPS*0,6). W przypadku 2026 r. mamy 317 / (1270 + 317*0.6) = 21,7%.
w 2027 ROE wyniesie 20%, a w 2028 18%, w 2029 16%. Tu akurat nie trzeba rozbijać na warianty (obiektywno-sceptyczny i optymistyczny), bo wychodzi podobnie.
Od roku 2030 prognoza tą metodą spadnie do 15-16%, i przetnie się z modelem regresji ROE-PKB w wariancie optymistycznym:
2030: 11.68 + 1.38*(1.77 + 1.3) = 15.9.
Od 2031 także wariant obiektywno-sceptyczny może być użyty:
11.68 + 1.38*(2.06 + 0.5) = 15.2.
Czyli od 2031 możemy już użyć modelu regresji ROE-PKB zamiast tej wstępnej metody. W wariancie obiektywno-sceptycznym dodajemy dla lat 2032-2046 pół pktu proc. do średniej gdp = 1.9, dostając 2,4% i model ROE wtedy daje 15%. Po 2046 ROE zacznie stopniowo spadać do średniej 14%.
W wariancie wariancie optymistycznym: w 2031 dodajemy do gdp 1.3 pkt proc., tak że ROE wyniesie 16.3%, a w od 2042 do 2056 dodamy 1.5 pkt proc., tak że modelowane ROE wyniesie 16.4%. Między tymi latami ROE będzie stopniowo rósł. Po 2056 ROE zacznie stopniowo spadać do 14%.
Współczynnik nowych inwestycji i współczynnik zatrzymania
Aby wyłuskać wolne przepływy pieniężne z EPS, najłatwiej użyć współczynnika nowych inwestycji (k). W ogólnym przypadku wzór jest następujący (do wyprowadzenia - później):
gdzie:
s(t+1) = Tempo zmian ROE = ROE(t+1) / RO(t) - 1,
w(t) = stopa wzrostu EPS = EPS(t) / EPS(t-1) - 1.
W długim terminie oczekujemy, że średnia zmiana ROE będzie równa zero. Dlatego w uśrednieniu będziemy szukać takich danych, aby s(t+1) = 0, czyli spełniony był wzór:
Usuwając obserwacje odstające s(t+1) rzeczywiście otrzymałem średnią zmianę ROE równą zero. Wykorzystując tylko czyste dane ROE i usuwając obserwacje odstające k(t) policzyłem średnie k, które wyniosło ok. 0.68:
Jak widać, zmienność tego współczynnika jest ogromna, niemniej jako zmienna jest stacjonarna w przeciwieństwie do współczynnika zatrzymania (kr), który w analogicznym okresie wygląda tak:
Niestabilność współczynnika zatrzymania najlepiej widać z szerokiej perspektywy czasowej, od 1872 r. - współczynnik ten od początku ma tendencję rosnącą:
Jeszcze w XIX w. wypłacano akcjonariuszom ok. 70% zysku w formie dywidend. Po 2 wojnie św. było to już 50%, a dziś ok. 40%.
