Prawdziwe znaczenie wskaźnika Cena/Zysk i Cena /Wartość księgowa. Badanie empiryczne

Dwa ulubione wskaźniki inwestorów: Cena/Zysk oraz Cena/Wartość księgowa - oto temat na dziś. Czytam często taką oto "prawdę objawioną" na temat pierwszego z nich (nie tylko na forum giełdowym, ale także w artykułach pisanych przez profesjonalistów):

C/Z tej spółki < 10, więc jest ciągle tania. (czyli znajduje się poniżej wartości fundamentalnej)

Albo:

C/Z tej spółki > 20, więc jest już droga. (czyli jest powyżej wartości fundamentalnej)

Na temat drugiego:

C/WK tej spółki < 1 (>2), więc jest ciągle tania (już droga).


Mam wrażenie, że 90% inwestorów i analityków powtarza te puste frazesy bez zastanowienia. Zakorzeniły się one w świadomości giełdowej tak silnie, że nawet jeśli wiemy, że to tylko frazes, to i tak w praktyce się nim posługujemy.

Przestudiujemy zagadnienie wskaźnika Cena/Zysk, a następnie Cena/Wartość księgowa, po to aby raz na zawsze rozprawić się ze starymi mitami, choć zdaję sobie sprawę, że to niewiele pomoże - w końcu niczego nowego nie odkrywam. Może jedynie opisuję wszystko na swój sposób i pakuję w jeden ciąg myślowy, bez żadnych przystanków - każdy kolejny element wiąże się z poprzednim.

W poprzednim artykule "Twierdzenie o nieistotności polityki dywidendy" dowiedliśmy, że model DDF jest równoznaczny z DCF, co zapisaliśmy następująco:



gdzie

D(t) - oczekiwana dywidenda w t-tym okresie
X(t) - oczekiwany zysk netto w t-tym okresie
I(t) - oczekiwane (nowe) inwestycje w t-tym okresie
r - oczekiwana stopa zwrotu; stopa dyskontowa

Przypomnijmy, że ten zapis DCF wynika z założenia, że finansujemy inwestycje tylko za pomocą zysków zatrzymanych i emisji akcji:



gdzie
m(1) - liczba nowych akcji w okresie 1
P(1) - wartość akcji w okresie 1

W rzeczywistości ostatnim możliwym źródłem finansowania są nowe długi. Łatwo zauważyć, że jeśli będziemy chcieli wycenić tylko kapitał własny firmy, wtedy to dodatkowe finansowanie niczego nie zmieni w powyższym wzorze:

Z drugiej jednak strony trzeba pamiętać, że zwrot z inwestycji odzwierciedlony we wzroście zysku netto powstaje po uwzględnieniu wszystkich nowych inwestycji:

W artykule Analiza tempa wzrostu zysku firmy pokazałem, że jeśli oczekiwana rentowność kapitału własnego jest stała w czasie, tzn.

ROE = Oczekiwany zysk netto/(Kapitał własny) = const

wtedy mamy:



A więc można uniknąć używania inwestycji z długami. 
Zainwestowany kapitał stanowi pewną część zysku netto, tj. I(t) = k*X(t). Czyli:




Podstawiając do ogólnego wzoru na DCF otrzymujemy:



ROE*k to po prostu stopa wzrostu zysku netto. Niech ROE*k = w. Stąd k = w/ROE. Ponieważ otrzymujemy szereg geometryczny o nieskończonej liczbie wyrazów, to przy założeniu w < r, model sprowadza się do zmodyfikowanego modelu Gordona. Ponieważ zaczynamy od t = 1, dla pierwszego wyrazu X(t-1) = X(0). W konsekwencji otrzymujemy następujący model:



Powyższy wzór czasami nazywany jest modelem Grahama i Dodda.

1) Wskaźnik Cena/Zysk

Jeśli podzielimy obie strony równania przez zysk netto, dostaniemy wskaźnik Cena/Zysk:



Należy tu zwrócić uwagę, że wzrost zysku netto (w) nie jest równoważny wzrostowi dywidendy (g). Czyli w ogólnym przypadku:



Z dywidendowego modelu Gordona:



wynika, że stopa dyskontowa jest równa sumie stopy oczekiwanej dywidendy i stopy wzrostu dywidendy:



Jednak w artykule Teoria ekonomii jak filozofia Wschodu pokazano, że całkowity zwrot inwestora wynosi:



Jeśli podzielimy obie strony równania przez P(0), okazuje się, że stopa dyskontowa jest równa:



Czyli łącząc obydwie zależności widzimy, że:



Stopa wzrostu dywidendy jest równa stopie aprecjacji waloru. Zysk spółki natomiast nie musi rosnąć w tym tempie.


Badanie empiryczne

Na koniec sprawdzimy czy wyprowadzony model jest zgodny z rzeczywistością. Potrzebna nam duża liczba danych i coś reprezentatywnego. Idealnym przykładem będzie S&P 500. Ponadto potrzebujemy określić:

- stopę dyskontową r
- ROE
- stopę wzrostu zysków w

Dane obejmą lata od początku 1933 do końca 2009 r. Użyłem danych na stronie Shillera (http://www.multpl.com). Zacznijmy od stopy dyskontowej. Już wiemy, że stopa dyskontowa jest to nie tylko oczekiwana stopa zwrotu z indeksu S&P 500, ale także stopa dywidendy z tego indeksu. Musimy więc dodać stopę zwrotu z indeksu do stopy zwrotu z dywidendy. U Shillera podane kapitały są wyrażone w wartości realnej.Zamienimy wszystkie wartości na nominalne. Tutaj warto coś powiedzieć. Chociaż stopa inflacji w USA jest najczęściej brana na poziomie 2,5-3%, to w rzeczywistości jest to prawda dla okresu od 1900 r. Już po roku 1932, inflacja silnie rośnie i od tego okresu, tj. od 1933 r. średniorocznie wynosi aż 3,56%. Jest to zasługa programów FED-u mających na celu wydobycie gospodarki z zapaści pod kryzysie 1929-1932 i późniejszego silnego zwiększania podaży pieniądza.
Średnioroczna realna stopa zwrotu z S&P 500 wyniosła w badanym okresie 3%. Obliczamy więc nominalną stopę aprecjacji na podstawie wzoru, który wyprowadzono we wpisie Realna stopa procentowa nie taka realna?:



Podstawiono g, ponieważ jak wyżej wykazano, stopa wzrostu dywidendy jest równa stopie aprecjacji kursu. g(i) w tym przypadku oznaczono jako realną stopę.

