niedziela, 3 listopada 2013

Czy trój-betowy CAPM wyjaśnia stopy zwrotu?

Jednym z najważniejszych wyzwań nauki o finansach jest zrozumienie w jaki sposób  inwestorzy wyceniają ryzykowne aktywa. Jest ogólnie zgodny pogląd, że inwestorzy wymagają wyższego zwrotu z inwestycji w ryzykowne projekty czy papiery wartościowe, jednakże nadal nie ma jednolitego stanowiska co do modelu opisującego premię za ryzyko (jak i samo ryzyko). Wiemy, że punktem wyjścia musi być teoria portfela, która stanowi bazę do wyprowadzenia jednego z najważniejszych modeli w teorii finansów - CAPM, który z kolei pozwala w przejrzysty sposób oszacować premię za ryzyko z poszczególnych aktywów. Wnioski z CAPM są następujące:
a) ryzyko projektu jest mierzone betą danego aktywa
b) zależność pomiędzy wymaganą stopą zwrotu a betą jest liniowa (i dodatnia).

Wiele badań przeprowadzono w celu sprawdzenia czy CAPM faktycznie wyjaśnia historycznie średnie stopy zwrotu. Najpoważniejsze badania przeprowadzone np. przez Famę i Frencha w 1992 r. dowodzą, że CAPM jest niezdolny do wyjaśniania średnich stóp zwrotu, tak że jest ekonomicznie nieistotny. Relacja pomiędzy rynkową betą a średnią stopą zwrotu jest płaska. W szczególności portfele zawierające akcje z relatywnie małą kapitalizacją (małe spółki) pozwalały osiągać ponadprzeciętne stopy zwrotu, tzn. w tym sensie, że pewna część średniej stopy zwrotu nie mogła zostać wyjaśniona za pomocą premii za ryzyko.

Trzeba jednak pamiętać o założeniach stojących u podłoża klasycznego CAPM. Model ten wyprowadzono przy założeniu, że inwestorzy żyją tylko w jednym okresie, przez co model jest statyczny. W ten sposób zakłada się, że beta i premia za ryzyko są zawsze takie same.

W rzeczywistości mogą się one zmieniać. Na przykład podczas recesji dźwignia finansowa (stosunek długu do kapitału własnego plus jeden lub inaczej aktywa do kapitału własnego) firm o słabszej kondycji może drastycznie wzrosnąć (1. firma, aby przetrwać, zaciąga pożyczkę, ale pożyczkodawcy będą w takiej sytuacji żądać wyższego oprocentowania; 2. na skutek strat i spadku kapitału własnego) powodując wzrost bety. (Zwróćmy uwagę, że wtedy rośnie oczekiwana stopa zwrotu, ponieważ cena akcji spada). Beta zależy od warunków ekonomicznych, co prowadzi do wniosku, że trzeba stosować betę warunkową.

R. Jagannathan i Z. Wang [1] obrazują problem statycznego CAPM następująco. Wyobraźmy sobie, że są tylko dwie akcje na świecie, A oraz B, i rozważamy dwa okresy. Beta akcji A wynosi 0,5 w 1 okresie i 1,25 w 2 okresie (czyli średnia beta wynosi 0,875). Beta akcji B wynosi odpowiednio 1,5 i 0,75 (czyli średnia beta = 1,125). Załóżmy, że oczekiwana premia za ryzyko portfela rynkowego (tj. z tych dwóch akcji) jest to 10% w 1 okresie i 20% w 2 okresie (czyli średnio 15%). Wtedy oczekiwana premia za ryzyko akcji A wyniesie 5% (0,5*10%) w 1 okresie i 25% (1,25*20%) w 2 okresie. Oczekiwana premia za ryzyko z akcji B wyniesie 15% w obu okresach. W ten sposób badacze popełniają błąd, gdyż stwierdzają, że średnia premia wynosi 15% zarówno dla rynku jak i akcji B, ale beta jest inna: rynek ma betę równą 1, a akcja B 1,125.  To znaczy - mówiąc bardziej ogólnie - mogą istnieć dwie różne akcje o tej samej średniej (w czasie) premii za ryzyko, lecz innej becie i będzie się wydawało, że CAPM nie działa.

Autorzy opracowują atrakcyjny teoretycznie i empirycznie model, gdyż przechodzi on płynnie od warunkowego CAPM do niewarunkowego CAPM, w którym to beta jest zbudowana z dwóch niezależnych części. Dostajemy de facto szczególny przypadek APM (Arbitrage Pricing Model), tj. modelu wieloczynnikowego (wielo-betowego). Tyle że APM jest tylko ogólnym modelem nie interpretującym żadnego czynnika, podczas gdy  w modelu Jagannathana i Wanga wszystko jest ściśle określone.

Zacznijmy więc od wprowadzonej definicji CCAPM (Conditional CAPM - Warunkowy CAPM). Niech I(t-1) oznacza informację dostarczoną inwestorom w okresie t-1. Wtedy:


Pojawia się tutaj pojęcie zero-beta, o którym nigdy nie wspominałem. Model Zero-beta CAPM został wyprowadzony w 1972 r. przez Fishera Blacka [2] i można go traktować jako uogólnienie klasycznego CAPM. Zamiast stopy wolnej od ryzyka pojawia się stopa aktywa, którego beta = 0. Taka beta może mieć odchylenie standardowe różne od zera (w przeciwieństwie do stopy wolnej od ryzyka), a więc aktywo może być ciągle ryzykowne, ale sama stopa zwrotu może w ogóle nie korelować z portfelem rynkowym (i dlatego jest niezależnym od bety elementem). Na przykład jeśli spółka opiera swoją działalność na wdrażaniu nowoczesnej, opatentowanej przez siebie technologii, to jej zyski nie będą raczej zależały od kondycji gospodarki (pod warunkiem, że nie jest to "dobro luksusowe", o wysokiej cenie).  Motywem do wyprowadzenia tego modelu było, podobnie jak w przypadku CCAPM, empiryczne zakwestionowanie CAPM przez statystyków.

Z równania (2) można otrzymać niewarunkowy CAPM:




W okresie recesji wiele firm wpada w problemy finansowe, przez co dźwignia finansowa, jak już wspomniałem, wzrasta. Jest to czynnik powodujący wzrost warunkowej bety. Jednocześnie jednak, ponieważ możliwości kreowania zysku spadają, niepewność również spada (bo wiadomo, że będzie źle). Jest to więc czynnik obniżający warunkową betę. Tak więc te dwa przeciwstawne czynniki będą się ze sobą ścierać.

Jeśli ostatnie wyrażenie w równaniu (4) będzie równe 0, to wracamy do statycznego, klasycznego CAPM. W przypadku CCAPM wyrażenie to można zdekomponować na dwa niezależne czynniki. Po dalszych przekształceniach Autorzy otrzymują model w formie regresji liniowej:



gdzie:

                                 

                                                      c(0), c(m), c(prem) to pewne stałe,

Pierwsza beta(i) mierzy, tak jak zwykła beta, średnie ryzyko rynkowe i-tego aktywa. Druga beta nazwana premium beta (po polsku możemy powiedzieć, że jest to premia za betę), mierzy niestabilność bety, czyli zmienność ryzyka rynkowego.
Premia za ryzyko rynkowe, R(prem)(t-1) to różnica między oczekiwaną stopą zwrotu z portfela rynkowego a oczekiwaną stopą zwrotu z aktywa o zerowej becie, lecz odnosi się do okresu poprzedniego, nawiązując tym samym do zmienności samego ryzyka.

Autorzy weryfikują ten model w praktyce. Najpierw określają 2 problemy natury technicznej.
Po pierwsze premia za ryzyko nie jest już różnicą pomiędzy oczekiwaną stopą zwrotu z portfela rynkowego a stopą wolną od ryzyka, lecz różnicą pomiędzy oczekiwaną stopą zwrotu z portfela rynkowego a stopą zwrotu z aktywa o zerowej becie. Wiadomo jednocześnie, że premia za ryzyko będzie się zmieniać pod wpływem cyklów gospodarczych. Z tego powodu Autorzy decydują się użyć zmiennych prognozujących takie cykle. Jak Autorzy stwierdzają, wskazując na literaturę, dużą pomocą w tym stanowią stopy procentowe. Jako jednostkową premię za ryzyko wykorzystują różnicę pomiędzy 6-miesięcznymi papierami komercyjnymi a 6-miesięcznymi bonami skarbowymi.

Po drugie portfel rynkowy również jest nieobserwowalny. Portfel ten powinien odzwierciedlać zagregowane bogactwo uczestników rynku. To znaczy, inwestor posiadający ułamek portfela rynkowego posiada nie tylko ułamek wartości spółek na rynku kapitałowym i pieniędzy w skarbie państwa oraz bankach, ale także ułamek wartości wszystkich innych firm spoza rynku kapitałowego oraz ułamek wszystkich innych aktywów (nie tylko które da się kupić i sprzedać, ale także tych, których nie da się kupić ani sprzedać). Portfel rynkowy jest więc bardzo szeroko rozumiany. Wynika to z faktu, że w teorii portfela uwzględniamy wszystkie aktywa, które mogą inwestorowi przynieść zysk i niosą ryzyko mierzone wariancją. Teoria sztucznie zakłada, że wszyscy mają równy dostęp do każdego aktywa. W rzeczywistości, jak wiadomo każdy inwestor może de facto mieć dostęp do takich aktywów, do których inni nie mają. To oczywiście powoduje, że każdy inwestor może mieć inny portfel rynkowy, a nie - jak mówi teoria - jeden i ten sam. Na szczęście, jak się okazuje, taka sytuacja nie będzie wywoływać strasznych rozbieżności z modelem. David Mayers w 1972/1973 r. wyprowadził następujący model CAPM, uwzględniający aktywa niehandlowane:



gdzie:




Model ten oczywiście można sprowadzić do wersji zero-beta CAPM.

Jeśli więc są jakieś aktywa niedostępne dla reszty, którymi się nie handluje, to najprawdopodobniej ich korelacja z rynkiem będzie zerowa, wtedy kowariancja będzie zerowa i model sprowadza się do postaci klasycznego CAPM. Fama i Schwert [3] empirycznie zbadali różnicę pomiędzy betą pierwotnego CAPM a modelem Mayersa, przyjmując, że aktywa niehandlowane jest to kapitał ludzki. Analizowali zarówno miesięczne, jak roczne stopy zwrotu na NYSE. Autorzy kwitują stwierdzeniem, że różnica ta jest niewielka i praktycznie model Mayersa nie zmienia dostarczanych przez pierwotny CAPM oczekiwań. Można więc mniemać, że korelacja niehandlowanego z handlowanym kapitałem jest faktycznie zerowa albo bliska zeru.  Trzeba jednak podkreślić, że badacze zajmowali się tylko statyczną wersją CAPM.

Normalnie celem CAPM jest wyznaczenie oczekiwanej stopy zwrotu aktywa z rynku kapitałowego (zupełnie inną kwestią jest fakt, że do jej wyznaczenia potrzebne są także aktywa spoza tego rynku). Ale gdybyśmy już chcieli wyznaczyć oczekiwaną stopę zwrotu z niehandlowalnego aktywa, ale korelacja z rynkiem byłaby zerowa, to dostalibyśmy stopę wolną od ryzyka lub - dla zero-beta CAPM - stopę zwrotu z aktywa o zerowej becie. Model z zerową betą staje się bardziej realistyczny, ale też kłopotliwy, bo jeśli każdy ma swoje własne aktywo o zerowej becie, a ich oczekiwane stopy zwrotu będą różne, to nachylenie CML i SML będzie dla każdego inwestora inne (subiektywne), tak że obiektywne empiryczne modelowanie staje się niejednoznaczne.

