Dlaczego stosujemy model Gordona?

Pytanie pozornie banalne. Wszyscy dobrze wiemy, że model Gordona jest to przypadek modelu zdyskontowanego strumienia (wolnych) przepływów pieniężnych (Discounted (Free) Cash Flow - DCF) bądź dywidend (Discounted Dividend Flow - DDF), gdy liczba wypłat dąży do nieskończoności. Na razie będziemy stosować standardowy model dywidendowy. Wartość wewnętrzna akcji wyrażona w postaci nieskończonej sumy zdyskontowanych (oczekiwanych) dywidend:



sprowadza się do wzoru:



gdzie:

P - wartość wewnętrzna akcji (cena rzetelna)
D - dywidenda
r - stopa dyskontowa = oczekiwana (wymagana) stopa zwrotu = koszt kapitału własnego inwestora


Oczekiwane dywidendy mogą rosnąć w każdym kolejnym okresie. Wtedy model zapisujemy jako:



Przy warunku g < r, sprowadza się on do:



gdzie

g - stopa wzrostu dywidendy


Ostatni wzór wyraża właśnie model Gordona. Standardowe wyjaśnienie stosowania tego modelu opiera się na spostrzeżeniu, że spółka może funkcjonować nieskończenie długo. Skoro na razie dobrze sobie radzi, to można założyć, że będzie tak zawsze, a zatem liczba wypłat dywidend będzie nieskończona.

Ale może nieco wnikliwiej? Pomyślmy. Czy dla inwestora, który kupił akcje na 3 lata - chcącego otrzymywać dywidendy przez 3 lata, wycena akcji w oparciu o model Gordona jest poprawna? Udowodnimy, że odpowiedź brzmi TAK i to bez względu na horyzont inwestycyjny.

Mówiliśmy już czym jest wartość. Wartość przedmiotu mówi o tym ile danej rzeczy mogę za nią kupić, czyli po prostu wymienić na tę drugą rzecz. Jeśli kilogram gruszek kosztuje 3 zł, to kapitał równy 3 zł jest wart 1 kg gruszek. Z akcjami jest dokładnie tak samo. Idę więc do sklepu i proszę o kilogram gruszek i chciałbym zapłacić za nie akcjami. Jeśli akcja na rynku jest warta 3 zł, to znaczy, że akcja jest warta 1 kg gruszek.

Wartość wewnętrzną akcji będziemy odnosić nie do gruszek, jabłek czy innych przedmiotów, ale do dywidend (lub wolnych przepływów pieniężnych, ale nie komplikujmy sprawy). Jest tak, gdyż wartość ta musi być odniesiona do czegoś "wewnątrz" samej akcji czy spółki. Akcji nie konsumujemy tak jak owoców, więc ich użyteczność musi być związana "ofertą" spółki dla inwestora, którą są dywidendy. Należy jednak zwrócić uwagę, że dywidendy to kapitał, za który można kupić owoce. Pośrednio więc "wartość wewnętrzna" okazuje się po prostu zwykłą wartością akcji. Nie ma znaczenia czy będziemy mówić o wartości wewnętrznej czy zwyczajnie wartości.

Do sklepu wchodzi więc klient A i prosi o pewną ilość dywidend rozłożonych na 3 lata. Najlepiej, żeby dywidendy rosły w czasie. Oczywiście odpowiednio dyskontuje strumień pieniędzy i otrzymuje SWOJĄ wartość akcji:



Zauważmy, że na efektywnym rynku ekonomicznie niczego nie zarabia, ponieważ P jest właśnie ceną, jaką zapłaci za akcję. Następuje jedynie przesunięcie preferowanej konsumpcji od ekspedienta (spółki), który woli mieć P już teraz do inwestora, który woli mieć P rozłożone w czasie (odpowiednio zwiększane zgodnie ze stopą dyskontową).