Model DDF i DCF:Model zdyskontowanych oczekiwanych dywidend jest problematyczny nie tylko z powodu niestacjonarności współczynnika zatrzymania, ale także z teoretycznego punktu widzenia. Zgodnie z twierdzeniem Millera-Modiglianiego, jeśli nie występują dodatkowe koszty, jak np. prowizje maklerskie, koszty agencyjne lub niesymetryczna informacja, wartość akcji nie zależy od wysokości dywidendy. W rzeczywistości koszty te istnieją i cena rynkowa reaguje na każdą informację o zmianach wielkości wypłaty zysku. Dlatego użycie zdyskontowanych oczekiwanych przepływów pieniężnych jest obiektywnie lepszą i bardziej rzetelną metodą wyceny. Dla porównania wykonałem wycenę obiema metodami, jednak model DDF wymaga dopracowania, dlatego na razie go pomijam. W DCF k nie jest stałe, ponieważ go nie zakładam - powstaje on naturalnie z podanej wcześniej formuły. Do tej formuły podstawiam oszacowane wcześniej ROE i stopę wzrostu EPS dla każdego roku od 2027. Jednak dla całego cyklu rewolucji AI w obu wariantach stopę wzrostu tak kalibrowałem, aby w uśrednieniu dostać rzeczywiście k równe ok. 68%. Stąd, tak jak wcześniej wspomniałem, prognozy wzrostu nie były zupełnie arbitralne. Po wchłonięciu efektów AI k zaczyna spadać do 40%, a potem nawet do 34-35%. To wynika z faktu, że po zakończeniu największego wpływu AI wchodzimy w okres średniego wzrostu: najpierw jest to 6-7% (dla ROE = 15% i k = 0.4 => w = 6,8%; dla ROE = 15% i k = 0.4 => w = 6.4%), a w bardzo długim horyzoncie 5% (dla ROE = 14% i k = 0.35 => w = 5.15%), co interpretujemy jako karę za niepewność przyszłości.
Dla ilustracji - pierwsze 52 lata wariantu optymistycznego (model DCF):
I analogicznie pierwsze 52 lata wariantu obiektywno-sceptycznego:
Wg modelu S&P 500 powinien kosztować w wariancie optymistycznym niecałe 7470, a w wariancie obiektywno-sceptycznym 4921.
Rynek realizuje obecnie scenariusz optymistyczny. Nie jest to więc żadna bańka, jak wielu uważa. Wartość rynkowa całkowicie racjonalna. Mój model to po prostu udowadnia.
Wariant obiektywno-sceptyczny, choć wydaje się mocno niedowartościowany, to zauważmy, że EPS na 2026 zakładamy na poziomie 317, a P/E = 4921 / 317 = 15.5. Choć ta liczba jest poniżej średniej (16.2), to jest powyżej mediany 15.1 (zob. tu). Ponadto ROE wyniesie na ten rok ok. 22%, a więc BV = 1/0.22*317 = 1441 => P/BV = 4921 / 1441 = 3.4, czyli powyżej średniej 3.2 i mediany 2.9 (zob. tu). Tak więc nawet ten scenariusz nie jest przesadnie pesymistyczny, albowiem realizuje średnią. Być może podczas bessy, czyli gorszych nastrojów, rynek będzie dążył do osiągnięcia tego scenariusza.
Literatura:
[1] r, S., Krumholz, H.C. (2013). Corporate Valuation Using Imprecise Cost of Capital. Journal of Business Economics 83, 985-1014;
[2] Nygaard, V. M., Nergui, A., & Welburn, J. W. (August 2025). Macroeconomic Implications of Artificial Intelligence. RAND Corporation + Appendix;
[3] Karger, E., Kuusela, O., Abaluck, J., Bryan, K. A., Halperin, B., Jones, T. R., Murphy, C., Trammell, P., Reynolds, M., Mayland, D., Viswanathan, R., Mittal, A., Ceppas de Castro, R., Rosenberg, J., & Tetlock, P. (2026). Forecasting the economic effects of AI (NBER Working Paper No. 35046). National Bureau of Economic Research.
