Mediana, średnia arytmetyczna, geometryczna i skośność

Warto sobie uświadomić, kiedy mediana (Me) przyjmuje wartość średniej arytmetycznej (A), a kiedy geometrycznej (G). Jak wiadomo w rozkładzie normalnym Me = A. Nieco mniej znany jest fakt, że w rozkładzie log-normalnym Me jest równa G. W artykule Czy mediana jest lepsza od średniej? twierdziłem, że dla rozkładu nie-normalnego Me jest lepszym estymatorem niż A dla krótkoterminowej stopy zwrotu. To prowadzi jednak do paradoksu: jeżeli miałoby to dotyczyć rozkładu log-normalnego, to znaczyłoby to, że Me, która jest wtedy równa G, powinna zastąpić A, a przecież właśnie A dostarcza informacji krótkoterminowych. Ten paradoks wynika po prostu ze ścierania się ze sobą dwóch różnych koncepcji: nieobciążoności i efektywności estymatora. Jeżeli bardziej zależy nam na wartości oczekiwanej, to wybieramy nieobciążoność, jeżeli bardziej zależy nam na jak najmniejszym ryzyku, wybieramy efektywność. Dla krótkoterminowej stopy wartość oczekiwana = A, dla długoterminowej stopy wartość oczekiwana = G  (por. art. z W poszukiwaniu nieznanej wartości oczekiwanej - część 2).
Załóżmy, że A i G pozostają stałe, a Me będzie zmienną. Wtedy w zależności od rozkładu Me będzie skakała z poziomu A w rozkładzie normalnym do G w rozkładzie log-normalnym. Wiemy, że dla zmiennej losowej zawsze A > G. Oczywiste więc, że przechodząc od rozkładu normalnego do log-normalnego mediana będzie się zmniejszać.

Możemy znaleźć ogólną przybliżoną  relację pomiędzy tymi 3-ma miarami i sprawdzić jak zachowuje się Me. Przypomnę wzór na G, który wyprowadziłem w art. O relacji między arytmetyczną a geometryczną stopą zwrotu:

gdzie:
V - wariancja
Sk - skośność, czyli 3-moment centralny podzielony przez wariancję do 3/2
K - kurtoza, czyli 4-moment centralny podzielony przez wariancję do kwadratu.

Jednocześnie wiadomo, że współczynnik skośności Sk jest często wyrażany za pomocą wzoru* [np. 1, 2]:

Wobec czego G1 przyjmuje postać:

Załóżmy teraz, że A jest stała, a Me i G są zmienne. Gdy rozkład jest normalny, to Me = A. Gdy pojawia się skośność dodatnia, Me zaczyna spadać, aby skośność mogła rosnąć. Ale jednocześnie rośnie wtedy G1 (bo licznik rośnie). Skoro wiemy, że G1< A, to wnioskujemy, że w pewnym punkcie G1 zrówna się z Me. W tym punkcie rozkład staje się log-normalny.
Filozoficznie możemy rozumować, że skoro z jednej strony mediana jest odporna na wstrząsy, z drugiej długokresowe tempo zmian staje się medianą, to inwestycja długoterminowa jest bardziej odporna na wstrząsy.


* Inny często używany wzór to (zob. np. [3]):

Literatura:
[1] MacGillivray, H. L., Skewness and Asymmetry: Measures and Orderings, Sep. 1986,
[2] Arnold B. C. A., Groeneveld, R. A., Measuring Skewness with Respect to the Mode, Feb. 1995,
[3] Eisenhauer, J. G., Symmetric or Skewed?, Jan. 2002.