Mamy ustaloną wartość akcji. Zwróćmy uwagę, że jest to podobna konsumpcja do owoców. Chodzi o to, że po "skonsumowaniu" akcji jest ona dla klienta A bezwartościowa. Został ogryzek - do śmietnika.

Ale zaraz po wyjściu klienta A przychodzi klient B, który chce otrzymywać dywidendy przez 4 lata. W takiej sytuacji, JEGO wartość wewnętrzna akcji jest równa:



A więc jest większa niż klienta A! Jest to oczywiste, bo kupił w całości więcej produktu. Ale przecież to miała być cena jednostkowa! Na efektywnym rynku klient A nigdy by nie kupił tych akcji, bo daje mniejszą cenę. Gdyby przyszedł kolejny klient, który preferowałby dywidendy na 5 lat, to i klient B nie kupiłby akcji.

Jak rozwiązać ten problem? Należy dokonać ujednolicenia ceny. Zrobimy to w następujący sposób. Przychodzi do spółki klient A i prosi o 3 dywidendy, które są warte tyle i tyle (tak jak to pokazano wcześniej) - jest to jego wartość akcji. Spółka odpowiada: dobrze, otrzyma Pan te dywidendy, ale będzie musiał Pan zapłacić więcej niż wynosi Pana subiektywna wartość. Jednak w zamian po 3 latach akcja nie stanie się dla Pana bezwartościowym świstkiem, lecz będzie mógł Pan ją sprzedać na rynku klientowi C po takiej cenie, aby Pan na tej inwestycji nie stracił ani ekonomicznie nie zyskał (natomiast dodając cenę czasu i ryzyka - zyskał "nominalnie"). Ściśle mówiąc cena jaką dziś Pan zapłaci będzie następująca:

(1)



Końcowa cena akcji P' stawiana przez klienta A jest oczywiście tak samo dyskontowana jak dywidendy. W momencie, w którym klient A otrzymuje ostatnią dywidendę w roku 3, natychmiast sprzedaje akcję po cenie P'. Czyli P' jest dyskontowana o 3 okresy tak jak dywidenda w okresie 3.

A więc w roku 3 przychodzi klient C, który kupuje akcję na n lat, szacując jej wartość według WŁASNEJ perspektywy na podstawie DDF plus rachuje cenę po jakiej sprzeda akcje w roku n. Całkowita cena jaką zapłaci będzie się równać P':

(2)



Odpowiednio podstawiając (2) do (1), dostaniemy, że cena akcji jaką zapłaci klient A równa się:

(3)



Natychmiast spostrzegamy, że klient C w n-tym roku po odebraniu ostatniej dywidendy sprzeda akcję klientowi D, który wyceni ją po P''. Cały proces się powtarza w nieskończoność. Wynika z tego, że strumień dywidend stanie się nieskończony i to w cenie początkowej klienta A, który mierzył wartość akcji jedynie dla 3 lat inwestycji! W konsekwencji uzyskujemy właśnie model Gordona.

Z przedstawionego dowodu płynie ciekawa implikacja. Inwestor NIE MOŻE określać wartości akcji według własnej wymaganej stopy zwrotu - stopy dyskontowej. Model Gordona wymaga bowiem, aby każdy inwestor miał identyczną wymaganą stopę zwrotu dla danej akcji. Innymi słowy, liczy się jedynie rynkowa stopa dyskontowa - cena pieniądza szacowana przez popyt i podaż. Jeśli więc struktura rynkowa zmienia się w czasie - oczekiwana stopa zwrotu jest niestacjonarna - wtedy wycena akcji praktycznie się sypie, a przynajmniej wg wzoru Gordona.

Nie ma co się łudzić, że akcja ma jakąś wartość wewnętrzną pozarynkową. To jest mit! Wymagana stopa zwrotu jest określona przez rynek - i to zarówno w czasie jak i przestrzeni. Wartość wewnętrzna okazuje się wartością "rynkową" jako wielkość statystyczna.

Na koniec zauważmy, że (3) można wyrazić jako:



Wzór ten przyda się w następnym wpisie.

