Do pamiętnika - Jak duża musi być niestacjonarność, aby KPSS ją wykrył?

Zastanawiałem się, ile muszę podnieść stopę zwrotu, aby KPSS wykrył niestacjonarność. Moje krótkie eksperymenty w gretlu wskazują, że ok. 0,2 pktów proc. jest minimalną wartością dla zmian dziennych. Zrobiłem test dla logarytmicznego kursu Comarch, aby można było dodawać zmienione stopy i stworzyć wykres. Okres 2.01.2014 - 18.12.2017. Wykres oryginalny (logarytmiczny):

Dla CMR nie występuje niestacjonarność, KPSS ( zob. Czy oczekiwane stopy zwrotu w ogóle się zmieniają? ) wskazuje na czystą stacjonarność:

Ponadto brak autokorelacji (ACF, ale PACF wygląda tak samo), ewentualnie lekka ujemna autokorelacja 7 rzędu (istotna st na 1%):

 
Ostatnio wykres wykres wygląda nieźle jakby kurs chciał rosnąć. Średnia dzienna stopa zwrotu w danym okresie to ok. 0,1%, ale pytanie brzmi czy ta średnia się zmienia? KPSS mówi, że nie, ale dziś pokażę, że niewielka zmiana w stopach zwrotu nie zostanie wykryta przez ten test, pomimo że całkowity efekt w postaci trendu może być znaczący. Chyba jednak lepiej poczekać aż nastąpi przebicie linii "trendu spadkowego", która czasami się sprawdza - zob. Czy analiza techniczna działa? Z tym że i to badanie odrzuciło większość przebić, ale była to mała próba.

Ok, to teraz test. Widać, że od połowy zakresu analizowanego wykresu, ok. 490 danych, pojawia się kierunek wzrostowy. Od tego miejsca do końca okresu dodałem do logarytmicznych stóp zwrotu:

1) 0,1 pkt proc. Wtedy otrzymałem wykres:

Wykres jest bardzo podobny, ale trend wydłużony, wobec tego pytanie o niestacjonarność zmian:

A więc nadal to samo. Podniesienie 0,1% nie wystarcza do załapania zmiany - a przecież końcowy efekt to dodatkowy wzrost o 50 pkt proc. (na oryginalnym wykresie zakończenie jest na 0,7, na przekształconym 1,2). ACF i PACF także wyglądają identycznie jak poprzednio.

2) 0,2 pkt proc. Wykres staje się już niemal asymetryczny:

Niestacjonarność nie została formalnie wykazana, ale wrażenie robi wartość statystyki 0,29, której niewiele brakuje do progu 0,348:

3) 0,3 pkt proc. Wykres od połowy zmienia się diametralnie:

KPSS to niezbicie potwierdza:

 Niestacjonarność jest wykazana na poziomie 5% istotności.

Oznacza to, że 0,2 pkt proc. dodatkowej (logarytmicznej) stopy zwrotu może stać się pewnym punktem zaczepienia przy ocenie niestacjonarności. Ta konkluzja zostaje wzmocniona, gdy zmniejszę zakres danych np. do 700. Wtedy dostajemy wykres:

Interesujące jest to, że pomimo, iż po okresie 490, zmiana oczekiwanej stopy zwrotu nie jest już widoczna gołym okiem, to KPSS ją wykrywa:

Warto też dodać, że ACF i PACF wyglądają ciągle tak samo dla oryginalnego wykresu: nie ma tutaj żadnych (dodatnich) autokorelacji - zarówno dla pierwszej połowy wykresu jak i drugiej. Zmieniła się po prostu oczekiwana stopa zwrotu. Konsekwencją tego jest zmiana nachylenia logarytmicznej ceny: na oryginalnym wykresie kurs rośnie w tym samym tempie, na kolejnych rysunkach nachylenie zmienia się w połowie zakresu i z każdym kolejnym coraz mocniej. Do badania samego momentu zmian trendu służą tzw. modele przełącznikowe, ale to już inny temat.