Stopa dywidendy wyniosła 3,84%. W sumie

r = 6,67% + 3,84% = 10,51%.

Przypomnijmy wpis Średnioroczna realna stopa zwrotu DJIA wraz ze stopą dywidendy , gdzie przedstawiono statystykę stóp zwrotu dla DJIA dla różnych okresów. Średnia stopa zwrotu dla lat 1933-2009 wyniosła 11,1%, czyli blisko obliczonej przed chwilą stopy dyskontowej. Wydaje się, że nasza nieco mniejsza jest poprawniejsza i bardziej reprezentatywna.

Drugi czynnik to ROE. Wykorzystałem ten artykuł bloga Avivy, w którym autor także wycenia S&P 500 za pomocą tego samego modelu. Podaje statystykę ROE dla lat 1976-2009. Średnia wyniosła 15,4%. Dane z takiego źródła są jednak ryzykowne. Sprawdziłem na wszelki wypadek statystykę podaną w książce "Security Analysis" Grahama i Dodda. Dla lat 1976-1985 średnie ROE wyniosło 14,24%, czyli mniej. Nie wiadomo także czy identycznie dokonywano obliczeń wskaźnika. U Grahama i Dodda za kapitał własny w mianowniku ROE podstawiono średni kapitał własny obliczony jako średnia z początku i końca roku. Poprzestańmy na blogu Avivy. Autor podaje źródło statystyk Standard&Poors i Bloomberg, więc mu zaufamy. Przyznam, że próbowałem znaleźć te dane na tych stronach, ale nie mogłem się do nich dokopać.
Czy możemy przyjąć do naszej analizy ROE = 15,4%? Autor tego artykułu tak właśnie robi. Można mieć jednak co do tego wątpliwość. Załóżmy, że kapitał własny jest tutaj obliczony jako średni kapitał własny w roku, czyli (kapitał własny na początku roku + kapitał własny na końcu roku)/2. To oznacza, że roczny zysk netto, który został wykazany w rachunku wyników został wygenerowany przez ten kapitał własny tylko w pewnej części. Kapitał na końcu roku sam zawiera zysk wygenerowany przez wcześniejszy kapitał. Nas powinna interesować sytuacja, gdy kapitał własny z początku roku generuje zysk z całego roku. Aby to zobaczyć, przyjrzyjmy się raz jeszcze wzorowi:



Tak więc, podawane ROE = 15,4% nie jest tym ROE, które nas interesuje, bo nas interesuje jedynie to ile kapitał wygeneruje przyszłego zysku. Wynika z tego, że nasze właściwe ROE będzie równe

ROE = X(t) / (średni kapitał własny w okresie t-1) = X(t-1)*(1+w) / (średni kapitał własny w okresie t-1) = ROE'*(1 + w)

gdzie ROE' = X(t)/(średni kapitał własny w okresie t).

Będziemy zapisywać:



gdzie

BV(t-1) - wartość księgowa (book value) na akcję w (t-1)-tym okresie, czyli kapitał własny na akcję w (t-1)-tym okresie.


Średnia realna stopa wzrostu zysku spółek S&P 500 wyniosła w danym okresie 2,7%. Czyli nominalnie:

w = 0,027(1+0,0356) + 0,0356 = 0,06356 = 6,36%.

Czyli

ROE = 0,154*(1 + 0,0636) = 0,1638 = 16,38%.

Ostatecznie podstawimy dane

r = 10,51%.
ROE = 16,38%
w = 6,36%

do wzoru:



Porównajmy ten wynik ze średnią historyczną Cena/Zysk. U Shillera od 1933 r. średnie C/Z wyniosło 17,44. Zwróćmy jednak uwagę, że nie jest to wskaźnik Cena/Zysk w tym sensie, że kurs indeksu dzielimy przez obecny zysk netto spółek. Zysk netto zostaje obliczony jako średnia z 10 ostatnich lat. Ja obliczyłem Cena/Zysk "normalnie", czyli (obecna cena/obecny zysk). W ten sposób otrzymałem średnią 16,83.

Zauważmy, że wystarczy tylko minimalnie zmniejszyć stopę dyskontową:



aby otrzymać empiryczną wartość.

Cena/Zysk zależy więc od trzech czynników (r, ROE, w), a najsilniej od wymaganej stopy zwrotu r. Wyższe ryzyko i wyższe od rynku r będzie powodować, że cena/zysk będzie mniejsze od rynkowej, a w przypadku mniejszego ryzyka i mniejszego r wskaźnik ten będzie wyższy. Jeśli dla S&P 500 P/X > 17, powstaje ryzyko przewartościowania akcji. Jeśli P/X < 16, powstaje możliwość niedowartościowania. Jednak poszczególne spółki mogą mieć zupełnie inne kryteria.


2) Wskaźnik Cena/Wartość księgowa

Zauważmy, że nasz model można łatwo przekształcić. Skoro wiemy, że ROE = ROE'*(1+w) = X(0)*(1+w)/BV, to otrzymujemy:



A to można jeszcze raz przekształcić:



Czyli wartość wewnętrzna równa się:



lub:



Jeśli ROE równa się stopie dyskontowej, wartość wewnętrzna akcji jest równa wartości księgowej na akcję. Jeśli ROE > r, wartość akcji przewyższa wartość księgową. Jeśli ROE < r, wartość akcji jest niższa od wartości księgowej. Pamiętajmy, że w < r. W przeciwnym wypadku pojawiają się paradoksy, ponieważ cena skacze do nieskończoności (szereg jest rozbieżny).

A więc Cena/Wartość księgowa wyraża się wzorem:




Badanie empiryczne
Z danymi na temat cena/wartość księgowa dla S&P500 jest ciężko, jakoś nie można tych danych łatwo dostać (i już zaczynam tworzyć teorie spiskowe). Znalazłem jedną poważniejszą pracę - można ją tutaj przeczytać - gdzie pokazany został wykres Price to book. Dane dotyczyły lat 1979 - 2000, a więc zdecydowanie jest to niereprezentatywna próba dla naszego badania. Na dodatek w tym czasie wskaźnik był niestacjonarny, a więc średnia nie istniała. Można wyciągnąć oczywiście średnią i tutaj wynosiła ona ok. 2,3, jednakże jest to sztuczna operacja. Ale niech będzie - uznamy, że 2,3 to średnie P/BV. Zobaczmy co wychodzi z modelu:



A więc z tej perspektywy model nadal doskonale sobie radzi.