Realna stopa procentowa nie taka realna?

Realna stopa procentowa to pojęcie, którego nie czuje się intuicyjnie. To coś zupełnie innego niż "nominalna stopa procentowa". Nie chciałbym być źle zrozumiany - wiadomo, że to coś innego, bo uwzględnia inflację. Ale rzecz w tym, że należy ona do innej klasy abstrakcji. To nie jest stopa, którą czujemy fizycznie - w sensie pieniężnym. To nie jest rzecz, którą można w jakikolwiek sposób pojąć zmysłami, bo jest zwyczajnie pojęciem abstrakcyjnym. Nie ujrzymy wzrostu wartości kapitału w oparciu o tę stopę. Do tego służy stopa nominalna.

Dlatego właśnie nie możemy w sposób banalny łączyć czegoś co ma znaczenie wizualne, jak nominalna stopa procentowa z czymś kompletnie abstrakcyjnym, jak realna stopa procentowa. Nie możemy sobie odejmować od stopy nominalnej stopę inflacji aby uzyskać realny odpowiednik.

Mimo to zazwyczaj tak właśnie robimy - zwyczajnie odejmujemy - wzoru tego sam używałem w poprzednich postach. Tak czy inaczej należy mieć na względzie, że ten prosty wzór jest jedynie przybliżeniem prawidłowego. Prawidłowy wzór na realną stopę procentową ma postać:



gdzie

r(i) - realna stopa procentowa
r - nominalna stopa procentowa
i - stopa inflacji

Jeżeli inflacja jest mała, wtedy wzór może być przybliżony poprzez r-i. Wiemy jednak, że występują okresy w historii, gdy inflacja była duża. Gdyby zastosować wówczas jedynie r-i, znacznie zawyżono by realną stopę. Na początku 1975 r. w Stanach Zjednoczonych stopa inflacji wyniosła 6%, zaś rentowność 10-letnich obligacji skarbowych 7,79%. Wtedy r-i = 1,79%, podczas gdy prawidłowa realna stopa r(i) wyniosła 1,69%.

Ale właściwie skąd się bierze wyżej przedstawiony wzór?

1. Realna wartość kapitału

Świat jest oparty na relacjach. W świecie ekonomii jest to nad wyraz widoczne. Nikogo nie interesuje ilość kapitału. W centrum zainteresowania zawsze będzie stał pewien stosunek tego kapitału do jakiegoś czynnika (kosztów, przychodów, zysków itd.). Mamy więc zawsze relację:



gdzie

K - kapitał
d - jakiś czynnik

Czynnik d może stanowić np. współczynnik urealniający kapitał, czyli wskazujący ile tak naprawdę jest wart kapitał K. Co to znaczy warty? Warty oznacza: tyle ile mogę za niego danej rzeczy kupić. Jeśli posiadam K = 2 zł, a kilogram jabłek kosztuje 2 zł, to K jest warte dokładnie kilogram jabłek. Jeśli cena kilograma jabłek wzrosła do 3 zł, to K jest realnie wart już tylko 2/3 * 1 kg = 2/3 kg jabłek, ponieważ tylko 2/3 kg jabłek możemy kupić. Zróbmy jeszcze jeden przykład. Niech cena wzrośnie do 3,5 zł. Wówczas realna wartość K wynosi 2/3,5 = 0,57 kg.

Chcemy jednak zmierzyć realną wartość K w złotówkach a nie w kilogramach. Jeśli cena nie rośnie, to możemy kupić za 2 zł 1 kg jabłek, wobec czego wartość realnego kapitału dla K = 2 zł wyrażona w złotym - jako siła nabywania jabłek - wyniesie:

2 zł * 1 = 2 zł.

Jeżeli cena wzrośnie do 3 zł, to znaczy, że za nasze 2 zł realnie możemy jedynie nabyć 2/3 kg jabłek. Oznacza to, że realna wartość dla K = 2 zł równa się:

2 zł * 2/3 = 4/3 zł,

ponieważ 2/3 z 2 złotych stanowi o sile nabywczej K.