Gdy analizujemy problem aktywów niehandlowalnych, to prędzej czy później docieramy do kapitału ludzkiego. Oczywiście możemy sprzedawać swoją pracę i swój czas, ale w większości cywilizowanych krajów (ze względu na przykład na ograniczenia prawne) nie możemy sprzedać swoich umiejętności, zdolności czy talentów. Posiadając te wartości możemy jedynie generować z nich okresowe wynagrodzenie, czyli swego rodzaju dywidendy, którym może towarzyszyć określone ryzyko (chwiejność umiejętności, zdolności lub talentów). Widzimy teraz jasno, że handlowane aktywa trzeba inaczej traktować niż niehandlowane, a stąd dlaczego model Mayersa odróżnia te dwa typy.

W rzeczywistości kwestia niehandlowalności kapitału ludzkiego jest bardziej skomplikowana. Np. hipoteczne listy zastawne czy hipoteczne instrumenty pochodne, normalnie handlowane na rynku, opierają się na kredytach hipotecznych, a z kolei kredyty hipoteczne są swego rodzaju pożyczką przyszłych oczekiwanych dochodów (wynagrodzeń z pracy) służących do kupna nieruchomości. W ten sposób kapitałem ludzkim można w pewnym stopniu handlować.

Jagannathan i Wang przyjmują w swoim modelu, że część kapitału ludzkiego, ściślej sam dochód z pracy, jest dobrem handlowanym. Stąd wysuwają propozycję, by stopę wzrostu dochodu z kapitału ludzkiego potraktować jako pośrednik stopy zwrotu z kapitału ludzkiego.  Trzeba przyznać, że ma to sens: część wynagrodzenia z pracy może zostać zainwestowane w projekty handlowalne, ale nieskorelowane z rynkiem kapitałowym, np. pomysły technologiczne lub organizacyjne, w skrócie: w projekty prowadzące do postępu technicznego. Takie projekty przynoszą stopę zwrotu z samego wynagrodzenia z pracy.

W konsekwencji przyjmujemy stopę z portfela rynkowego, Rm(t), o następującej konstrukcji:


gdzie:


                       (Reszta to stałe.)

Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy trój-betowy CAPM:




gdzie:





CZĘŚĆ EMPIRYCZNA:

Autorzy empirycznie testują swój CAPM, porównując go z innymi modelami. Użyli stóp zwrotu z akcji na NYSE, AMEX (1962-90) i NASDAQ (1973-90). Weryfikację modelu oparli na badaniach Famy i Frencha, aby móc z nimi porównywać. Najpierw zaczynają od tradycyjnego, zwykłego CAPM, tj. o postaci:

 Graficznie przestawiają uzyskane wyniki:





Jak widać faktyczne średnie stopy zwrotu z akcji kompletnie nie odpowiadają oczekiwanym stopom zwrotu przewidywanym przez CAPM.

Następnie pozwalają, aby beta zmieniała się cały czas, tj. zakładają warunkowy CAPM, ale bez kapitału ludzkiego. Testują zatem swój dwu-betowy CAPM:


Niestety graficznie wyników nie pokazali. Możemy jedynie porównać dane statystyczne. O ile wsp. determinacji R^2 w statycznym CAPM wyniósł zaledwie 1,35%, o tyle w modelu z premium beta wynosi prawie 30%. Jest to istotna poprawa modelu, jednak jeśli przyjrzeć się p-value parametrów, to już tak kolorowo nie jest.  O ile c(prem) jest istotny statystycznie (0,1%), o tyle c(vw) juz nie (38,45%).


W końcu Autorzy dodają do modelu kapitał ludzki, testując swój główny trój-betowy model:

Za dochód z pracy brali całkowity dochód minus dochód z dywidend. (dywidendy powinny być odejmowane, bo indeks już je uwzględnia). Tutaj już mogą pochwalić się całkiem niezłymi rezultatami:




Średnie zrealizowane stopy zwrotu niemal idealnie odpowiadają prognozowanym oczekiwanym zyskom. R^2 wyniósł 55%. p-value dla c(labor) wyniósł 2,07%, a więc dochód miał duży wpływ na poprawę prognozy. Niestety c(vw) nadal jest zbyt wysoki (p-value = 23,8%), pomimo że już jego istotność się poprawiła. 

Szkoda, że Autorzy nie sprawdzili modelu usuwając c(vw), bo mogłoby się okazać, że wyniki są jeszcze lepsze. Ale to popsułoby wydźwięk pracy, której celem było opracowanie teorii i zbadanie jej w praktyce. Gdyby rzeczywiście tak było, to zamiast obrony CAPM, dostalibyśmy kolejne jego "obalenie".

Autorzy raczej, jak na klasycznych ekonomistów przystało, dążą do obalenia poglądów o istnieniu anomalii rynkowych, jak np. efekt małych spółek lub efekt BV/P. Na przykład dodali do swojego modelu nową zmienną, logarytm z wartości rynkowej akcji, testując efekt małych spółek. Wielkość spółki rozumie się tu poprzez wartość rynkową, a nie księgową. Jeśli dodatkowa zmienna wielkości rzeczywiście istotnie wpłynie na poprawę modelu, to znaczy, że efekt wielkości spółek rzeczywiście będzie występował. Wnioski są ogólnie takie, że ta dodatkowa zmienna w 3-betowym CAPM rzeczywiście poprawiła R^2, z 55% do 64,7%, jednakże sama istotność współczynnika tej zmiennej jest zbyt niska - jej p-value = 14,7%.

W końcu badacze porównali swój model z 3-czynnikowym modelem Famy i Frencha [4], którzy dowiedli empirycznie, że rzeczywiście występuje efekt małych spółek (tzn. średnio rzecz biorąc, im mniejsze spółki, tym większe oczekiwane zyski) oraz efekt BV/P (tzn. średnio biorąc, im większy BV/P , tj. book value to price, tym większe oczekiwane zyski). Fama i French wprowadzili do CAPM 2 czynniki, odpowiadający za efekt małych spółek oraz odpowiadający za BV/P. Postać tego modelu jest następująca:


c(SMB) - (Small Minus Big) - jest to różnica pomiędzy średnią stopą zwrotu z 3 portfeli najmniejszych akcji (o najmniejszej kapitalizacji) a stopą zwrotu z 3 portfeli największych akcji (o największej kapitalizacji).

c(HML) - (High Minus Low) - jest to różnica pomiędzy stopą zwrotu z 2 portfeli o największym BV/P a stopą zwrotu z 2 portfeli o najmniejszym BV/P.

 Wyniki testu tego modelu przez Jagannathana i Wanga okazują się zaskakujące. Otrzymali R^2 równy 55%, czyli tyle samo, co w swoim 3-betowym CAPM. Obydwa modele mają podobną moc. Ale p-value dla c(SMB) i c(HML) wyniosło, odpowiednio, 12,6% i 33,6%, wskazując na duże ryzyko błędu. Oczywiste pytanie się nasuwa co by się stało, gdyby dodać dwa czynniki z modelu Famy-Frencha do 3-betowego CAPM? Czyli rozważamy następujący model:



Rezultat to wzrost R^2 do 64%. Jednakże jednocześnie p-value c(SMB) i c(HML) wzrosło do ponad 40%, wskazując na swoją nieistotność (co Autorzy zaznaczają). Jeżeli jednak model tak się poprawił, to najprawdopodobniej jest to wynik tego, że czynniki z modelu Famy i Frencha są skorelowane z niestabilnością bety i kapitałem ludzkim. Tym samym można uznać, że efekt małych spółek oraz efekt BV/P wynika przynajmniej w pewnej części z ryzyka zmienności bety i z ryzyka inwestowania dochodów z pracy.


Pomimo tych wszystkich rewelacji, empiryczna część badań Jagannathana i Wanga została skrytykowana przez Lewellena i Nagela w 2006 r. [5], którzy zaprzeczają jakoby CCAPM znacznie poprawiał CAPM. Według nich CCAPM (ani uzyskany z niego niewarunkowy CAPM) nie wyjaśnia stóp zwrotu, w szczególności anomalii rynkowych, jak efekt małych spółek, BV/P czy momentum. Dowodzą, że kowariancja pomiędzy betą a premią za ryzyko (drugi składnik w równaniu z numerem 4) nie jest wystarczająco duża, aby uzasadnić faktyczne stopy zwrotu. Pomimo tych kontrowersji wyprowadzony 3-betowy CAPM wnosi duży udział do teorii finansów.


Literatura:


[1] R. Jagannathan, Z. Wang - The conditional CAPM and the crosssection of expected returns, The Journal of Finance, 1996,

[2] F. Black - Capital market equilibrium with restricted borrowing, The Journal of Business, 1972,

 [3] E. F. Fama, G. W. Schwert - Human capital and capital market equilibrium, Journal of Financial Economics, 1977,

 [4] E. F. Fama, K. R. French - Common risk factors in the returns on stocks and bonds, Journal of financial economics, 1993,

[5] J. Lewellen, S. Nagel - The conditional CAPM does not explain asset-pricing anomalies, Journal of Financial Economics, 2006.

sobota, 31 sierpnia 2013

Uogólniony wskaźnik Sharpe'a

W każdym podręczniku poruszającym temat zarządzania portfelem inwestycyjnym znajdziemy pojęcie wskaźnika Sharpe'a (SR - Sharpe Ratio). W procesie zarządzania podstawową kwestią jest zbadanie oczekiwanej (średniej) stopy zwrotu (u(Rp)) w stosunku do ponoszonego ryzyka. Tradycyjnie ryzyko określane jest przez odchylenie standardowe stopy zwrotu. W nawiązaniu do CAPM przyjęło się dodatkowo, żeby od oczekiwanej stopy zwrotu odjąć stopę wolną od ryzyka (R(f)), bo wtedy dostaniemy premię za ryzyko. Zatem SR ma postać:



Oczywiście im większy SR, tym lepsza jakość zarządzania portfelem.

Jest to znany i powszechnie stosowany miernik. Jednakże opiera się on na założeniu, że istnieją tylko dwa parametry rozkładu gęstości stopy zwrotu: średnia i wariancja. Założenie to ma teoretyczne podstawy, gdyż  zgodnie z Centralnym Twierdzeniem Granicznym średnia stopa zwrotu będzie dążyła do rozkładu normalnego, jeśli kolejne stopy zwrotu będą od siebie niezależne oraz będą posiadać identyczny rozkład prawdopodobieństwa oraz skończoną wariancję. To znane twierdzenie zostało jednak bardzo mocno uogólnione. Okazuje się, że średnia będzie dążyć do rozkładu normalnego, nawet jeśli zmienne są od siebie zależne [3], a nawet wtedy, gdy ich rozkłady nie będą jednakowe [1]. Właściwie jedynym ograniczeniem jest, aby średnia i wariancja były skończone. Trzeba jednak pamiętać, że w tych przypadkach zbieganie do rozkładu Gaussa będzie dużo wolniejsze niż dla klasycznego przypadku. (Przyjemnie opisane "działanie" tego twierdzenia można obejrzeć tutaj )

Badania jednak wskazują, że stopy zwrotu daleko odbiegają od rozkładu normalnego. Dziać się tak może z dwóch powodów. Po pierwsze twierdzenie mówi, że średnia stopa zwrotu dąży do r. Gaussa, a nie sama stopa (aczkolwiek zamiast średniej może być to po prostu suma, a więc logarytmiczna stopa zwrotu już mogłaby dążyć rozkładu normalnego). Po drugie wariancja może wbrew intuicji być nieskończona; co więcej wiadomo, że w wielu przypadkach tak właśnie się dzieje.