Podsumowując badania, trzeba stwierdzić, że wyniki są zadziwiające, a wnioski fascynujące. W długim okresie model działa znakomicie. Setki badań wykazuje, że ludzie nie zachowują się w pełni racjonalnie. A pomimo tego w uśrednieniu czasowo-przestrzennym dostajemy strukturę racjonalną - rynek dąży do efektywnego. Teoria ekonomii działa, a wszelkie przekształcenia, których dokonaliśmy mają sens.


Literatura:

1. B. Graham, D. Dodd, Security Analysis, Fifth Edition, s. 79
2. M. H. Miller, F. Modigliani, Dividend Policy, Growth, and the Valuation of Shares, The Journal of Business, Volume 34, Issue 4, October 1961, 411-433;
3. B. Brench, A. Sharma, B. Gale, C. Chichirau, J. Proy, A Price To Book Model Of Stock Prices
4. M. Cichosz, Czy fundamentalna wartość S&P 500 jest powyżej 1300 pkt.?, http://blog.avivainvestors.pl

Twierdzenie o nieistotności polityki dywidendy

W zażartych dyskusjach giełdowych często pojawia się temat-dylemat czy spółka powinna wypłacać dywidendę czy nie. Model zdyskontowanych dywidend (Discounted Dividend Flow - DDF) zakłada, że dywidendy stanowią podstawę wyceny akcji. Zerowa dywidenda w każdym okresie oznacza zerową wartość wewnętrzną akcji. Czy jednak DDF jest jedyną prawidłową metodą wyceny? Odpowiedź jest trochę tajemnicza: tak i nie. Czy można racjonalnie wytłumaczyć wzrost kursu akcji nie odwołując się do oczekiwania zwiększenia przyszłych dywidend? Dlaczego kurs akcji miałby rosnąć, jeśli inwestor nie może oczekiwać konkretnego dochodu? Co właściwie użytecznego daje trzymanie akcji poza prawem do dywidendy? Mamy trochę praw przysługujących właścicielom akcji, których użyteczność jest obiektywnie niemierzalna. Nie mówiąc już o tym, że nie mogą stanowić powodu do aprecjacji wartości w czasie. Literatura przedmiotu (np. "Inwestycje" K. Jajugi i T. Jajugi), a także przeciwnicy inwestowania w oparciu o dywidendy wskazują, że dywidenda nie musi być jedyną wartością dla inwestora. Często doszukują się wirtualnych pożytków w postaci wolnych przepływów pieniężnych (Free Cash Flow - FCF). Rozważa się hipotetyczną sytuację, że pewien duży inwestor mógłby przejąć daną spółkę. Pojawia się pytanie, ile by za nią zapłacił. Wydaje się, że wtedy słusznym staje się użycie FCF w modelu dyskontowym, tzn. zastosowanie modelu zdyskontowanych (wolnych) przepływów pieniężnych (Discounted (Free) Cash Flow - DCF). FCF to wolne przepływy gotówkowe, które powstają po odjęciu od zysku netto inwestycji w aktywa trwałe i obrotowe, dodaniu długu netto (zaciągnięty dług minus spłacony dług) i dodaniu kosztów niebędących wypływem gotówki (w szczególności amortyzacja). Czyli: FCF = X - FI - WI + NB + NC gdzie: X - zysk netto spółki FI - inwestycje w aktywa trwałe WI - inwestycje w aktywa obrotowe NB - dług netto NC - koszty nie będące wypływem gotówki Widać, że dokonujemy pewnej korekty zysku netto. Inwestora nie interesuje papierowy zysk, ale czysta gotówka. Dług jak by nie patrzeć stanowi żywy pieniądz, którym się obraca. (A zysk netto powstaje w oparciu o zasadę memoriałową, zgodnie z którą należy odjąć wszelkie obciążające koszty niezależnie od momentu zapłaty i podobnie dodać przychody). Wolne przepływy pieniężne są bardzo podobnym terminem do przepływów pieniężnych używanych w rachunkowości, które oblicza się w podobny sposób (metoda pośrednia). Warto zauważyć, że w rachunkowości wiele pozycji jest rozbitych. Na przykład we wzorze powyżej nie znajdziemy pozycji należności, które należy odjąć od zysku netto. Ale czym są należności jak nie po prostu inwestycją? A tę odjęliśmy. Korzyścią z przejęcia spółki są więc hipotetyczne dywidendy, które tutaj nazywamy FCF. Właściciel to właściciel, więc każdy akcjonariusz powinien mieć takie samo prawo do owych hipotetycznych dywidend. Problem wydaje się być rozwiązany: spółka nie wypłaca faktycznych dywidend, lecz nic nie stoi na przeszkodzie, by potencjalne dywidendy w postaci FCF stały się podstawą do oszacowania wartości akcji. Niestety, pozornie. Nie wiem jakie byśmy cuda nie wymyślali i nazwali FCF hipotetyczną, potencjalną czy czarodziejską dywidendą, to jest to dywidenda niewypłacona - jest to gotówkowy zysk zatrzymany. Zysk zatrzymany służy do dalszych reinwestycji i zwiększania zysku w przyszłości, a więc i FCF. Ale to oznacza, że oszukujemy sami siebie: udajemy, że dostajemy dywidendę, która zwiększa udawaną dywidendę w kolejnych okresach, a więc liczymy tę samą dywidendę wielokrotnie, co zdecydowanie zawyża wartość akcji przy użyciu DCF. Nie możemy liczyć dywidendy, która ciągle pracuje na przyszłe zyski spółki. Możemy ją przenieść w przyszłość, ale wtedy dzisiejsza dywidenda stanie się zerowa. W konsekwencji, model DCF zostaje odrzucony na korzyść DDF, w którym wystąpią same zera i dopiero gdzieś w nieokreślonej przyszłości faktyczne dywidendy - wtedy jednak dyskonto sprowadzi je do zera. Wartość akcji staje się zerowa. Otrzymujemy wniosek, że należy posługiwać się modelem z faktycznymi dywidendami, a więc DDF. Ale w takim razie co z DCF? Na razie nie mieszajmy obu modeli. Model DDF to PODSTAWA. Nie można wchodzić w DCF, bo prosta logika przedstawiona powyżej zakazuje go używać. Model DDF nie może zostać odrzucony jak to się wydaje przeciwnikom dywidend. Mimo to, pokażemy, że DCF jest równoważny DDF. Zaprezentujemy tok rozumowania Mertona Millera i Franco Modiglianiego, którzy swego czasu wywrócili do góry nogami standardowy obraz wyceny akcji. Naukowcy ci w 1961 r. w artykule "Dividend Policy, Growth, and the Valuation of Shares" udowodnili, że na rynku efektywnym (doskonałym) polityka dywidendowa nie wpływa na wartość przedsiębiorstwa, a tym samym na wartość jego akcji. Odkryli oni twierdzenie o nieistotności polityki dywidendy (irrelevance of dividend policy). Dowód Sam dowód jest bardzo krótki i genialnie prosty. Ponieważ wiemy, że DDF to prawidłowy model wyceny akcji, to od niego zaczynamy. Przypomnę, że zostało dowiedzione w Dlaczego stosujemy model Gordona?, iż DDF można zapisać w postaci: gdzie: P(t) - wartość wewnętrzna akcji w okresie t D(1) - oczekiwana dywidenda w okresie 1 r - stopa dyskontowa (wymagana stopa zwrotu) Przemnóżmy obie strony równania przez liczbę naturalną n(0). Liczba n(0) ma ekonomiczną interpretację - jest to liczba akcji w okresie 0. A więc n(0)P(0) = V(0) to wartość całego przedsiębiorstwa w okresie 0 (zakładamy, że firma nie zaciąga długów, gdyż nie zmienia to istoty dowodu, a niepotrzebnie komplikuje analizę). Z kolei n(0)D(1) = D(1) to wszystkie dywidendy płacone w okresie 1. Dokonajmy następnie małej manipulacji dodając i odejmując te samą liczbę m(1)P(1): m(1) - nowa liczba akcji, które zostały wyemitowane w okresie 1 m(1)P(1) - nowy kapitał akcyjny podnoszony przez spółkę aby sfinansować potrzebne inwestycje. Inwestorzy kupią m nowych akcji już po cenie P(1). Na razie jedynie dokonaliśmy matematycznego przekształcenia równania. Jak dużo kapitał akcyjny powinien wzrosnąć? Jeśli oznaczymy przez I(1) całkowite inwestycje w okresie 1, a