Analogicznie, jeżeli cena rośnie do 3,5 zł, to znaczy, że za nasze 2 zł realnie możemy jedynie nabyć 0,57 kg jabłek. Oznacza to, że realnie uzyskamy:

2 zł * 0,57 = 1,14 zł.

Jest to logiczne: taka część kilograma jabłek jaką możemy kupić po zmianie ceny będzie korygować nominalną wartość kapitału po to, aby wyrazić siłę nabywczą tego kapitału. Zauważmy, że ilość kilogramów jest naszym punktem zaczepienia w tej analizie. Ten punkt zaczepienia stanowi też inaczej "cena stara". Kiedy mówię, że chcę wyrazić realną wartość kapitału w złotówkach, to de facto chodzi mi o wartość kapitału wyrażoną w cenie starej (tyle że przyswojenie tej idei jest trudniejsze niż odniesienie do jednostek fizycznych: pytamy jaką część nowej ceny stanowi stara cena). W nomenklaturze ekonomicznej używa się określenia "cena stała" zamiast "cena stara": jeśli czytamy, że PKB jest wyrażone w cenach stałych, to właśnie chodzi o realny PKB.

Łatwo teraz zauważyć czym jest d w naszym wzorze. Gdy cena nie zmienia się, d = 1. Gdy cena osiąga 3, d = 3/2. Gdy cena wynosi 3,5, d = 1/0,57 = 1,75. Czyli:

a) cena stała: 2/1 = 2

b) cena rośnie do 3 zł, tj. o 50% ceny początkowej:

2/(1+0,5) = 2/(3/2) = 4/3

c) cena rośnie do 3,5 zł, tj. o 75% ceny początkowej:

2/(1+0,75) = 2/1,75 = 1,14.

Zauważmy, że w p. (b) oraz w p. (c) pojawia się we wzorze stopa inflacji (odpowiednio 0,5 i 0,75). Dokładnie o taką część urosła cena w stosunku do początkowej. W ogólnym przypadku otrzymujemy wzór na realną wartość kapitału:



gdzie

K(i) - realna wartość kapitału

Powstaje więc bardzo ciekawa sytuacja z punktu widzenia matematyki finansowej. 1/1+i to współczynnik dyskontowy. Dyskontujemy nominalną wartość kapitału do wartości realnej. Zauważmy, że nie chodzi tu o dyskontowanie czasowe, tak jak to zazwyczaj rozumiemy. Dyskonto dotyczy "przestrzeni" siły nabywczej.

2. Deflator
Być może któryś z Czytelników zastanawiał się skąd się bierze pojęcie deflatora. Powyżej przedstawiłem właśnie jego ideę. Deflator jest odwrotnością "współczynnika dyskontowego", czyli równa się 1+i. Dotyczy przestrzeni siły nabywczej, a nie dyskonta, więc nazwano go deflatorem. Wyższa wartość nominalna dokonuje swego rodzaju deflacji: inflacji w kierunku przeciwnym tak jak dyskonto dokonuje oprocentowania w kierunku przeciwnym.

Na wikipedii mamy wzór na deflator PKB:



Jest to nasz 1+i.


3. Pytanie wątpiącego

A dlaczego nie mogę obliczyć wartości realnej kapitału w następujący sposób: K - K*i = K(1-i). Oczywiście można coś tak próbować wyliczyć, tyle że nie będzie to realna wartość kapitału. W tym zapisie zakłada się, że nominalny kapitał zmniejsza się w taki sposób, jakby płaciło się od niego odsetki. Inaczej mówiąc, zakłada się, że realna wartość powstaje po nominalnym zmniejszeniu kapitału. Jeżeli jednak występuje inflacja, to nominalnie mamy ciągle tyle samo. Nie możemy dotykać nominału. Możemy jedynie określić w jakim stosunku do cen ten nominał występuje i wówczas manewrować stosunkiem. Jeśli przyjmiemy, że abstrakcyjna cena początkowa jest równa 1, wtedy każdy wzrost tej ceny o i, będzie powodował odpowiednią korektę kapitału K zgodnie ze wzorem K/(1+i). Pamiętajmy, że realna wartość kapitału mówi o jego sile nabywczej.