Nawet jeśli Centralne Twierdzenie Graniczne nadal obowiązuje na rynku, to prawdopodobnie potrzeba (bardzo) dużej próbki, aby testy potwierdzały normalność stóp zwrotu. Inwestor zarządzający portfelem nie może zatem lekceważyć pozostałych parametrów takich jak skośność i kurtoza.
Skośność może być prawostronna lub lewostronna. Poniżej przykład skośności prawostronnej:


Ponieważ mediana, me, dzieli badaną strukturę na dwie równe części, a  średnia jest większa od mediany, to mniej niż połowa danych ma wartości większe od średniej.


A poniżej przykład lewostronnej:



Ponieważ mediana dzieli badaną strukturę na dwie równe części, a  średnia jest mnijesza od mediany, to ponad połowa danych ma wartości większe od średniej.

Kurtoza może być leptokurtyczna lub platykurtyczna. Poniżej widzimy  różne kształty rozkładu w porównaniu do rozkładu normalnego.



Leptokurtoza jest to kurtoza dodatnia i charakteryzuje się wysmukłym wierzchołkiem oraz tzw. grubymi ogonami, tj. rzadkie zdarzenia są częstsze niż dla rozkładu normalnego. Platykurtoza jest to kurtoza ujemna i charakteryzuje się spłaszczonym wierzchołkiem oraz cienkimi ogonami, tzn. mniej prawdopodobne zdarzenia są rzadsze niż dla rozkładu normalnego. 


 V. Zakamouline i S. Koekebakker [6] wyprowadzili SR uwzględniający skośność (ASSR - Adjusted for Skewness Sharpe Ratio). Wzór na ASSR jest następujący:


gdzie


χ - skośność rozkładu stopy zwrotu

b(3) - względna awersja do ryzyka.

Parametr b(3) jest ściśle związany z awersją do ryzyka Pratta-Arrowa. Przypomnę teraz, że w artykule Rozbieżność opinii w kontekście CAPM  zdefiniowana była awersja do ryzyka Pratta Arrowa następująco:


gdzie U - funkcja użyteczności inwestora (dopowiedzmy, że jeżeli awersja do ryzyka pozostaje wielkością stałą, to U jest dana wzorem: U(W) = y1 + y2*(-exp(-a*W)), dla a > 0, gdzie y1 to dowolna liczba; y2 > 0; W to inwestowana kwota. Zob. [5]).

Z kolei parametr b(n) jest dany wzorem:


gdzie n - liczba parametrów rozkładu stopy zwrotu.

Jeśli n = 2, wtedy stopa zwrotu jest opisana tylko wartością oczekiwaną i wariancją. Wtedy też b = 1.
W przypadku 3 parametrów, pojawia się skośność. Dostajemy wtedy wzór:


Parametr b(3) oznacza w tym wypadku preferencję w stosunku ryzyka skośności. Skośność wyznacza pewną osobliwą miarę ryzyka, którą za chwilę omówię. 
Na razie zauważmy, że ASSR zależy od preferencji inwestora, a nie tylko od własności stopy zwrotu. Co to oznacza? Że inwestorzy z różną preferencją do ryzyka skośności będą inaczej rangować ryzykowne aktywa.

Zauważmy teraz, że im większa (dodatnia) skośność, tym większy ASSR. Czyli lepsze zarządzanie portfelem, pomimo iż oczekiwana stopa zwrotu nie rośnie. Dzieje się tak, ponieważ większa dodatnia skośność znacznie zmniejsza ryzyko ujemnych stóp zwrotu i zwiększa prawdopodobieństwo bardzo dużych stóp zwrotu. Przypatrzmy się jednak obu obrazkom gdzie jest dodatnia skośność. Prawdopodobieństwo niskich stóp zwrotu zwiększa się, czyli jest to negatywny efekt, jednakże jest on równoważony przez spadek ujemnych stóp zwrotu i wzrost bardzo dużych stóp zwrotu. Oczekiwana stopa zwrotu pozostaje niezmienna, a jedynie częstości się przesuwają.

Odwrotna sytuacja występuje dla ujemnej skośności. Spada gwałtownie do zera szansa na bardzo duże zyski, rośnie szansa na umiarkowane zyski oraz rośnie szansa na straty. Z punktu widzenia ryzyka ujemna skośność jest niepożądana przez inwestora.

Od razu powiem, że nie jest to wcale proste do zrozumienia. Jeśli ujemna skośność rośnie coraz bardziej, to przecież rośnie szansa na przyzwoite zyski. Dlaczego więc to jest negatywne? Rzecz dotyczy tego samego aspektu co w przypadku innej miary ryzyka, Value at Risk, która mierzy tylko maksymalną stratę z danym prawdopodobieństwem. Trzeba pamiętać, że oczekiwany zysk się nie zmienia i choć największa szansa jest, że "będzie dobrze", to równocześnie rośnie niebezpieczeństwo, że "będzie źle" albo "bardzo źle".

Jednak faktyczna moc ASSR polega na tym, że jeśli inwestor nie ma w ogóle awersji do takiego ryzyka, to b = 0 i wtedy ASSR sprowadza się do SR. Pytanie czy jest to zasadne skoro VaR rośnie (maksymalna strata wzrasta ze względu grubszy lewy ogon rozkładu). Wątpliwe. Skąd jednak mamy wiedzieć jaką awersję do ryzyka skośności przyjąć?

Przy założeniu, że rozkład stopy zwrotu jest tzw. normalnym odwrotnym Gaussowskim rozkładem (nie jest to sztuczne założenie, tzn. ma również podstawy teoretyczne; rozkład ten jest jednym z uogólnień rozkładu normalnego. Co więcej, badania dowodzą, że doskonale dopasowuje się on do rozkładu dziennych stóp zwrotu [2])  U. Homm i C. Pigorsch [4] wyprowadzają uogólniony wskaźnik Sharpe'a (GSR - Generalized Sharpe Ratio), który nie zależy w ogóle od awersji do ryzyka. Wzór na GSR  jest następujący:



gdzie K - kurtoza albo precyzyjniej nadwyżka kurtozy, bo aby porównywać rozkład zmiennej z rozkładem normalnym, musimy odjąć od kurtozy liczbę 3.

Gdy skośność i K są równe 0, GSR sprowadza się do SR.

Jak widać powyższy wzór na GSR uwzględnia nie tylko skośność, ale dodatkowo także kurtozę, a więc ryzyko rzadkich zdarzeń, jak np. krach. Zatem kurtoza mierzy dodatkowo ryzyko załamania. Będzie tak, gdy K > 0. Oczywiście, jeśli K < 0, to ryzyko rzadkich zdarzeń staje się mniejsze niż dla rozkładu Gaussa, zatem ma wtedy pozytywny wpływ na GSR.

Wzór GSR może się wydać skomplikowany, ale jest łatwy w użyciu. Wystarczy podstawić, używając Excela, który ma wszystkie potrzebne miary statystyczne. Zwrócę tu uwagę, że Excel w swoich funkcjach nazywa nadwyżkę kurtozy właśnie kurtozą, a więc wystarczy wstawić bezpośrednią funkcję do wzoru.

Przykład.

Porównajmy SR i GSR na przykładzie paru wybranych spółek i WIG w okresie 30.11.2004 - 27.08.2013. Zakładając, że w tym okresie trzymamy pewne spółki i ich nie sprzedajemy, mierzymy co miesiąc stopę zwrotu (dywidendy są uwzględnione). Dane pobrałem ze stooq.pl. Czyli miesięczne stopy zwrotu stają się podstawą do wyznaczenia SR i GSR:

WIG:
SR = 12,8%.
GSR = 12,5%.

GSR jest mniejszy od SR z powodu ujemnej skośności (-0,37) oraz leptokurtozy (1,58).

PKO:
SR = 12,7%
GSR = 12,4%

SR i GSR dla PKO są niemal identyczne jak dla WIG.

PGD:
SR = 9,3%
GSR = 10,2%

GSR pokazuje, że w rzeczywistości premia za ryzyko w stosunku do podejmowanego ryzyka Pageda jest wyższa o 1% niż wskazywałby SR. Pomimo tej poprawy trzymanie tej spółki od końca 2004 r. do dziś wydaje się być złym pomysłem, skoro WIG przynosi wyższe wynagrodzenie w stosunku do ryzyka. 


LBW:
SR = 14,1%
GSR = 15,6%

W przypadku Lubawy sytuacja wygląda odwrotnie. Nie dość, że SR jest znacznie wyższe od WIG, to jeszcze GSR informuje, że ryzyko jest jeszcze mniejsze. Poprawa GSR wynika z dużej dodatniej skośności LBW, która zmniejsza ryzyko (dla WIG skośność była ujemna).

ELZ

SR = 15,1%
GSR = 15,9%.

Sytuacja Elzabu jest podobna jak w przypadku LBW, a więc znacznie pokonuje indeks.
Tym razem możemy dodatkowo porównać efektywność inwestowania w LBW z ELZ. Gdybyśmy je ocenili w oparciu o SR, to stwierdzilibyśmy, że trzymanie ELZ jest efektywniejsze niż LBW. Ale jak ocenimy je przez pryzmat GSR, to dowiadujemy się, że obie mają porównywalną efektywność: 15,9% u ELZ jest nieznacznie wyższe od 15,6% u LBW, intuicyjnie można wręcz powiedzieć, że różnica jest zaniedbywalna. Zatem jakość zarządzania portfelem w obu przypadkach jest praktycznie identyczna, pomimo że SR mówiłby co innego.


Literatura:
[1] Andrews D. W. K., An  Empirical  Process  Central  Limit  Theorem for  Dependent  Non-identically  Distributed Random  VariableJournal of Multivariate Analysis 38, 187-203 (1991);
[2] Barndorff-Nielsen, O.E., Normal Inverse Gaussian Distributions and Stochastic Volatility Modelling, Scandinavian Journal of Statistics, Volume 24, Issue 1, pages 1–13, March 1997;
[3] Hoeffding, W., Robbins H., The central limit theorem for dependent random variables,
Volume 15, Number 3 (1948), 773-780;
[4] Homm, U., Pigorsch, C., Beyond the Sharpe ratio: An application of the Aumann-Serrano index to performance measurement, April 7, 2012,
[5] Pratt, J. W., Risk Aversion in the Small and in the Large, Econometrica, Vol. 32, No. 1/2. (Jan. - Apr., 1964), pp. 122-136;
[6] Zakamouline, V. ; Koekebakker, S., Portfolio performance evaluation with generalized Sharpe ratios: Beyond the mean and variance, Journal of Banking & Finance, 22 August 2008.

Źródło danych statystycznych: stooq.pl.

niedziela, 28 lipca 2013

Autokorelacja i efektywność rynku

Autokorelacja stóp zwrotu małych spółek na rynkach kapitałowych jest faktem niepodlegającym dyskusji. Ostatnio przedstawiłem wyniki dla polskiej giełdy, dla częstości miesięcznych. Podobne wyniki są uzyskiwane dla rynków zagranicznych. Ciekawe jest to, że dla indywidualnych akcji autokorelacja praktycznie nie występuje albo jest lekko ujemna, lecz dla indeksów następuje złagodzenie zmienności i ujawnia się nagle dodatnia autokorelacja. I dotyczy to głównie małych spółek.

Pierwsze, najprostsze wyjaśnienie jakie przychodzi do głowy to hipoteza podreaktywności. Jeśli przychodzi pewna informacja fundamentalna, to zgodnie z teorią rynku efektywnego ta informacja powinna natychmiast zostać zdyskontowana w cenie akcji. Jeżeli jednak rynek jest podreaktywny, to będzie stopniowo dyskontował tę jedną informację, co wywoła efekt dodatniej autokorelacji w dziennych zmianach kursów. Ponieważ dotyczy to jednak tylko portfela akcji, to znaczy, że informacja ta ma podłoże makroekonomiczne, a nie mikro, ponieważ portfel akcji odzwierciedla stan całości gospodarki.