zysk netto w okresie 1 przez X(1), to nowy wyemitowany kapitał musi wynieść: Kapitał na inwestycje może bowiem pochodzić z dwóch źródeł: -finansowania wewnętrznego, czyli zysku zatrzymanego, czyli X(1) - D(1) lub - finansowania zewnętrznego, czyli właśnie m(1)P(1). A więc inwestycja, która nie jest zyskiem zatrzymanym, jest właśnie kapitałem zewnętrznym, w tym przypadku pochodzącym z emisji akcji. Wyemitowany kapitał, podobnie jak zysk zatrzymany, będzie służył pomnażaniu bogactwa w przyszłości. W finansowaniu zewnętrznym dodatkowo można uwzględnić dług. Nie wprowadzamy tego czynnika, bo nie zmienia istoty dowodu. Podstawmy m(1)P(1) z ostatniego równania do ostatniego wyrazu przedostatniego równania: Ponieważ D(1) redukuje się, otrzymujemy wzór na wartość przedsiębiorstwa: W okresie 1 liczba akcji zwiększyła się, więc zapisujemy [n(0) + m(1)]*P(1) = n(1)*P(1) = V(1). Ponieważ wartość V(1) można rozpisać w analogiczny sposób jak V(0) i z każdą kolejną powtarzać tak w nieskończoność, dywidenda nie wystąpi w równaniu, więc wartość przedsiębiorstwa nie zależy od dywidendy. Koniec dowodu. Zauważmy, że X(1) - I(1) to FCF w samej okazałości. (Wystarczy uwzględnić dodatkowo dług netto i koszty nie stanowiące wypływu gotówki, aby zobaczyć, że to istotnie FCF). Jeżeli przyjmiemy stałą stopę dyskontową, to otrzymujemy DCF: Wystarczy wyciągnąć z prawej strony równania spoza sumy n(0) (przy czym liczba akcji się zmienia, więc n(t)*[X(t+1) - I(t+1)] zostanie podzielone przez n(0)) i podzielić przez tę liczbę obie strony równania, aby powrócić do wartości akcji: Interpretacja Powstaje pytanie o interpretację ekonomiczną powyższego przekształcenia. Na początek spójrzmy, że niczego nowego nie wprowadziliśmy do wyceny za pomocą DDF. Wszystko pozostało na swoim miejscu, model DDF pozostał modelem DDF. A jednak ekonomicznie coś tu można dostrzec. Spółka emituje nowe akcje, ale to powoduje spadek ich wartości ze względu na ich większą podaż. Żeby więc wartość obecna spółki nie zmniejszyła się w wyniku takiej operacji, wyemitowany kapitał musi służyć wzrostowi dywidendy. Czyli spadek ceny akcji - tj. w wyprowadzonym przez nas przypadku spadek P(1) - zostanie skompensowany wzrostem dywidendy D(1). Inwestor uzyskuje przecież zysk z dwóch źródeł: dywidendy oraz z aprecjacji kursu. Oba efekty zmian muszą się dokładnie znieść, ponieważ wartość akcji jest niezależna od polityki dywidend, a więc od ustalania jej poziomu. Odwrotna zajdzie sytuacja, gdy spółka zacznie wykupywać swoje akcje. Podaż akcji spadnie, kurs wzrośnie, zaś dywidenda będzie musiała spaść (spółka przeznacza pieniądze nie na dywidendę, lecz na własne akcje). Inwestor dostanie mniej z dywidendy, ale za to więcej z aprecjacji kursu. Oba efekty muszą się znieść. Ten ostatni punkt implikuje, że spółka może nie wypłacać w ogóle dywidend, ale w zamian będzie co stały odcinek czasu wykupywać własne akcje. Trzeba tu uważać, aby nie popaść w pułapkę błędnych wniosków. Musi bowiem zajść następująca równość: Jeśli podstawiamy zero za dywidendę w każdym okresie, to wartość akcji jest zerowa - to o czym mówiliśmy na początku. Ale zerowa wartość bierze się stąd, że spółka nie dokonuje żadnego wykupywania swych akcji, bo gdyby tego dokonywała, we wzorze pojawiłaby się pewna wartość m(t)P(t) - w tym przypadku ujemna, bo m to nowa ujemna liczba akcji. Lewa strona powyższego wzoru może zostać przedstawiona w postaci: Ujemna wartość m(t)P(t) spowoduje, że cena pozostanie dodatnia. Został więc zilustrowany mechanizm "przekształcenia" dywidendy w zysk wynikający ze spadku liczby akcji, tj. ze spadku podaży akcji. Spadek podaży spowoduje wzrost ceny akcji, gdyż relatywnie popyt wzrośnie. Zauważmy, że oznaczenie D(t) zmieniło się - nie jest to żaden błąd, gdyż nie jest to ta sama dywidenda. Gdyby liczba akcji nie zmieniła się, to mielibyśmy normalne oznaczenie D(t), bo byłby to DDF. Tutaj jednak to się zmienia, bo dywidenda "ze starymi akcjami" nie jest równa dywidendzie "z nowymi (choćby ujemnymi) akcjami". Zerowa dywidenda może nie wynikać jedynie z nabywania własnych akcji. Można założyć, że dywidendy są bardzo małe, znacznie poniżej jednostki pieniężnej jak grosz czy cent i jedynie istnieją w abstrakcji. Dzięki temu, że dywidenda będzie tak mała, to zysk zatrzymany będzie stanowił silny czynnik wzrostowy przyszłych zysków i dywidendy. Dywidenda może być nieskończenie mała i nigdy nie pojawić się w empirii. Można jednak przyjąć, że w przyszłości pojawi się dzięki silnemu wzrostowi. Im bardziej zmniejszymy początkową dywidendę, tym stopa wzrostu dywidendy będzie bliższa wymaganej stopie zwrotu przez inwestora, czyli stopie dyskontowej. Podsumowanie i wnioski Odkryte dość dawno temu prawo ekonomii o braku istotności dywidendy dla wyceny przedsiębiorstwa jest po dziś dzień mało zrozumiałe. Inwestorzy zazwyczaj dzielą się na takich, którzy inwestują dla przyszłych dywidend i takich, których dywidendy nie interesują. Ci pierwsi uznają, że bez dywidend spółka jest bezwartościowa, drudzy, że dywidendy są marnotrawstwem pieniędzy, które mogłyby zostać zainwestowane w celu zwiększania kapitału własnego. Mają też duży argument w postaci podatku od dywidendy, który musi zostać zapłacony - niezapłacony podatek pracuje na zwiększenie przyszłych zysków i daleko w przyszłości dywidend. Na rynku efektywnym zarówno model DDF jak i DCF są poprawnymi modelami wyceny akcji i implikują same siebie, więc nie ma znaczenia którą metodą dokonujemy wyliczeń. Jednak w przypadku, gdy spółka dokonuje zmian w kapitale akcyjnym (wykup własnych akcji i emisja akcji), to bezpieczniej jest używać DCF. Ponieważ założenie, że spółka będzie przez długi okres czasu dokonywać wykupu akcji jest sztuczne, to najczęściej taką możliwość pomija się w wycenie. W praktycznej wycenie muszą więc zostać wykazane konkretne dywidendy. Czy więc dywidendowcy zwyciężają? Pomimo, że w praktycznej wycenie spółka musi płacić dywidendy, to jak wcześniej stwierdzono dywidendy te mogą być tak małe, że jedynie istnieć abstrakcyjne. Niemal cały zysk będzie służyć do generowania dużego wzrostu przyszłego zysku/dywidendy. W przyszłości dywidenda może pojawić się już w empirii silnie rosnąc, ale nie jest to konieczne. Z ekonomicznego punktu widzenia (biorąc pod uwagę nieciągłość w punkcie zero) spółka może nie płacić w ogóle dywidendy i wszystko będzie w porządku. Wydaje się, że ze względu na podatek od dywidendy, racjonalnym posunięciem jest właśnie minimalizacja dywidendy. (Tak przy okazji to jest to niezłe zdzieranie pieniędzy - spółka osiąga zysk, od którego płaci podatek, a jeśli płaci dywidendę, to od zysku netto jeszcze dodatkowy podatek). Literatura: 1. Merton H. Miller, Franco Modigliani, Dividend Policy, Growth, and the Valuation of Shares, The Journal of Business, Volume 34, Issue 4, October 1961, 411-433; 2. Krzysztof Jajuga, Teresa Jajuga, Inwestycje. Instrumenty Finansowe, Aktywa Niefinansowe, Ryzyko Finansowe, Inżynieria Finansowa, W-wa 2006, s. 164.