Link do surowych danych: tu
Analizy w R:
Tempo wzrostu EPS S&P 500:
*----------------------------------*
* ARFIMA Model Fit *
*----------------------------------*
Mean Model : ARFIMA(0,0,0)
Distribution : ged
Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 6.66667 0.304037 21.9272 0
sigma 29.87183 2.977571 10.0323 0
shape 0.80986 0.091859 8.8164 0
Robust Standard Errors:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 6.66667 0.057843 115.2546 0.000000
sigma 29.87183 5.669109 5.2692 0.000000
shape 0.80986 0.164923 4.9105 0.000001
LogLikelihood : -720.22
Information Criteria
------------------------------------
Akaike 9.3925
Bayes 9.4516
Shibata 9.3917
Hannan-Quinn 9.4165
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 0.5049 0.4773
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2] 2.0931 0.2478
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5] 3.5722 0.3124
H0 : No serial correlation
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 0.7039 0.4015
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2] 0.7114 0.6021
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5] 0.7697 0.9092
ARCH LM Tests
------------------------------------
Statistic DoF P-Value
ARCH Lag[2] 0.7097 2 0.7013
ARCH Lag[5] 0.7855 5 0.9780
ARCH Lag[10] 1.0050 10 0.9998
Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic: 0.84
Individual Statistics:
mu 0.3395
sigma 0.1960
shape 0.3128
Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic: 0.846 1.01 1.35
Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75Stopa dyskontowa:
*---------------------------------*
* GARCH Model Fit *
*---------------------------------*
Conditional Variance Dynamics
-----------------------------------
GARCH Model : sGARCH(1,0)
Mean Model : ARFIMA(0,0,0)
Distribution : norm
Optimal Parameters
------------------------------------
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 11.00048 1.24106 8.8638 0.00000
alpha1 0.19656 0.12059 1.6299 0.10312
omega 203.33089 NA NA NA
Robust Standard Errors:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
mu 11.00048 1.19460 9.2085 0.000000
alpha1 0.19656 0.08698 2.2598 0.023831
omega 203.33089 NA NA NA
LogLikelihood : -647.125
Information Criteria
------------------------------------
Akaike 8.3758
Bayes 8.4151
Shibata 8.3755
Hannan-Quinn 8.3918
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 0.2284 0.63274
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2] 2.9414 0.14554
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5] 6.1865 0.08128
d.o.f=0
H0 : No serial correlation
Weighted Ljung-Box Test on Standardized Squared Residuals
------------------------------------
statistic p-value
Lag[1] 0.2064 0.6496
Lag[2*(p+q)+(p+q)-1][2] 0.7384 0.5915
Lag[4*(p+q)+(p+q)-1][5] 2.4756 0.5111
d.o.f=1
Weighted ARCH LM Tests
------------------------------------
Statistic Shape Scale P-Value
ARCH Lag[2] 1.037 0.500 2.000 0.3086
ARCH Lag[4] 2.644 1.397 1.611 0.3164
ARCH Lag[6] 3.386 2.222 1.500 0.4018
Nyblom stability test
------------------------------------
Joint Statistic: 0.3803
Individual Statistics:
mu 0.28597
alpha1 0.08484
Asymptotic Critical Values (10% 5% 1%)
Joint Statistic: 0.61 0.749 1.07
Individual Statistic: 0.35 0.47 0.75
Sign Bias Test
------------------------------------
t-value prob sig
Sign Bias 0.7949 0.4279
Negative Sign Bias 0.3922 0.6955
Positive Sign Bias 0.4622 0.6446
Joint Effect 5.1801 0.1591
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
------------------------------------
group statistic p-value(g-1)
1 20 20.61 0.3586
2 30 26.35 0.6065
3 40 29.52 0.8640
4 50 36.94 0.8975
Adjusted Pearson Goodness-of-Fit Test:
------------------------------------
group statistic p-value(g-1)
1 20 21.65 0.3023
2 30 32.16 0.3128
3 40 37.77 0.5257
4 50 58.87 0.1578
Zależność między wzrostem gosp. a ROE S&P 500:
> model_roe <- lm(roe ~ gdp)
> summary(model_roe)
Call:
lm(formula = roe ~ gdp)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-7.721 -1.086 0.003 1.766 5.439
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 11.678 0.678 17.23 < 0.0000000000000002 ***
gdp 1.382 0.285 4.86 0.000041 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 2.67 on 28 degrees of freedom
(1 obserwacja została skasowana z uwagi na braki w niej zawarte)
Multiple R-squared: 0.457, Adjusted R-squared: 0.438
F-statistic: 23.6 on 1 and 28 DF, p-value: 0.0000411
Brak komentarzy:
Prześlij komentarz