Takie wyjaśnienie, choć satysfakcjonuje przeciwników rynku efektywnego, rodzi pewne pytania. Po pierwsze, dlaczego autokorelacja dotyczy małych spółek, a nie dużych? Odpowiedź może być taka, że małe spółki lepiej odzwierciedlają stan małych przedsiębiorstw, są bardziej wrażliwe na informacje z makro-otoczenia, a więc zmiany powinny być mocniejsze.

Po drugie, dlaczego autokorelacja utrzymuje się nie tylko w dziennych, ale także tygodniowych i miesięcznych stopach zwrotu? Nawet jeśli informacja jest dyskontowana przez kilka dni z rzędu, to trudno sobie wyobrazić, żeby to trwało aż tydzień, nie mówiąc już o miesiącu.Odpowiedź może leżeć w persystencji pozytywnych lub negatywnych informacji makrogospodarczych, np.w autokorelacji zmian PKB.

T. S. Mech [1] przedstawia dla odmiany możliwe wyjaśnienia zgodne z teorią efektywnego rynku. Po pierwsze autokorelacja może być związana z autokorelacją oczekiwanych stóp zwrotu, które zmieniają się w czasie. To wyjaśnienie zaproponowali Conrad i Kull w 1988 r.

Po drugie niektóre ceny są odrzucane z obliczeń stopy zwrotu indeksu z powodu braku tradingu. (Istotne są tylko informacje sprzed ostatniego tradingu, więc może nastąpić opóźnienie w dyskontowaniu dla danej akcji. Jednak w indeksie nie będą uwzględnione akcje bez wolumenu, więc w indeksie będzie częściowo zawarta informacja poprzez inne akcje, natomiast dla tej niepłynnej akcji informacja zostanie zdyskontowana dopiero przy ustaleniu kursu i przez to indeks będzie przejawiał także opóźnioną reakcję w powiązaniu z autokorelacją). To rozwiązanie zostało zaproponowane przez Fishera w 1966 r.

Po trzecie autokorelacja związana jest ze starymi limitowanymi zleceniami - proponują Cohen, Hawawini, Maier,  Schwartz  and Whitcomb (1980).

Po czwarte, Fisher w 1966 r. stwierdził, że prawdopodobnie autokorelacja wynika z faktu, że koszty transakcyjne uniemożliwiają natychmiastowe zdyskontowanie informacji i stąd następuje opóźnienie w reakcji rynku.

Niewątpliwie są to propozycje, które mają sens dla małych spółek.

Mech stworzył test dla wszystkich zaproponowanych wyjaśnień, badając tygodniowe stopy zwrotu Center  for Research  in Security  Prices  (CRSP) oraz NASDAQ od 1972  do 1986. Aby stwierdzić czy zmienność oczekiwanych stóp zwrotu może wywoływać autokorelację, Mech zakłada, że oczekiwana stopa zwrotu musi być dodatnia (zgodnie z CAPM), a więc logicznie rzec biorąc nie można wtedy przewidzieć ujemnych stóp zwrotu, bo to oznacza, że istniałaby oczekiwana ujemna stopa zwrotu. I tak stwierdza, że autokorelacja jest zbyt silna, by mogła ją tłumaczyć zmienność oczekiwanych stóp zwrotu.

Tutaj jednak muszę się zatrzymać. Faktycznie, zgodnie z każdym znanym CAPM oczekiwana stopa zwrotu jest dodatnia, ale G. Mcqueen, M. Pinegar i S. Thorley (MPT) [2] wskazują na całkiem sensacyjne prace Boudoukha, Richardsona i Smitha  (1993), którzy argumentują, iż premia za ryzyko ex-ante może być ujemna, gdy krańcowa stopa substytucji i premia za ryzyko są dodatnio zależne. Co więcej, Harvey  and  Siddique  (1994) pokazują jak ujemna ex-ante premia za ryzyko może powstać z dodatniej warunkowej skośności w rozkładzie stóp zwrotu.

Wróćmy do badań Mecha. Autor wnioskuje, że autokorelacja jest także zbyt silna, by eliminacja braku tradingu w portfelu mogła ją tłumaczyć. W dodatku stare zlecenia z limitami nie mają istotnego znaczenia dla predykcji stóp zwrotu. Na koniec testuje hipotezę kosztów transakcyjnych. Najpierw popatrzmy jaka powstaje luka w absolutnej stopie zwrotu (wartości bezwzględnej stopy zwrotu) przez płacony spread bid-ask:




Taki spread może z pewnością zredukować motywację do dyskontowania informacji.
Mech buduje własny model testujący hipotezę kosztów transakcyjnych. Podstawową zmienną jest tu odchylenie standardowe tygodniowej stopy zwrotu podzielone przez spread bid-ask (STDSPR). Idea jest prosta. Im większy spread pomiędzy ceną kupna a sprzedaży, tym większe koszty transakcyjne. Z drugiej strony im mniejsze odchylenie standardowe stopy zwrotu, tym wolniejsze dyskontowanie informacji. W sumie więc, im mniejszy STDSPR tym większa powinna być autokorelacja, która tłumaczona byłaby spreadem zgodnie z modelem kosztów transakcyjnych. Mech sprawdza empirycznie ten model. Ponadto analizuje co ma większy wpływ na autokorelację: STDSPR czy wielkość spółki (SIZE). Buduje 4 grupy spółek. W pierwszej grupuje spółki o wysokim STDSPR, a następnie spośród nich wybiera te spółki, które mają podobną kapitalizację (różnica najwyżej 2,5%). W drugiej grupie wybiera spółki o niskim STDSPR i podobnej wielkości kapitalizacji. W trzeciej grupie wybiera większe spółki i spośród nich wybiera te o podobnym STDSPR (różnica max 2,5%). W 4-tej grupie znajdują się mniejsze spółki z podobnym STDSPR. Poniżej jest tabela przedstawiające wyniki tego modelu:



Firmy z większym STDSPR mają autokorelację I rzędu 0,264. Firmy z mniejszym STDSPR mają autokorelację znacznie wyższą, 0,444. Jest to więc wynik zgodny z założonym modelem, chociaż korelacja 0,264 też nie jest taka mała.

Zgodnie z modelem kosztów transakcyjnych, na autokorelację mają wpływ nie wielkość spółki, lecz STDSPR. Czy teza ta potwierdza się w rzeczywistości? Odpowiedź na to pytanie znajdujemy w tabeli, w 3 i 4 grupie spółek. Firmy większe, o podobnym STDSPR mają autokorelację 0,366, natomiast spółki małe o podobnym STDSPR 0,341. Czyli wielkość firmy okazuje się nie mieć znaczenia: to spread wywołuje większy efekt autokorelacji. Jest to wniosek znów zgodny z modelem kosztów transakcyjnych. I jest dość zaskakujący, choć logiczny.

Skoro jednak ciągle występuje autokorelacja 0,264 przy wysokim STDSPR, to trudno uznać taki model za satysfakcjonujący. Ponadto Mech tworzy dodatkowo model prognozujący zmiany stóp zwrotu na podstawie hipotezy kosztów transakcyjnych. Im mniejsze opóźnienie w reakcji, tym stopa zwrotu powinna być większa (bo w danym okresie obejmuje większy wpływ informacji na kurs). Ten model nie potrafił prognozować stóp zwrotu.

Jeszcze większe wątpliwości zachodzą, gdy analizujemy miesięczne stopy zwrotu. Mech badał jedynie tygodniowe stopy zwrotu, więc hipoteza kosztów transakcyjnych miała jeszcze rację bytu: cena małych spółek w danym tygodniu może mieć ciągle opóźnienie ze względu koszty spreadu. Trudno sobie jednak wyobrazić, żeby takie opóźnienie występowało z miesiąca na miesiąc. Ale autokorelacja miesięcznych stóp zwrotu małych spółek występuje, a zatem musi mieć ona inne podłoże niż spread.

Wspomniani wcześniej MPT rozszerzają badania Mecha na miesięczne stopy zwrotu. Ich badania obejmują dane z NYSE w okresie 1963 - 1994. Popatrzmy na poniższe statystyki dla tych stóp zwrotu:






Spółki zostały poukładane w grupy od 1 do 5 według wielkości. 1 - najmniejsze spółki, 5 - największe. Małe spółki charakteryzują się nie tylko największymi średnimi stopami zwrotu, ale także największą autokorelacją I rzędu (0,189), dla dużych spółek to praktycznie zero (0,043).

Ale jest tu coś jeszcze bardziej interesującego, co nie zostało wcześniej przedstawiane. Współczynnik autokorelacji I rzędu został podzielony na UP i DN, czyli na rosnące i spadające stopy zwrotu. Sporym zaskoczeniem może być fakt, że dla małych spółek autokorelacja UP jest ponad dwukrotnie większa (0,203) od autokorelacji DN (0,091).

Autorzy dopatrują się źródła tej asymetrii w związku z dostosowaniem kursu do informacji: pozytywne informacje są wolniej dyskontowane od negatywnych. Czy jednak ta hipoteza ma pokrycie w rzeczywistości? Autorzy budują model, który to weryfikuje. Dla dociekliwych: zgodnie z modelem CAPM akcje są skorelowane z portfelem rynkowym, którego głównymi składnikami są duże spółki. Zatem akcje małych spółek powinny reagować jakoś na zachowanie dużych spółek. Jeśli reagują one na zmiany dużych spółek jeszcze z poprzedniego okresu, to znaczy, że reagują w sposób opóźniony. MPT tworzą model oczekiwanej stopy zwrotu z betą UP i betą DN, czyli betą dla rosnącego i spadającego rynku. W sumie muszą być 4 rodzaje bety: beta(0) UP, czyli wrażliwość ceny akcji na wzrosty całego rynku w tym samym okresie, beta(0) DN, czyli wrażliwość ceny akcji na spadki całego rynku w tym samym okresie, beta(1) UP, czyli wrażliwość ceny akcji na wzrosty całego rynku z poprzedniego okresu, beta(1) DN, czyli wrażliwość ceny akcji na spadki całego rynku z poprzedniego okresu. Małe spółki (grupa 1) reagują na zmiany cen dużych spółek (grupa 5) następująco:



Beta(0) UP małych spółek jest prawie równa 1, czyli małe zachowują się niemal jak duże na rosnącym rynku. Beta(0) DN = 1,41, czyli na spadkowym rynku małe dużo silniej spadają niż duże. Beta(1) UP = 0,42, a więc małe istotnie reagują na wzrosty dużych spółek z poprzedniego okresu. Beta(1) DN = -0,08, a więc jest nieistotna statystycznie (statystyka t = 1,1). Zatem małe reagują na zmiany rynku jeszcze z okresu poprzedniego tylko w okresach wzrostu. Idąc dalej, małe spółki reagują na informacje makro z poprzedniego okresu tylko gdy informacje są dobre. Ponieważ jest to korelacja dodatnia, to znaczy, że małe spółki reagują z opóźnieniem tylko na dobre wiadomości, stopniowo dyskontują dobre dane - rynek jest podreaktywny. Natomiast dla złych informacji, akcje małych spółek reagują natychmiastowo.

MPT twierdzą, że taka asymetria dowodzi braku efektywności rynku. Jednakże jak się tak zastanowić, to taka asymetria nie jest wcale dziwna: łatwiej pozbyć się kapitału niż go zdobyć. Łatwiej sprzedać akcje niż zdobyć pieniądze na ich kupno. Ograniczenia kapitału muszą mieć znaczenie.