Teoria ekonomii jak filozofia Wschodu

Mistycy Wschodu nauczają ludzi, że przeszłość i przyszłość to złudzenie umysłu, a istnieje jedynie teraźniejszość. Stwierdzenie to okazuje się zgodne z teorią efektywności rynku. W teorii tej przeszłość nie ma żadnego znaczenia, ponieważ wszystkie informacje mające znaczenie dla instrumentu finansowego zostały już zdyskontowane w jego wartości bieżącej. Podobnie wygląda sytuacja w przypadku przyszłości. Można się trochę dziwić - jak to, przecież racjonalne oczekiwania (teoria racjonalnych oczekiwań związana z teorią efektywnego rynku) właśnie dotyczą przyszłości. Należy przede wszystkim zauważyć, że oczekiwania te stanowią dzisiejsze oczekiwania co do przyszłości. Przyszłość jest nieznana, niepewna, ryzykowna. Ponadto sam wymiar czasu powoduje, że znaczenie przyszłości staje się zniekształcone. Dlatego właśnie w modelach dyskontowych dokonujemy dyskonta kapitałów. Omawialiśmy model DDF:



gdzie:

P(0) - wartość wewnętrzna akcji w okresie 0
D - dywidenda (płacona dziś)
D*(1+g)^t - oczekiwana dywidenda w okresie t
r - stopa dyskontowa (wymagana stopa zwrotu)

Wartość wewnętrzna akcji stanowi wynik dzisiejszych oczekiwań co do kształtu przyszłych dywidend. Każda oczekiwana w przyszłości dywidenda jest jednak dyskontowana do dziś - stopa dyskontowa powoduje zmniejszenie jej wartości. Dzieje się tak, ponieważ inwestor płaci za czas i za ryzyko, co oznacza, że przyszła wartość dywidendy nie jest równa dzisiejszej wartości. Stopa dyskontowa jest równa:

r = cena za czas + cena za ryzyko

Oczywiście jest to model CAPM.

Wartość czegokolwiek w jakiejś abstrakcyjnej przyszłości nie istnieje. Wartość zawsze odnosi się do teraźniejszości. Dlatego też to, że będziemy otrzymywać strumień pieniędzy w nieskończonym horyzoncie czasu nie ma znaczenia, a więc w sumie informacja o tym, że uzyskujemy nieskończoną sumę pieniędzy jest "bezwartościowa". Całą tę sumę należy odnieść do dziś.