4. Realna stopa procentowa

Realny kapitał K nie zostanie zmiażdżony przez inflację, jeśli nominalny kapitał K zostanie odpowiednio zainwestowany. Zwróćmy uwagę na poprzednie zdanie: nie inwestujemy realnego kapitału, bo to jest po prostu niemożliwe! Realny kapitał jest abstrakcją i nie można go inwestować. Inwestujemy nominalny kapitał, a realny kapitał nie zostanie zmieciony przez inflację w sposób pośredni dzięki tej inwestycji. Zatem, aby powstrzymać inflację, dokonujemy w tym okresie oprocentowania K(1+r), gdzie r - nominalna stopa oprocentowania o tej samej częstotliwości co stopa inflacji. Siła konstrukcyjna będzie przeważać nad destrukcyjną dopóki r > i. Gdy cena rośnie zgodnie z inflacją, to jednocześnie nominalny kapitał rośnie zgodnie z oprocentowaniem, co powoduje złudzenie, że faktycznie mamy wzrost pieniędzy o K*r. Teraz jednak już wiemy, że realna wartość oprocentowanego kapitału wyniesie:



Możemy więc powiedzieć, że nominalny kapitał K został realnie oprocentowany zgodnie ze stopą r(i) w sposób następujący:



K się skraca i w końcu otrzymujemy wzór:




5. Perspektywa inwestora

A teraz przedstawimy podobny dowód na realną stopę zwrotu, ale z perspektywy inwestora.

W standardowej wersji inwestor szacuje wartość akcji na podstawie wartości przyszłych dywidend, jakie będzie otrzymywał od spółki. Dywidendy powinny być wypłacane co pewien stały odcinek czasu przez okres n odcinków. Ponieważ wartość kapitału w przyszłości nie jest równa wartości obecnej, kapitał musi zostać zdyskontowany do dziś za pomocą stopy dyskontowej r. Ponadto istnieje ryzyko takiej inwestycji, dlatego też stopa zwrotu staje się już oczekiwaną stopą zwrotu, która jest właśnie równa stopie dyskontowej r. Ponieważ inflacja wynosi i, to znaczy, że zyski spółki muszą w każdym kolejnym odcinku średnio rosnąć zgodnie z inflacją (ponieważ o tyle zwiększa swoje ceny). Wobec tego wartość wewnętrzna akcji jest dana wzorem:



gdzie D - dywidenda wypłacana dziś

Inaczej zapisując:



Po podstawieniu (1+r)/(1+i) = 1+r(i) znów otrzymujemy ten sam wzór na realną stopę zwrotu co wcześniej. Dostaniemy model dyskontowy już z realną oczekiwaną stopą zwrotu:



A gdy n dąży do nieskończoności powyższy szereg geometryczny sprowadza się do:



Zauważmy, że jeśli spółka rozwija się, a nie tylko zwiększa swoje ceny, to za i można podstawić g, przy własności g > i. W takiej sytuacji również można mówić o "realnej oczekiwanej stopie zwrotu": nominalna oczekiwana stopa zwrotu zostaje skorygowana o stopę wzrostu zysku spółki. Taka realna stopa zwrotu przechodzi jeszcze w wyższy stopień abstrakcji ekonomicznej, bowiem uznaje się tutaj, że wzrost zysków spółki jest jedynie "nominalny" pomimo że pokonuje inflację. Kwestia ta dotyka już jednak innych zagadnień ekonomicznych, choć analogii jest tak dużo, że warto przynajmniej je zasygnalizować.