Poza tym trzeba pamiętać, że to badanie dotyczyło miesięcznych stóp zwrotu. MPT przeprowadzają także analizę dla tygodniowych stóp i tutaj wyniki są zupełnie inne. Beta(1) DN jest większa od bety(1) UP (0,253 vs. 0,176), a więc tygodniowo negatywna reakcja ciągle jest opóźniona i to nawet silniej niż pozytywna. Zatem wyniki Mecha nie tracą na ważności. 

W końcu MPT także przeprowadzają swój własny, podobny do Mecha, ale zmodyfikowany test hipotezy kosztów transakcyjnych. Miesięczne stopy zwrotu - według MPT - nie potwierdzają hipotezy kosztów transakcyjnych. Mają znaczenie za to wielkość spółki (im mniejsza, tym większa autokorelacja) i wolumen (im większy, tym większa autokorelacja).

Podsumowując, autokorelacja stóp zwrotu na małych spółkach ciągle jest wyzwaniem dla ekonomistów. Tygodniowa autokorelacja została częściowo wyjaśniona za pomocą ograniczeń technicznych i kosztów transakcyjnych, ale już miesięczna bardziej wskazuje na nieefektywność rynku, na podreaktywność inwestorów. A jednak chodzi tu szczególnie o wzrosty, dla których autokorelacja jest ponad 2 razy większa niż przy spadkach. Wydaje się, że po prostu ograniczenia kapitału powodują, że trudniej jest dyskontować dobre informacje niż złe. Dobre informacje rodzą dodatnie oczekiwania zysków, ale te zyski istnieją tylko w abstrakcji, a więc przyciąganie "żywego" kapitału za pomocą samych oczekiwań nie może być takie proste.

Można oczywiście też podać wyjaśnienie oparte na czystej psychologii, np. na tzw. efekcie dyspozycji, tj. skłonności do przedwczesnej realizacji zysków i do zwlekania z realizacją strat [3]. W takiej sytuacji informacje faktycznie będą wolniej dyskontowane i nastąpi większa autokorelacja, ponieważ inwestorzy będą chętni do sprzedaży przy mniejszej stopie zwrotu niż kreują ją informacje rynkowe. Natomiast strat będą unikać, bo tym razem nie mogą sprzedać po zadowalającej ich cenie. Ponieważ niewielka liczba inwestorów zdyskontowała złe dane, a duża liczba inwestorów nic nie robi, kurs po prostu ostro spada i tym samym nie powstaje opóźniona reakcja i autokorelacja jest słaba. 

Literatura:

[1] Mech, T. S., Portfolio return autocorrelation, Journal  of Financial Economics 34 (1993)  307-344. North-Holland, 1992;
[2] Mcqueen, G., Pinegar M, i Thorley, S., Delayed Reaction to Good News and the Cross-Autocorrelation of Portfolio Returns, THE  JOURNAL  OF FINANCE, VOL. LI, NO.  3 ,  JULY  1996;
[3] Shefrin H, Statman M, The Disposition to Sell Winners Too Early and Ride Losers Too Long: Theory and Evidence, Journal of Finance, July 1985

niedziela, 7 lipca 2013

Miesięczne przewidywanie stóp zwrotu

Pomimo, że tak trudno jest regularnie zarabiać na giełdzie, prosta ekonometria wskazuje, że przewidywanie stóp zwrotu jest możliwe. Zrobiłem krótki test dla miesięcznych stóp zwrotu z indeksu WIG i sWIG w okresie czerwiec 2005 - czerwiec 2013 (97 danych). Sprawdziłem najpierw model ARCH i GARCH. Okazało się, że miesięczne stopy zwrotu WIG nie podlegają procesowi ARCH, natomiast występuje pewien efekt GARCH. Jednak w przypadku sWIG nie występuje nawet GARCH. Mówiąc prosto, miesięczna zmienność stóp zwrotu nie jest warunkowana przez zmienność w niedalekiej przeszłości.  

Stopy zwrotu dla WIG okazały się nieprzewidywalne procesem AR (ani też GARCH). Dla AR(1)-GARCH(1,0), czyli stopy zwrotu zależnej od stopy z poprzedniego miesiąca z wariancją o procesie MA(1), otrzymałem praktycznie płaską linię regresji [pozioma linia - stopa zwrotu (t+1), pionowa - stopa zwrotu (t) ]:




Jednak w przypadku sWIG, czyli małych spółek, rzecz wygląda bardzo interesująco. Zwykły model AR(1) potrafi dobrze wymodelować stopę zwrotu (GARCH jak wiadomo odpadł). Dla modelu:

stopa zwrotu (t+1) = stała + b*stopa zwrotu(t) + e

stała okazała się nieistotna, więc ją pominąłem.

Otrzymałem parametry:

   Variable   Coefficient    St. Error    t-statistic    Sign.  
     b                0.428        0.093            4.42     [0.0000]




Czyli możemy zapisać model:

oczekiwana stopa zwrotu (t+1) = 0,428*stopa zwrotu(t)

Ponadto:

R^2 = 15.98%       S.E. = 0.072
AIC = -2.4          BIC = -2.35


Otrzymałem następującą autokorelację [pozioma linia - stopa zwrotu (t+1), pionowa - stopa zwrotu (t) ]:




Imponująca jest silna autokorelacja, która wynosi 0,41.
Na poniższym wykresie obserwujemy zachowanie stopy zwrotu w badanym okresie (niebieska linia) i przyporządkowaną jej wartość oczekiwaną (zielona):



Ostatnia wartość oczekiwana na wykresie to 0,73%, ale nie ma aktualnej stopy zwrotu, bo prognozuje już okres następny, tj. lipiec 2013, którego jeszcze nie mamy. Powinniśmy się spodziewać, że sWIG wzrośnie w lipcu o 0,73%, ale niestety odchylenie standardowe błędu prognozy (S.E.) wynosi aż 7,2%. Prawdopodobnie to ze względu na to duże odchylenie tak ciężko przewidzieć prawidłową wartość. 

środa, 5 czerwca 2013

Czy firmy nie lubią ciąć dywidend?

W ostatnim artykule przedstawiłem argumenty przemawiające za tym, że polityka dywidend może mieć znaczenie dla wartości akcji (kontrastując z twierdzeniem Millera-Modiglianiego), stanowiąc sygnał potencjalnych zmian przyszłych zysków lub przepływów pieniężnych. Mówiłem, że menadżerowie mogą nie mieć bodźców do realizowania optymalnej inwestycji, a przez to będą niechętni do cięcia dywidend. To w pewnym sensie rodzi samospełniającą się przepowiednię, gdyż rynek wiedząc, że menadżerowie będą do tego niechętni, będą mieć większą pewność, że zmniejszenie dywidendy będzie wynikało - tak jak zakładają - z pogorszenia się przyszłych zysków.

Czy jednak fakty się z tym pokrywają? L. T. Bulan [1] podjął się żmudnej analizy  statystycznego zachowania się rynku kapitałowego w stosunku do obcinania dywidend. Zakres badania objął lata 1965-2004, a dane pobrano z CRSP i Compustat. Warunki, które musiały spełniać spółki brane pod uwagę, były restrykcyjne. Spółka nie mogła redukować dywidendy w ciągu 3 lat z rzędu, a redukcja dywidendy musiała wynieść co najmniej 10% aby była uznana za redukcję.
Wnioski Bulana są następujące:

1. Reakcja rynku na obcięcie dywidend jest proporcjonalna do elementu zaskoczenia. 3-dniowa skumulowana anormalna stopa zwrotu wokół momentu ogłoszenia obcięcia dywidendy jest bardziej negatywna dla firm z mniejszymi oznakami pogorszenia się wyników finansowych w porównaniu do tych firm, które już wcześniej pogarszały wyniki.

2. Większość firm obcinała dywidendę w ostateczności.

3. Powodem obcięcia dywidendy było najczęściej osłabienie kondycji finansowej firmy. Co więcej, brak ciągłości pogorszenia się wyników mogło w dużym stopniu wykluczyć opcję ucinania dywidend. Zamiast tego firmy wolą obcinać wydatki kapitałowe.

Poniżej zamieściłem statystyki prezentujące udziały firm ucinających dywidendę z danego powodu:



High Score Cutters oznacza te firmy, które ucinały dywidendę ze skłonnością (prawdopodobieństwem) powyżej 50%. Low Score Cutters to firmy, które ucinały dywidendę z najmniejszą skłonnością spośród wszystkich firm.
Jak widać średnio prawie 66% firm redukowało dywidendy z powodu słabszych wyników. Firmy o wysokiej skłonności do redukcji dywidendy stanowiły z tego tytułu 70%, a o niskiej skłonności 61%. Z kolei cięcie dywidendy i zatrzymanie pieniędzy w celach inwestycyjnych, nabycia akcji własnych bądź redukcji długu stanowiło ok. 20% firm (także dla High Score Cutters i Low Score Cutters), czyli ponad 3-krotnie mniej niż z pierwszego powodu.

Możemy także przyjrzeć się skumulowanym nadwyżkowym stopom zwrotu obliczonym przez odjęcie od stopy zwrotu danej firmy stopę zwrotu z indeksu CRSP ważonego kapitalizacją, przy czym chodzi o 3-dniową stopę zwrotu scentrowaną wokół dnia ogłoszenia redukcji dywidendy:


+ oznacza istotność stat. na poziomie 10%. High Score Non-Cutters to firmy, które nie redukują dywidendy z prawdopodobieństwem powyżej 50%. Stopa zwrotu zarówno w przypadku High-Score-cutterów jak i Low-Score-cutterów jest mocno ujemna w ciągu tych 3 dni, natomiast High-Score-noncutterzy są jakby leciutko premiowani dodatnią stopą zwrotu. Z szansą ponad 50% nie cięli dywidend i dlatego średnio biorąc stopa jest na plus.

 W konsekwencji możemy stwierdzić, że fakty statystyczne potwierdzają teorię sygnałów. Firmy nie lubią ciąć dywidend, bo akcjonariusze nie lubią spadku dywidend i stąd główne źródło tego spadku pochodzi od osłabionej sytuacji fundamentalnej firmy. A to rodzi samospełniającą się przepowiednię, że rynek będzie miał rację w tym, żeby obniżyć kurs akcji.

Literatura:

[1] L. T. Bulan: To Cut or Not to Cut a Dividend, November 2010. 


Dopisek:

Teoria sygnałów jest od dawna znana w nauce ekonomii. Jej pionierem był M. Spence, który w 1973 r. opracował swój model, tyle że dotyczył on rynku pracy. Później uogólniono ten model na cały rynek, np. rynek kapitałowy. W pewnym sensie akcjonariusze są pracodawcami menadżerów firmy, kierując się sygnałami wysyłanymi przez potencjalnych pracowników. Szukają więc oznak, że dany pracownik jest wartościowy. W sytuacji braku doświadczenia na danym stanowisku, sygnałem może być wykształcenie, dodatkowe szkolenia, certyfikaty.. A więc sam papierek. To oczywiście rodzi ryzyko. Analogia z giełdą jest oczywista.

czwartek, 18 kwietnia 2013

Polityka dywidend przy asymetrii informacji

Ekonomiczne twierdzenie, że polityka dywidend nie wpływa na wartość akcji (przedsiębiorstwa) staje się kontrowersyjne, gdy uwzględnimy fakt, że menadżerowie mają zawsze znacznie większą wiedzę o firmie od inwestorów. O ile zarząd dokładnie wie, co oznacza ogłoszona przez nich zmiana wielkości dywidendy w następnych okresach, o tyle zwykli inwestorzy opierają się tylko na tym, co zostało im przekazane. Zdając sobie sprawę, że zarząd ma przewagę informacyjną nad nimi, muszą w wycenie akcji uwzględniać nie tylko samą informację, ale także własną niepewność i obawy co do faktycznych zamiarów, intencji zarządu lub ukrywanych faktów.