Innym twierdzeniem mistrzów Wschodu jest to, że każdy zysk, "sukces" jest złudzeniem umysłu. Również to zdanie jest zgodne z teorią efektywnego rynku. Na tym rynku inwestor kupuje akcje po cenie równej ich wartości wewnętrznej. Poprzednio dowiedliśmy, że wartość tę można wyrazić za pomocą wzoru (pamiętamy, że jest to przekształcony model Gordona):



Inwestor oczekuje w okresie 1 dywidendy na poziomie D(1+g) i tego, że cena rynkowa akcji wyniesie w tym czasie P(1) - będzie mógł po takiej cenie sprzedać akcje. Powyższy model możemy przekształcić:



A więc można oczekiwać, iż cena P(0) wzrośnie w okresie 1 zgodnie z wymaganą stopą zwrotu r. Jak widać P(0)*(1+r) nie jest równa cenie rynkowej akcji w okresie 1, czyli P(1). Możemy zapisać, że cena rynkowa P(1) równa się:



Zauważmy, że właśnie to odjęcie następuje na (naszym) rynku - kurs odniesienia jest obniżony o wielkość dywidendy w dniu ustalenia prawa do dywidendy. A więc inwestor sprzedaje akcję po cenie P(1), ale dodatkowo uzyskuje dywidendę D(1+g), wobec czego jego całkowity oczekiwany zysk wynosi P(0)*r:



Oczywiście widać natychmiast, że jego oczekiwana stopa zwrotu wynosi właśnie r:



Jak widać, nie ma znaczenia czy powiemy, że inwestor kupił akcję po cenie P(0) i sprzedał po cenie P(1), czy też, że inwestor kupił akcję po cenie P(0) i sprzedał po cenie P(0)*(1+r). W pierwszym przypadku po prostu dodajemy dywidendę, a drugim już ona "siedzi" w cenie sprzedaży.

Powyżej stwierdziliśmy, że stopa dyskontowa r jest równa sumie ceny czasu i ceny ryzyka. Wynika z tego, że r jest to koszt inwestora. Nazywamy go kosztem kapitału własnego. Otrzymujemy wniosek, że całkowity zysk inwestora jest równy kosztowi, który ponosi. Płacąc za czas i ryzyko, otrzymuje on po prostu taki nominalny wzrost wartości akcji. Innymi słowy musi zwyczajnie odjąć ten koszt, tak jak robi się to w rachunkowości, aby otrzymać zysk ekonomiczny:



I w ten sposób dowodzimy, że na rynku efektywnym inwestor zarabia ekonomicznie ZERO.

Ten wniosek ma kolejne implikacje. Jeśli rynek kapitałowy daje zerowy zysk, to i każdy inny rynek musi taki dawać. Inaczej bowiem stwarzałoby to możliwość dodatkowego zarobku, która powinna zostać szybko wykorzystana. Wynika z tego, że każdy przedsiębiorca zarabia również w swojej działalności zero.

W sprawozdaniach finansowych zyski oczywiście nie są zerowe. Rachunkowość uwzględnia tylko te przychody i koszty dotyczące działalności gospodarczej, które są łatwo "obliczalne". W ekonomii jednak mamy także do czynienia z "niewidzialnymi" przychodami i kosztami.

Kosztem ekonomicznym nie znajdującym odzwierciedlenia w rachunkowości jest koszt kapitału własnego. Koszt kapitału własnego to właśnie wymagana stopa zwrotu przez inwestora, a zatem cena czasu i ryzyka. Odpowiada na pytanie, ile można wyciągnąć zysku (w postaci gotówki) z kapitału własnego (cena akcji powinna równać się odpowiednio skorygowanej wartości księgowej - ta kwestia powinna być jeszcze oddzielnie omówiona). Dlaczego zysk równa się kosztowi? Właśnie dlatego, że zysk wynika jedynie z podjętego ryzyka oraz wymiaru czasowego, za które się płaci. Zarówno czas jak i ryzyko są siłami destrukcyjnymi, stanowiąc ekonomiczny koszt, ale nie księgowy (w księgowości dokonuje się amortyzacji, ale dotyczy jedynie środka trwałego lub wartości niematerialnej i prawnej). W rachunkowości kategoria kosztu kapitału własnego jak na razie nie istnieje. Ale widzimy teraz jak to działa. Po odjęciu tego kosztu, zysk staje się zerowy.

Niektórzy mogą mieć wątpliwości, rzucając sarkastyczne pytanie: to co, powinniśmy leżeć i nic nie robić, bo i tak wyjdziemy na zero? Takie pytanie wynika z dużego niezrozumienia przedstawionej teorii. To tak jakby powiedzieć, że skoro otrzymujemy energię z zewnątrz, ale po jakimś czasie ją tracimy, to nie ma sensu w ogóle tej energii używać. Dzięki dostarczonej energii możemy robić to co preferujemy i nierobienie niczego jest raczej nieefektywnym zużywaniem energii. Otrzymujemy energię, ale płacimy czasem, a jeśli podejmujemy ryzykowne działania - ryzykiem. Innymi słowy, nierobienie niczego prowadziłoby po prostu do straty. Czyli nie można niczego ekonomicznie zyskać, ale za to można stracić. Energia jest po prostu budżetem, który należy wykorzystać najefektywniej. Co to znaczy najefektywniej? Oznacza to, że cała energia zostaje w pełni wykorzystana, a więc efekt włożonej pracy jest jej równy. Związek z termodynamiką jest jak widać bardzo głęboki.

No a przecież to jest właśnie teoria efektywności rynku! Najefektywniejsze wykorzystanie zasobów. Energia stanowi w tym przypadku kapitał jaki posiadamy, za który możemy kupować instrumenty finansowe, wykorzystując dostępne informacje. Początkowy kapitał musi być całkowicie wykorzystany, inaczej czas (a w fizyce ciepło lub entropia (entropia to zmiana ciepła podzielona przez temperaturę)) dokona zniszczenia. Na marginesie warto zauważyć, że pierwsza zasada termodynamiki stanowi:




Otrzymujemy następującą analogię z ekonomią:

Przychód ekonomiczny = (Koszt czasu + Koszt ryzyka) + Koszt pracy

Koszt czasu można traktować jak ciepło, które ucieka z układu "samo z siebie", cenę ryzyka jak coś pośredniego pomiędzy ciepłem a pracą (gdyż ryzyko trzeba podjąć samemu), zaś koszt pracy po prostu jak pracę (niewykonanie pracy kosztuje w postaci braku wyniku - praca posiada wartość równą kosztowi jej niewykonania).


Przychody ekonomiczne są równe wszystkim ekonomicznym kosztom. Wobec tego:

Zysk ekonomiczny = Przychody ekonomiczne - koszty ekonomiczne = 0.


