Filtr Butterwortha + ARMA, czyli w górę albo w dół

Od kilku lat jestem negatywnie nastawiony do wzrostów na giełdzie, chociaż ostatnio w związku z zastosowaniem filtru Butterwortha (FB), pisałem, że WIG jest coraz bliżej dołka. Koniec FB sugeruje dołek na indeksie - tym razem wziąłem pod lupę WIG20 (kwartalne stopy od stycznia 2002 do marca 2019 r.):

Parametry: x_c = 27, n = 2. FB możemy teraz prognozować już klasyczną ekonometrią - tj. ARMA. Starujemy od wyrównanego szeregu FB:

Pierwsze różnice FB można uznać za stacjonarne (ADF i KPSS przemawiają za nią). Dodatek armax w gretlu wskazał optymalne parametry ARMA(4, 2) dla BIC i HQC jednocześnie. Możemy teraz użyć wskazanych pierwszych różnic FB do ARMA(4, 2) albo od razu zastosować oryginalny FB do ARIMA(4, 1, 2). Ta ostatnia pozwala graficznie ocenić kierunek FB. I tak otrzymałem prognozę na 4 kolejne kwartały:

Same przyrosty FB, czyli ARMA(4, 2), daje podobnie pozytywny sygnał:

Z powyższego wynikałoby, że mój negatywny sentyment do rynku jest błędny, a giełda chce się wzbijać. Jednakże problem z takimi modelami jak ARIMA jest tego typu, że prognoza silnie zależy od zakresu obserwacji. Pytanie brzmi czy zostałaby ona zachowana, gdyby obserwacje zacząć wcześniej, np. od stycznia 2000 r.? Okazuje się, że wtedy się zmienia. Optymalny model będzie to ARIMA(2, 1, 9), a prognoza:

 

Gdyby zrobić analizę na zmianach FB, czyli ARMA(2, 9), to jeszcze bardziej uwidacznia się ryzyko spadków:

A co, gdyby wziąć jeszcze wcześniejszy okres, np. od stycznia 1995? Wtedy optimum staje się ARIMA(2, 1, 6), a prognoza przedstawia się następująco:

Czyli znowu prognoza trendu rosnącego. Różnica jednak między pierwszą a ostatnią jest taka, że ta ostatnia jest mniej pewna wzrostów: sugeruje bardzo słaby zwyżkowy trend liniowy FB. W takim razie porównajmy to jeszcze z prognozą zmian, tj. użyjmy ARMA(2, 6):

  

Potwierdzona zostaje "prognoza niepewności i wątpliwości". Pamiętać trzeba tylko, że FB wykonywany był na stopach zwrotu, a więc ARMA na zmianach FB wskazuje kierunek zmian stóp zwrotu, a nie indeksu.