Aby dokładnie zrozumieć różnicę pomiędzy sytuacją gdy inwestorzy są w pełni poinformowani a sytuacją przy niepełnej informacji, przeanalizujmy najpierw 3 przypadki przy pełnej informacji:

1) Do spółki dociera negatywna informacja fundamentalna powodująca spadek oczekiwanego zysku. Powoduje to natychmiastowo spadek kursu akcji. Za chwilę zarząd ogłasza spadek prognozowanej dywidendy. Kurs po tej informacji się nie zmienia, ponieważ dane zostały zdyskontowane wcześniej.

2) Zarząd uznaje, że zamiast wypłacić dywidendę, lepiej będzie nabyć akcje własne w celu umorzenia, aby nie płacić podatku od dywidendy. Kurs wzrośnie, ponieważ kapitał własny spółki wzrośnie o niezapłacony podatek, a oczekiwana stopa zwrotu akcjonariuszy w wyniku twierdzenia o nieistotności polityki dywidendy się nie zmieni.

3) Zarząd chce obniżyć dywidendę, a zatrzymany zysk zainwestować w nowy projekt. Projekt niesie tylko ryzyko niesystematyczne. Ogłoszenie tej informacji podnosi kurs akcji, ponieważ większa niepewność ROE podnosi wartość akcji zgodnie z twierdzeniem Pastora i Veronesiego omówionym w tym artykule .

W pierwszym przypadku informacja o mniejszej dywidendzie w ogóle nie zmienia kursu akcji, ponieważ jej zmiana była tylko rzeczą wtórną w stosunku do poprzedniej informacji.
W drugim przypadku kurs wzrasta wprawdzie w wyniku ogłoszenia zmiany wielkości dywidendy, ale dzieje się tak tylko ze względu na "optymalizację podatkową". Gdyby podatku od dywidendy nie było, to wartość akcji by się nie zmieniła. Sama zmiana dywidendy nie wpływa na wartość akcji, ponieważ mniejszy zysk z dywidendy zostaje zrekompensowany większym zyskiem kapitałowym (wzrostem kursu) wynikającym z większego zysku na akcję (w obrocie jest mniej akcji, podaż spada). Wynika z tego, że gdy dodatkowo występuje efekt podatkowy, to wartość akcji musi wzrosnąć. Gdyby bowiem sama informacja o obniżeniu dywidendy miała negatywny wpływ na wartość akcji, to w połączeniu z efektem podatkowym nie wiadomo by było, czy kurs wzrośnie czy spadnie. A w ten sposób odpowiedź jest jednoznaczna.
W trzecim przypadku kurs wzrasta, ponieważ sama zmiana dywidendy nie wpływa negatywnie na wartość akcji, a jednocześnie wzrasta zmienność ROE, co przekłada się na większe w uśrednieniu wzrosty zysku w przyszłości, a tym samym większą wartość obecną. 

 Teraz możemy prześledzić te same przypadki, ale przy asymetrii informacji, a więc gdy inwestorzy mają mniejszą wiedzę o spółce od menadżerów:

1) Do spółki dociera negatywna informacja implikująca spadek oczekiwanego zysku. Inwestorzy nie wiedzą o tym dopóki nie zostanie ona przekazana do publicznej wiadomości. Jeśli najpierw zostanie ogłoszona informacja o mniejszym zysku, a potem dopiero o mniejszej dywidendzie, to inwestorzy prawdopodobnie zachowają się podobnie jak w przypadku pełnej informacji: zdyskontują mniejsze zyski, a już nie mniejszą dywidendę. Ale jeśli informacja o dywidendzie będzie pierwsza, to oczywiście stanie się ona przesłanką do obniżenia kursu akcji. Wyobraźmy sobie teraz sytuację, że zarząd rekomenduje dywidendę mniejszą od oczekiwanej przez rynek. Logiczne jest, że kurs będzie reagował spadkiem. Nawet jeśli bezpośrednio zmiana dywidendy nie wpływa na wartość akcji, to pośrednio już tak - ponieważ inwestorzy traktują dywidendę jako sygnał spadku przyszłych zysków.

2) Zarząd uznaje, że zamiast wypłacić dywidendę, lepiej będzie nabyć akcje własne w celu umorzenia, aby nie płacić podatku od dywidendy. Jednak zarząd oczywiście nie ogłasza powodów, dla których rekomenduje takie posunięcie. Niby wszyscy wiedzą o co chodzi, ale inwestorzy są podejrzliwi co do prawdziwych przesłanek obniżenia lub niepłacenia dywidendy. Opisywana jest w literaturze anomalia rynku kapitałowego polegająca na tym, że po ogłoszeniu buy-backu przez spółkę, akcje przynoszą w okresie następnych kilku lat anormalne dodatnie stopy zwrotu [1]. Inwestorzy nie podnoszą natychmiast wartości akcji, choć wiadomo, że zarząd stara się zmaksymalizować wartość firmy unikając podatku od dywidendy.  Możliwe, że - przynajmniej częściowym - wyjaśnieniem jest to, że inwestorzy wierzą, że spółka chce zmniejszyć dywidendę, bo spodziewa się mniejszych zysków. Niezapłacony podatek służy wtedy przykryciu mniejszych dochodów. Wiele zależy od dotychczasowej polityki dywidendy. Jeśli spółka dotychczas płaciła dywidendy, to dlaczego nagle zmienia kierunek? To wygląda na kombinowanie. Może zarząd prognozuje mniejsze zyski, a niezapłacony podatek miałby je wyrównać? Jeśli tak, to sytuacja spółki wcale się nie poprawia i kurs może w ogóle nie wzrosnąć, co miałoby miejsce przy pełnej informacji rynku, a nawet spaść, jeśli inwestorzy wierzą, że zarząd prognozuje mniejsze od oczekiwanych przez nich zyski. Dopiero gdy inwestorzy dokładnie przekonają się, że przyszłe zyski będą odpowiadać im oczekiwaniom (lub że zarząd nie prognozuje spadku wyników), zaczną dyskontować informację o dodatnim efekcie podatkowym, co będzie wyrażać się stopniowymi zwyżkami kursu i w ten sposób można wyjaśnić anormalne stopy zwrotu. (Tyle że jest to moje wyjaśnienie owego fenomenu).

3) Zarząd chce obniżyć dywidendę, a zatrzymany zysk zainwestować w nowy projekt. Inwestorzy mają dwie zagwozdki. Po pierwsze muszą sami ocenić czy projekt niesie tylko ryzyko niesystematyczne czy także systematyczne. Jeśli ryzyko jest także systematyczne, to zwiększy to stopę dyskontową i może zniwelować dodatni efekt wzrostu wynikający ze zmienności ROE.
Po drugie nie mają pewności czy inwestycja ta jest optymalna. Można byłoby pomyśleć, że skoro inwestorzy nie mając dostatecznej wiedzy na ten temat, powinni polegać na ocenie zarządu. Ale czy racjonalny inwestor nie powinien mieć krytycznego spojrzenia na działania menedżerów? Raczej tak. Nie może wierzyć w każde słowo zarządu.

Zgodnie z twierdzeniem o nieistotności polityki dywidendy, wartość akcji w okresie 0 można wyrazić za pomocą wzoru (1):

(1)

gdzie:

X(t) - zysk netto w okresie t
I(t) - inwestycje w okresie t
r - oczekiwana stopa zwrotu

Wiadomo, że zarząd spółki powinien dążyć do maksymalizacji bogactwa akcjonariuszy, czyli do maksymalizacji wartości akcji. Ale względem której zmiennej należy szukać maksimum? Zysk w okresie t jest w rzeczywistości zależny od inwestycji, które zostały poczynione w poprzednim okresie. Czyli zysk netto będzie funkcją zależną od I(t-1). Optymalna wielkość inwestycji będzie więc czynnikiem decydującym o wielkości zysku, a tym samym wartości akcji. To właśnie inwestycje są poszukiwaną zmienną.
Warunkiem koniecznym ekstremum jest, aby pochodna ceny po inwestycjach, dP(0)/d(I(t-1)), była równa 0. Ponieważ I(t) oraz stopa r nie zależą od I(t-1), a ponadto obliczamy ekstremum dla inwestycji w każdym okresie, których może być nieskończenie wiele, otrzymujemy ogólny warunek konieczny:

(2)



Widać, że maksymalizacja wartości akcji odpowiada po prostu maksymalizacji zysków we wszystkich okresach. Z równania (2) uzyskujemy optymalne inwestycje. Oczywiście funkcja X(t) może nie mieć żadnego ekstremum i np. rosnąć w nieskończoność wraz ze wzrostem I(t-1). Np. funkcja logarytmiczna całkiem dobrze może odwzorowywać zależność oczekiwanego zysku od inwestycji, gdy każdy dodatkowy wzrost inwestycji powoduje coraz mniejszy przyrost oczekiwanego zysku ze względu na rosnące koszta lub malejącą krańcową produkcyjność. Aby zaistniało maksimum funkcji, można byłoby dołożyć tutaj dodatkowe warunki ograniczające, np. jakieś efekty zewnętrzne lub ograniczenia emisji akcji (koszty alternatywne związane z utratą możliwości zarobienia pieniędzy gdzie indziej). Chodzi tutaj jednak tylko o eksperyment myślowy: inwestor zastanawia się bowiem czy zarząd dokonuje właściwych decyzji. Inwestora interesują jednak głównie inwestycje w pierwszych okresach, które są z jednej strony łatwiejsze do oszacowania, z drugiej powodują największą asymetrię informacji. Zarządzający mają większą wiedzę w zakresie potencjału wzrostu w najbliższych kwartałach/latach, natomiast dalsza przyszłość jest na tyle niepewna, że zarząd wie o niej tyle co rynek.

Skoro inwestor ma ograniczoną wiedzę, to musi ten brak jakoś skompensować. Stąd każda informacja o dywidendach stanie się dla niego silnym sygnałem o prognozowanych zyskach i będzie na niego bardzo wrażliwy. Nawet jeśli obiektywnie zmiana wielkości dywidendy nie powinna mieć żadnego znaczenia po skorygowaniu o efekt podatkowy, to obiektywizm ten jest zupełnie inny z punktu widzenia wiedzy inwestora.

Okazuje się więc, że z racjonalnego punktu widzenia rynkowa wartość akcji może odbiegać od obiektywnej wartości fundamentalnej lub mogą powstać różne kryteria obiektywności wartości fundamentalnej w zależności poziomu wiedzy inwestorów.

Powróćmy do przykładu 3 w przypadku asymetrii informacji. Inwestorzy zostają poinformowani, że inwestycje muszą wzrosnąć, aby wartość firmy osiągnęła maksimum. Oznacza to jednak zmniejszenie dywidendy. Tak naprawdę dostajemy tutaj dwie informacje: po pierwsze mamy mgliste pojęcie o pewnej nowej inwestycji, którą zarząd planuje przeprowadzić, po drugie mamy pełną jasność, że otrzymamy mniej pieniędzy (z dywidendy). Inwestorzy zatem będą bardziej wrażliwi na spadek dywidendy niż na możliwą optymalizację inwestycji. We wzorze (1) nie występują dywidendy, ale zyski i inwestycje. Inwestycje mają wzrosnąć na korzyść wyższych przyszłych oczekiwanych zysków (a więc bieżące mniejsze dywidendy mają zostać skompensowane większymi dywidendami w przyszłości). Jeśli jednak inwestorzy obawiają się, że te przyszłe zyski nie będą wcale wyższe, to licznik będzie mniejszy i wartość akcji spadnie. Kurs zaczyna pikować.