Powyższa równowaga prowadzi do wniosku, że ani praca, ani kapitał intelektualny nie kreuje zysku ekonomicznego. Weźmy na przykład talent do danego zawodu. Talent pracownika to po prostu koszt pracodawcy w postaci wynagrodzenia. Pracodawca ekonomicznie nie zyska niczego na talencie pracownika, dopóki ów pracownik jest racjonalny - to znaczy wycenia swój talent. Wartość talentu jest obliczona na podstawie zdyskontowanych oczekiwanych dochodów jakie można uzyskać dzięki temu talentowi. Gdyby pracodawca nie płacił danej osobie dokładnie tyle, ile uzyskuje z jej talentu przychodów, toby ta osoba u niego nie pracowała: albo założyłaby swoją działalność gospodarczą wykorzystującą ów talent, albo znalazłaby racjonalnego pracodawcę. Jeśli zakłada własną działalność gospodarczą, to sama siebie wynagradza w ten sam sposób. Niczego nie zyskuje, ponieważ jej talent jest tyle wart, ile uzyskuje dzięki niemu przychodu, a ten talent ją właśnie tyle kosztuje jako pracodawcę siebie samego. To co jest tu abstrakcyjne i niełatwe do zrozumienia, to podzielenie jednej osoby na dwie części: ja jako pracodawca i ja jako pracownik. Mamy więc dwie odrębne jednostki w jednej osobie. Może się to wydać bezsensowne, ale i w psychologii, i filozofiach Wschodu pojawiają się również takie rozbicia indywiduów. Zauważmy, że jeśli w danym momencie myślę o tym, że myślę, to nie znaczy przecież, że jestem tą myślą, ponieważ myśli można zmienić. Ludzie jednak identyfikują się z własnymi myślami, głównie, gdy dotyczą one myśli o sobie. Szerzej, ludzie identyfikują się także z daną grupą społeczną, polityczną lub zawodem. Nie znaczy to jednak, że jeżeli teraz jest się Polakiem, to zawsze się nim będzie, gdyż obywatelstwo można w każdej chwili zmienić. Podobnie, jeśli ktoś mówi, że jest republikaninem, to się myli, bo może zmienić swoje poglądy polityczne. Ktoś, kto mówi, że jest prawnikiem także się myli, bo może zmienić zawód itd. Oczywiście samo pojęcie "bycia" jest bardzo filozoficzne i o tym co to znaczy w ogóle "być" napisano wiele tomów książek. Podkreślam jedynie, że traktowanie siebie w ramach jakiegoś pojęcia - pracownika czy pracodawcy, jest jedynie konwencją.


Przedstawiony idealistyczny świat ekonomii to świat pełen pokoju i równości, w którym zanika wszelka chciwość, żądza, strach i bezlitosna walka o ułamki procent. Każdy w tym świecie zdaje sobie sprawę, że i tak osiągnie zerowy zysk, dopóki będzie podejmował racjonalne decyzje (w przypadku braku racjonalności - poniesie straty). Jedynie preferencje będą pchały do ustalania kupna lub sprzedaży walorów (teoria Markowitza, CAPM). Nie ma już wyścigu kto pierwszy, ten lepszy. Nie ma "wyleszczania". Inwestor kupuje akcje o określonym przez swoje preferencje ryzyku i sprzedaje, gdy zakończy się jego horyzont inwestycyjny (od początku powinien go ściśle określić). Inwestorzy mogą także wymieniać się akcjami z powodu zmian swoich preferencji. Debiutant giełdowy po udanych transakcjach może poczuć większą pewność siebie i zacząć kupować akcje o większym ryzyku. Gdy już na nich straci, to albo wróci do mniejszego ryzyka, albo w celu "odkucia się" podejmie jeszcze wyższe ryzyko. Na szczęście jako racjonalny inwestor nie przejmie się potencjalnym bankructwem (taki żart).

Oczywiście, rzeczywistość nieco się różni od modelu ekonomicznego - rynek nie jest w pełni efektywny. Występuje nie zawsze silna, ale statystycznie istotna autokorelacja pomiędzy kolejnymi zmianami kursów akcji i indeksów giełdowych. Występuje zarówno korelacja liniowa, jak i nieliniowa. Korelacje te występują w różnych częstotliwościach (kilku, kilkunasto-, kilkudziesięciominutowych, dziennych itd.). Problem polega tu na pewnej ułamkowości. Wszystko to dzieje się na płaszczyźnie statystyki. Średnio tak wychodzi, co nie znaczy, że można na tym zawsze ponadprzeciętnie zarobić. Trend może się zmienić właściwie w każdej chwili, ale fraktalność rynku statystycznie zostanie uchwycona. Wynika z tego, że przeszłość ma znaczenie dla przyszłego zachowania kursu. Czyli stopa dyskontowa, która powinna dyskontować czas i ryzyko, a więc przyszłość, nie będzie prawidłowym narzędziem do wyceny akcji (klasyczny CAPM się sypie). Zyski ekonomiczne mogą być różne od zera. W prawdziwym świecie nie ma równości, a przede wszystkim doskonałej informacji. Insider trading na co dzień towarzyszy rynkom. Niejednokrotnie obserwujemy, że kurs akcji rośnie jeszcze przed publikacją raportu, a gdy się ten pojawia, kurs już spada.

Dlaczego stosujemy model Gordona?

Pytanie pozornie banalne. Wszyscy dobrze wiemy, że model Gordona jest to przypadek modelu zdyskontowanego strumienia (wolnych) przepływów pieniężnych (Discounted (Free) Cash Flow - DCF) bądź dywidend (Discounted Dividend Flow - DDF), gdy liczba wypłat dąży do nieskończoności. Na razie będziemy stosować standardowy model dywidendowy. Wartość wewnętrzna akcji wyrażona w postaci nieskończonej sumy zdyskontowanych (oczekiwanych) dywidend:



sprowadza się do wzoru:



gdzie:

P - wartość wewnętrzna akcji (cena rzetelna)
D - dywidenda
r - stopa dyskontowa = oczekiwana (wymagana) stopa zwrotu = koszt kapitału własnego inwestora


Oczekiwane dywidendy mogą rosnąć w każdym kolejnym okresie. Wtedy model zapisujemy jako:



Przy warunku g < r, sprowadza się on do:



gdzie

g - stopa wzrostu dywidendy


Ostatni wzór wyraża właśnie model Gordona. Standardowe wyjaśnienie stosowania tego modelu opiera się na spostrzeżeniu, że spółka może funkcjonować nieskończenie długo. Skoro na razie dobrze sobie radzi, to można założyć, że będzie tak zawsze, a zatem liczba wypłat dywidend będzie nieskończona.