Z punktu widzenia zarządu inwestorzy zaniżają wartość akcji, ponieważ informacja o dobrej inwestycji ma pozytywny wpływ. Menedżerowie także posiadają akcje i widząc, że ich bogactwo topnieje, czują się oszukani i niedoceniani. Rodzi to pokusę, by w takim razie nie szukać optymalnych inwestycji, bo one wcale nie maksymalizują akcji...
Co więcej, skoro inwestorzy traktują dywidendę jako sygnał dla wartości akcji, rodzi to pokusę zawyżania dywidendy u zarządzających, by sztucznie wywindować kurs (inwestorzy dostają sygnał, że prognozowane na przyszłość zyski rosną). Wtedy oczywiście będą mogli sprzedać akcje i osiągnąć ponadnormalny zysk.

Jednak inwestorzy zdają sobie sprawę z możliwości takiej manipulacji ze strony zarządu. W pewnym zakresie mogą ją zaakceptować, ale nie mogą pozwolić, by zarząd mógł zarabiać ich kosztem. Muszą więc zdawać sobie sprawę, że wysoka dywidenda może wcale nie odzwierciedlać zysków powyżej oczekiwań, tylko sprytną grę menedżerów.

Powstaje pytanie czy istnieje jakieś rozwiązanie tej psychologiczno-ekonomicznej gry? Powinna zaistnieć równowaga, w której żadna strona nie traci na korzyść drugiej, czyli istnieje efektywność Pareta. Aby tak się stało, inwestorzy mogą np. reagować silniej na spadek prognozowanej dywidendy niż na wzrost, aby nie kusić sprzedawaniem akcji. Zarząd będzie więc starał się realizować politykę dywidendy zgodnie z oczekiwaniami rynku, ale nie będzie miał raczej pokusy zawyżać dywidendy powyżej oczekiwany poziom.

Powstaje pytanie czy taka strategia nie jest krótkowzroczna. Przecież gdyby zarząd od początku nie zważałby na zachowanie kursu, tylko konsekwentnie realizował swój projekt, to w końcu rynek "obudziłby się", tj. podniósłby akcje, spostrzegając, że dana inwestycja generuje wyższe zyski niż gdyby jej nie zrealizowano. Problem leży w tym, że inwestycje trwają ciągle, a więc rynek po tej udanej inwestycji miałby już niepewność, że kolejne dywidendy zaniżono, bo kolejne zyski w przyszłości mają spaść. Wartość akcji będzie w takich okolicznościach nieprzerwanie niedoszacowana z punktu widzenia zarządu. Natomiast jeśli zarząd kieruje się oczekiwaniami rynku co do dywidend w niedalekiej przyszłości kosztem optymalnych inwestycji, to wartość akcji jest paradoksalnie maksymalna(!) 

Warto zwrócić uwagę, że jeśli faktycznie zarząd będzie stosował taką strategię, to powstanie strata społeczna z tytułu utraty korzyści z realizacji optymalnych inwestycji. W sumie bowiem oczekiwany zysk mógłby być wyższy, a ten wzrost służyć do dalszych wzrostów zysku i dywidend w przyszłości. Strata społeczna powstaje w wyniku kosztu możliwości oszustwa, kosztu braku zaufania itp.

Przedstawiona powyżej analiza relacji rynek-zarząd to oczywiście tylko teoria wskazująca racjonalne zachowania przy niepełnej informacji rynku. Prawdziwe zachowania mogą być bardziej złożone, np. zawierać pierwiastki nieracjonalności, być może także uwzględniają inne czynniki, o których tutaj nie wspomniano. 

Literatura:

[1] D. Ikenberry, J. Lakonishok, T. Vermaelen, Market Underreaction to Open Market Shares Repurchases, The Journal of Financial Economics 39 (1995) 181-208;
[2] M. H. Miller; K. Rock, Dividend Policy under Asymmetric Information, The Journal of Finance, Vol. 40, No. 4. (Sep., 1985), pp. 1031-1051.

poniedziałek, 11 lutego 2013

Mój fundamentalny wskaźnik oceny spółki

Wyprowadzony ostatnio wzór pozwalający uchwycić wskaźnikową istotę oceny przedsiębiorstwa nie nadaje się do obiektywnej oceny przedsiębiorstwa ze względu na występujące w nim czynniki zależne od wyborów akcjonariuszy. Chodzi tu o poziom dźwigni finansowej, czyli zadłużenie kapitału własnego oraz współczynnik wypłaty dywidendy. Czynniki te mają wpływ na stopę wzrostu sprzedaży (zysku), ale nie mają wpływu na wartość przedsiębiorstwa. (Fakt iż dywidendy nie mają wpływu dowodziłem dawno temu we wpisie Twierdzenie o nieistotności polityki dywidendy. Dziś pokażę między innymi, że zadłużenie nie ma wpływu na wartość firmy). Dlatego przy ocenie spółki powinniśmy kierować się nie tyle wzrostem, co rentownością, ale trzeba uważać czy przypadkiem znów pewien czynnik nie wpływa na rentowność. Inny poziom zadłużenia spowoduje inny poziom ROE. Skoro wiemy, że ROE = ROA*(1+L), gdzie L to poziom dźwigni finansowej, to można się spytać czy w takim razie po prostu w ROA nie leży odkodowana informacja o wartości. Ale ROA = Zysk / Aktywa. Czy zmiana zadłużenia ma wpływ na aktywa? Nie ma dopóki rozumiemy zmianę wielkości kapitału własnego jako kompensatę długu (mniej długu, ale więcej kapitału własnego). To jednak też wcale nie jest takie oczywiste, bo przecież ile razy mówi się o tzw. "optymalnej strukturze kapitału", a więc takiej strukturze, która zapewnia najwyższą wartość przedsiębiorstwa. Zgodnie z podstawową konstrukcją teoretyczną Modiglianiego i Millera nie istnieje coś takiego jak optymalna struktura kapitału, ale do tego trzeba dojść powoli. Z drugiej strony licznik ROA to zysk, a przecież jeśli dług wzrasta, to zysk spada, ponieważ odsetki od zobowiązań wzrastają: zysk netto to zysk operacyjny, czyli EBIT minus odsetki. No tak, ale i to nawet nie jest takie oczywiste, bo pytanie brzmi czy gdyby istniała optymalna struktura kapitału, to czy nie zapewniałaby najwyższych zysków netto, a więc do pewnego poziomu wzrost odsetek nie zwiększałby wręcz zysku?

Jest to zagadnienie teoretyczne i może wydaje się, że "praktycznemu" inwestorowi nie przyda się. Jednak pokażę, że właśnie zrozumienie tych podstawowych idei pozwoli zwiększyć umiejętności doboru spółek w portfelu. Wyprowadzę bowiem własny wskaźnik fundamentalny (a więc nie ściągnąłem go od nikogo), który pozwoli obiektywnie ocenić firmę. Opiera się on właśnie na idei braku istotności struktury kapitału oraz braku istotności polityki dywidend, czyli jest niezależny od wyborów polityki akcjonariuszy.

Koszt kapitału firmy

Koszt kapitału jest jednym z najważniejszych problemów w ekonomii. Choć powstała cała masa literatury na ten temat, to tak naprawdę ciągle ona bazuje z jednej strony na klasycznej już teorii Modiglianiego i Millera (MM) o nieistotności polityki zadłużenia na wartość przedsiębiorstwa oraz o nieistotności polityki dywidend na wartość przedsiębiorstwa, z drugiej strony na teorii zbudowanej na statystycznej naturze wymaganej stopy zwrotu, czyli CAPM.

Pomimo że wielokrotnie już ten temat omawiałem w różnych kontekstach, chcę teraz szybko pokazać jak MM wyprowadzili swój wzór na koszt kapitału, a następnie przejść do głębszej części, w której wyprowadzam wzór na ważony koszt kapitału firmy na podstawie własnych przemyśleń. Czyli ostatnie przekształcenia są mojego autorstwa.

Przede wszystkim zakładamy, że rynek prawidłowo wycenia akcje. Takie założenie wcale nie jest zbyt silne: ile to razy Tobie czy mi wydawało się, że akcje zaraz zawrócą, bo przecież są zdecydowanie za tanie albo za drogie. Potem jednak okazuje się, że wcale nie zawracają, tylko dalej kierują się bezpruderyjnie, bez żadnych zahamowań. W takiej sytuacji, choć brzmi to niedorzecznie, trzeba przyjąć, że dzieje się nie po naszej myśli, ponieważ inwestorzy mają rozbieżne opinie o przyszłych zyskach firmy, a więc z naszą opinią nie zgadza się rynek. Więcej na temat rozbieżności opinii o wartości akcji można przeczytać m.in. w następujących artykułach: Rozbieżność opinii w kontekście CAPMRozbieżność opinii, nieefektywność rynku i trendy akcji, czyli model Millera .  Ponadto niejednokrotnie zdarza się też, że po dłuższym czasie wychodzą pewne informacje, które powodują, że akcje nie wydają się już nam lub znacznie mniej prze- lub niedowartościowane.

Samo wyprowadzenie wzoru jest proste i nie za nie MM otrzymali Nagrodę Nobla. Ich praca jest napisana bardzo ciężko i topornie, kiedyś gdzieś czytałem, że sami MM powiedzieli, że napisali ją w sposób skomplikowany, żeby nikt im nie zarzucił, że przedstawiają banały. Trochę im nie wierzę, myślę, że nie potrafili jaśniej wywieść swoich wniosków, ale niech im będzie. 

Ale wróćmy do tematu. Co to jest stopa zwrotu z kapitału? Oczywiste, ale zwracam uwagę, że musimy pamiętać czy mówimy o księgowym kapitale własnym, rynkowym kapitale własnym czy kapitale obcym czy też kombinacji którychś z nich. Nas interesuje
1. rynkowy kapitał własny, czyli wartość rynkowa, czyli cena akcji na rynku razy ilość akcji
2. kapitał obcy, czyli zobowiązania, które nazywamy długiem

Akcje i obligacje (a także kredyty i inne pożyczki) stanowią całkowity kapitał, czyli aktywa. Rynkowa wartość kapitału własnego oraz długu daje wartość firmy V. Oczekiwany zysk z aktywów to dla akcjonariuszy dywidenda plus zysk ze wzrostu akcji, a dla obligatariuszy i wierzycieli - kupony i odsetki. Zatem oczekiwana stopa zwrotu WACC wynosi:

(1)



WACC, ang. weighted average cost of capital, czyli ważony koszt kapitału firmy. Dlaczego ważony? Później zobaczymy. EBIT(m), (ang. Earnings Before deducting Interest and Taxes) – jest to zysk operacyjny, czyli zysk przed odliczeniem podatków i odsetek. Indeks m oznacza, że jest to rynkowy zysk operacyjny, czyli zysk  który nie jest równy księgowemu zyskowi operacyjnemu, gdyż zysk akcjonariusza może zawierać coś więcej lub coś mniej niż zysk netto.

Możemy zapisać:

(2)


W następnej kolejności definiujemy oczekiwaną stopę zwrotu z wartości rynkowej akcji r:

(3)


Oczywiście, zysk akcjonariusza powstaje po odjęciu odsetek od długu. Podstawmy (2) do (3). Otrzymujemy wzór na wymaganą lub oczekiwaną stopę zwrotu akcjonariusza (koszt kapitału własnego):

(4)


Zauważmy, że możemy z (4) wyprowadzić znany wzór na WACC:


Widać więc, że WACC można zapisać w postaci średniej ważonej udziałami rynkowego kapitału własnego i długu. Stąd bierze się właśnie nazwa WACC.


Zmiana struktury kapitału nie zmienia wartości firmy

Załóżmy, że są dwie firmy 1 i 2, które generują taki sam EBIT(m), ale firma 1 nie finansuje swojej działalności długiem, a firma 2 tak. Rozważmy inwestora którego majątek wynosi c. Za c kupuje pewną część firmy 2. Ta część firmy wynosi α. Wynika z tego, że dochód inwestora z akcji firmy 2 jest równy 
Y2 = α (EBIT(m) - Odsetki od zobowiązań):

(5)




gdzie B2 to dług firmy 2.

Teraz załóżmy, że inwestor sprzedaje swoje akcje firmy 2 o wartości rynkowej S2 i za wynagrodzenie nabywa akcje firmy 1 (koszty transakcyjne odkładamy na bok). Przestając być właścicielem firmy 2, inwestor przestaje być dłużnikiem w firmie 2 (w stosunku do podmiotów z zewnątrz). Jednak mógłby niezależnie zaciągnąć taki sam dług o identycznym oprocentowaniu, bo firma 1, której teraz częściowo jest właścicielem, posiada takie same warunki co firma 2. Skoro teraz inwestor posiada spółkę 1, to za pożyczone pieniądze nabywa jeszcze więcej akcji spółki 1. Konieczne do zapłacenia odsetki od długu oddziela od majątku firmy 1, a więc firma 1 formalnie zacznie płacić odsetki, ale nie zmieni to zysku operacyjnego. Staje się to możliwe, ponieważ dzięki zaciągniętemu długowi inwestor posiada teraz więcej akcji firmy 1 niż pierwotnie, a więc jego oczekiwany dochód z tytułu większej liczby akcji wzrośnie; oznacza to, że z tego dodatkowego dochodu będzie mógł wypłacić odsetki (tak jakby to zrobiła firma 2). De facto odsetek nie płaci firma 1, tylko sam inwestor. Sumujc fakty, majątek inwestora jest to już nie tylko kwota z akcji αS2, ale też dodatkowa αB2, zatem c = α (S2 + B2).
Jaki jest teraz jego dochód z firmy 1? Całkowita zainwestowana kwota wynosi c, a stopa zwrotu z aktywów firmy 1 równa się WACC(1). Zwrot z aktywów wynosi więc WACC(1)*c = WACC(1)*α (S2 + B2). Po odjęciu odsetek od długu, α*rb*B, dostaniemy całkowity dochód inwestora:

(6)



Wzór (1) mówił, że WACC = EBIT(m)/V = EBIT(m)/(S + B). Jednocześnie wiadomo, że firma 1 nie posiada długów, więc WACC(1) = EBIT(m)/S1. Możemy więc (6) zapisać (pamiętajmy, że obie firmy mają ten sam EBIT(m)) tak:

(7)


Porównując (7) z (5) widzimy, że dopóki V2 > V1, to Y1 > Y2, a więc staje się możliwy arbitraż: inwestorzy będą sprzedawać akcje firmy 2, co spowoduje spadek wartości S2, a przez to spadek V2. Będą kupować akcje firmy 1, co wywoła wzrost wartości S1, a przez to wzrost V1. Cały proces będzie trwał dopóty dopóki Y1 nie zrówna się z Y2 i w ten sposób musi zajść równość V1 = V2.  Identyczny tok rozumowania zastosujemy, gdy V2 < V1, tylko w odwrotnym kierunku. W końcu, analizę można przeprowadzić w stosunku do samej firmy: może ona dowolnie zmieniać ilość długu w stosunku do kapitału własnego, a jej wartość pozostanie niezmienna. Wartość firmy nie zależy więc od struktury kapitału.


Można byłoby postawić zarzuty wobec tej teorii, że przecież od samego początku zakłada, że EBIT(m) obu firm jest równy i stąd wynikają dalsze wnioski. Ale trzeba zrozumieć, że porównujemy jedynie firmy w tej samej klasie, można w przybliżeniu powiedzieć, że w tej samej branży. Oczywiste, że porównanie wartości firm wymaga pewnej proporcjonalności ich dochodów w stosunku do liczby akcji. Firmy de facto nie muszą mieć tego samego rynkowego zysku operacyjnego, ale muszą mieć ten sam rynkowy zysk operacyjny na jedną akcję. Czyli tę przeprowadzamy de facto dla samej ceny akcji, a nie wartości rynkowej.


No dobrze, ale skąd wiadomo, że np. jeśli zwiększymy zadłużenie w firmie, to księgowy zysk operacyjny EBIT nie poprawi się? Łatwo zauważyć, że jest to niemożliwe. Cała powyższa analiza nie dotknęła nawet przez moment działalności ekonomicznej spółki. Jedynie zmienialiśmy strukturę kapitału w naszym portfelu. Firma nie mogła poprawić swojego funkcjonowania tylko przez nasze niezależne operacje finansowe - to jest oczywiste.





WACC jako koszt kapitału własnego firmy niezadłużonej


Ponieważ V nie zależy od struktury kapitału, to znaczy, że WACC też nie zależy od struktury kapitału. Dlaczego? WACC = EBIT(m) / V. Wiemy, że zmienianie wielkości zadłużenia nie zmieni V. Natomiast przed chwilą wykazałem, że księgowy EBIT także się nie zmieni. Czy wynika z tego, że EBIT(m) także się nie zmieni? Tak. EBIT(m) różni się od EBIT jedynie zyskiem pochodzącym z aktywów niematerialnych, niewycenialnych w księgowy sposób. Ale podczas zamiany akcji i wykorzystaniu długu przecież nie dotknęliśmy w żaden sposób także ponadnormalnych zysków ekonomicznych.


Skoro WACC nie zmienia się na skutek zmiany struktury kapitału, to znaczy, że jeśli będziemy manipulować zmienną B/S, WACC = const. Jeśli B/S = 0, to WACC staje się kosztem kapitału własnego firmy niezadłużonej. Ponieważ niezależnie od poziomu B/S, WACC jest stały, to znaczy, że jest on zawsze kosztem kapitału własnego firmy nie korzystającej z długu. Inaczej mówiąc, WACC jest oczekiwaną stopą zwrotu dla firmy nie korzystającej z długu. To z kolei implikuje własność równania (4): oczekiwana stopa zwrotu z akcji jest równa stopie zwrotu z akcji firmy niezadłużonej (z tej samej klasy aktywów) powiększonej o premię za ryzyko związane z zadłużaniem się przez firmę (z tej samej klasy).


Mój fundamentalny wskaźnik oceny firmy


Załóżmy teraz, że stopa zwrotu z kapitału własnego, ROE', jest równa kosztowi kapitału własnego, r - wtedy S = BV. Oznacza to teraz, że WACC jest to ROE' dla firmy nie korzystającej z długu. Oznaczmy ją ROE'(0). Wzór (4) możemy zapisać:



(8)





Wiadomo już, że ROE' = ROE*(1+g), gdzie g - stopa wzrostu zysku netto. ROE' odnosi się do oczekiwanego zysku, podczas gdy ROE do danych obecnych. Oznaczmy również B/S = B/BV = L. Zatem zapiszemy:



(9)



Wyznaczamy z (9) g:


(10)



Z poprzedniego artykułu wiemy, że:


(11)


gdzie d - współczynnik wypłaty dywidendy, d = dywidenda / zysk netto.

Zrównujemy (10) z (11) i wyznaczamy ROE(0)':

(12)

Możemy zauważyć, że zachodzą następujące związki:

(13)

 Podstawiając (13) do (12), dostaniemy wzór w postaci ważonego kosztu kapitału:

(14)


Wiemy już, że ROE(0)' jest niezależny od poziomu zadłużenia firmy. Z twierdzenia o nieistotności polityki dywidendy wynika z kolei, że ważony koszt kapitału zarówno własnego, jak i całej firmy, jest niezależny od poziomu dywidendy. Zatem wzór (14) lub (12) reprezentuje wskaźnik oceny firmy, który jest niezależny zarówno od struktury kapitału, jak i od poziomu dywidend. Wydaje się, że może on stanowić bardzo użyteczne narzędzie w analizie fundamentalnej ze względu na łatwość interpretacji, prostotę i szybkość użycia. Będę go dalej nazywał po prostu księgowym WACC, w skrócie KWACC. Ponieważ KWACC jest również rentownością kapitału własnego po skorygowaniu o efekt zadłużenia, to można się nim posługiwać jako obiektywne kryterium oceny firmy. Jeśli wykorzystujemy do oceny firmy zaproponowany wskaźnik KWACC, to przyjmujemy założenie, że porównujemy firmy z tej samej klasy aktywów, a więc jakby z tej samej branży. Oznacza to jedynie, że KWACC na akcję powinien być identyczny dla obu spółek. To że KWACC powinien być taki sam dla porównywanych spółek (w czasie lub przestrzeni) nie oznacza, że będzie zawsze taki sam. Bo tak wynika tylko z teorii równowagi. Jeżeli w wyniku porównania KWACC okazuje się, że któryś z nich jest wyższy, to znaczy, że rentowność kapitału własnego po skorygowaniu o efekt zadłużenia będzie wyższa, więc spółka może być uznana za efektywniejszą. Zatem im większy jest KWACC, tym lepsza firma w danej klasie firm, a więc porównujemy przy jego użyciu firmy z tej samej branży.

Wyższy KWACC może wynikać z faktu, że wyższy jest EBIT, a wyższy EBIT z kolei z tego, że rb jest mniejsza. Mniejsza rb sprawia przecież, że mniejsze są odsetki. Stąd spółka może być uznana za lepszą, jeśli ma mniejszą stopę rb. Chociaż dowód na nieistotność struktury kapitału na wartość firmy opierał się na stałej stopie rb, to do praktycznych porównań można, a nawet należy stosować właściwą stopę rb dla danego aktywa.

Trzeba wspomnieć, że KWACC można uogólnić uwzględniając współczynnik emisji nowych akcji, tak jak to wcześniej robiłem. Wtedy zamiast (1-d) wstawiamy po prostu k, współczynnik wzrostu kapitału własnego, o którym można przeczytać szerzej np. w poprzednim artykule

Przykład


Ostatnio bardzo dobrze zachowuje się kurs Polic. Dla szybkich rachunków posłużyłem się danymi z bankier.pl, choć zdaję sobie sprawę, że zdarzają się tam błędy. Potrzebne mi dane są jednak u nich dobrze porozkładane. Wg bankiera w danych zannualizowanych w 3 kw. 2012 r. spółka miała ROE = 26% i jest to wynik gorszy niż rok wcześniej, kiedy uzyskała 29%. Z drugiej strony ROA się poprawiło i odpowiednio wynosiło: 16,8% i 14,9%.  Natomiast L spadło i wyniosło odpowiednio 0,55 i 0,95. Stopę procentową rb proponuję obliczać następującym sposobem:

rb = (Zysk operacyjny - zysk brutto) / Zobowiązania.

Dla Polic rb w 3 kw. 2012 (narastająco) wyniósł 2,1%, a rok wcześniej 2,4%. Obliczenia tym sposobem faktycznie nie są może zbyt realistyczne, bo rb powinna być wielokrotnie większa, ale tutaj nas interesuje porównanie wartości w czasie, a nie dokładne liczby. Police nie wypłacają dywidend, d = 0. Podstawiając potrzebne dane do (12) otrzymałem:


a) dla 3 kw. 2012: KWACC = 23,4%
b) dla 3 kw. 2011: KWACC = 22,1%


Zatem można stwierdzić, że Police w 3 kw. 2012 poprawiły swoją efektywność o nieco ponad 1 pkt proc. w stosunku do roku wcześniej.   




Literatura:


Franco Modigliani; Merton H. Miller, "The Cost of Capital, Corporation Finance and the Theory of Investment", The American Economic Review, Vol. 48, No. 3. (Jun., 1958), pp. 261-297.