Ale może nieco wnikliwiej? Pomyślmy. Czy dla inwestora, który kupił akcje na 3 lata - chcącego otrzymywać dywidendy przez 3 lata, wycena akcji w oparciu o model Gordona jest poprawna? Udowodnimy, że odpowiedź brzmi TAK i to bez względu na horyzont inwestycyjny.

Mówiliśmy już czym jest wartość. Wartość przedmiotu mówi o tym ile danej rzeczy mogę za nią kupić, czyli po prostu wymienić na tę drugą rzecz. Jeśli kilogram gruszek kosztuje 3 zł, to kapitał równy 3 zł jest wart 1 kg gruszek. Z akcjami jest dokładnie tak samo. Idę więc do sklepu i proszę o kilogram gruszek i chciałbym zapłacić za nie akcjami. Jeśli akcja na rynku jest warta 3 zł, to znaczy, że akcja jest warta 1 kg gruszek.

Wartość wewnętrzną akcji będziemy odnosić nie do gruszek, jabłek czy innych przedmiotów, ale do dywidend (lub wolnych przepływów pieniężnych, ale nie komplikujmy sprawy). Jest tak, gdyż wartość ta musi być odniesiona do czegoś "wewnątrz" samej akcji czy spółki. Akcji nie konsumujemy tak jak owoców, więc ich użyteczność musi być związana "ofertą" spółki dla inwestora, którą są dywidendy. Należy jednak zwrócić uwagę, że dywidendy to kapitał, za który można kupić owoce. Pośrednio więc "wartość wewnętrzna" okazuje się po prostu zwykłą wartością akcji. Nie ma znaczenia czy będziemy mówić o wartości wewnętrznej czy zwyczajnie wartości.

Do sklepu wchodzi więc klient A i prosi o pewną ilość dywidend rozłożonych na 3 lata. Najlepiej, żeby dywidendy rosły w czasie. Oczywiście odpowiednio dyskontuje strumień pieniędzy i otrzymuje SWOJĄ wartość akcji:



Zauważmy, że na efektywnym rynku ekonomicznie niczego nie zarabia, ponieważ P jest właśnie ceną, jaką zapłaci za akcję. Następuje jedynie przesunięcie preferowanej konsumpcji od ekspedienta (spółki), który woli mieć P już teraz do inwestora, który woli mieć P rozłożone w czasie (odpowiednio zwiększane zgodnie ze stopą dyskontową).

Mamy ustaloną wartość akcji. Zwróćmy uwagę, że jest to podobna konsumpcja do owoców. Chodzi o to, że po "skonsumowaniu" akcji jest ona dla klienta A bezwartościowa. Został ogryzek - do śmietnika.

Ale zaraz po wyjściu klienta A przychodzi klient B, który chce otrzymywać dywidendy przez 4 lata. W takiej sytuacji, JEGO wartość wewnętrzna akcji jest równa:



A więc jest większa niż klienta A! Jest to oczywiste, bo kupił w całości więcej produktu. Ale przecież to miała być cena jednostkowa! Na efektywnym rynku klient A nigdy by nie kupił tych akcji, bo daje mniejszą cenę. Gdyby przyszedł kolejny klient, który preferowałby dywidendy na 5 lat, to i klient B nie kupiłby akcji.

Jak rozwiązać ten problem? Należy dokonać ujednolicenia ceny. Zrobimy to w następujący sposób. Przychodzi do spółki klient A i prosi o 3 dywidendy, które są warte tyle i tyle (tak jak to pokazano wcześniej) - jest to jego wartość akcji. Spółka odpowiada: dobrze, otrzyma Pan te dywidendy, ale będzie musiał Pan zapłacić więcej niż wynosi Pana subiektywna wartość. Jednak w zamian po 3 latach akcja nie stanie się dla Pana bezwartościowym świstkiem, lecz będzie mógł Pan ją sprzedać na rynku klientowi C po takiej cenie, aby Pan na tej inwestycji nie stracił ani ekonomicznie nie zyskał (natomiast dodając cenę czasu i ryzyka - zyskał "nominalnie"). Ściśle mówiąc cena jaką dziś Pan zapłaci będzie następująca:

(1)



Końcowa cena akcji P' stawiana przez klienta A jest oczywiście tak samo dyskontowana jak dywidendy. W momencie, w którym klient A otrzymuje ostatnią dywidendę w roku 3, natychmiast sprzedaje akcję po cenie P'. Czyli P' jest dyskontowana o 3 okresy tak jak dywidenda w okresie 3.

A więc w roku 3 przychodzi klient C, który kupuje akcję na n lat, szacując jej wartość według WŁASNEJ perspektywy na podstawie DDF plus rachuje cenę po jakiej sprzeda akcje w roku n. Całkowita cena jaką zapłaci będzie się równać P':

(2)



Odpowiednio podstawiając (2) do (1), dostaniemy, że cena akcji jaką zapłaci klient A równa się:

(3)



Natychmiast spostrzegamy, że klient C w n-tym roku po odebraniu ostatniej dywidendy sprzeda akcję klientowi D, który wyceni ją po P''. Cały proces się powtarza w nieskończoność. Wynika z tego, że strumień dywidend stanie się nieskończony i to w cenie początkowej klienta A, który mierzył wartość akcji jedynie dla 3 lat inwestycji! W konsekwencji uzyskujemy właśnie model Gordona.

Z przedstawionego dowodu płynie ciekawa implikacja. Inwestor NIE MOŻE określać wartości akcji według własnej wymaganej stopy zwrotu - stopy dyskontowej. Model Gordona wymaga bowiem, aby każdy inwestor miał identyczną wymaganą stopę zwrotu dla danej akcji. Innymi słowy, liczy się jedynie rynkowa stopa dyskontowa - cena pieniądza szacowana przez popyt i podaż. Jeśli więc struktura rynkowa zmienia się w czasie - oczekiwana stopa zwrotu jest niestacjonarna - wtedy wycena akcji praktycznie się sypie, a przynajmniej wg wzoru Gordona.

Nie ma co się łudzić, że akcja ma jakąś wartość wewnętrzną pozarynkową. To jest mit! Wymagana stopa zwrotu jest określona przez rynek - i to zarówno w czasie jak i przestrzeni. Wartość wewnętrzna okazuje się wartością "rynkową" jako wielkość statystyczna.

Na koniec zauważmy, że (3) można wyrazić jako:



Wzór ten przyda się w następnym wpisie.