Optymalny horyzont inwestycyjny to 4-5 lat?

CAPM-CML rzadko bywa używany w praktyce. Zazwyczaj jest traktowany tylko jako punkt odniesienia do stopy zwrotu z indeksu giełdowego, ale sam dla inwestora niewiele wnosi (w przeciwieństwie do CAPM-SML). Ostatnio wykorzystałem go jednak, aby oszacować minimalny udział indeksu giełdowego w całym portfelu. Okazało się, że w zależności od indeksu, powinniśmy trzymać indeks w udziale przynajmniej 15-30%, a resztę w aktywa bez ryzyka rynkowego. Niestety w tym badaniu niejawnie zakładałem, że:
- trzymamy portfel tylko przez 1 rok, albo
- parametry rozkładu stóp zwrotu są znane.

Jeśli któryś z tych dwóch założeń byłby spełniony, to nasze oszacowania byłyby prawidłowe. W rzeczywistości parametry rozkładu stóp zwrotu na giełdzie są nieznane. Poza tym akcje są często (zazwyczaj?) trzymane dłużej niż rok, jeśli stosujemy analizę portfelową. W związku z tym musimy dostosować nasz model do rzeczywistości. Jak to zrobić? Najpierw zapiszmy CML:

(1)

gdzie:
Rp - oczekiwana stopa zwrotu z całego portfela
Rf -  stopa wolna od ryzyka (systematycznego)
Rm - stopa zwrotu z portfela rynkowego
D - odchylenie standardowe całego portfela
D(M) - odchylenie standardowe portfela rynkowego

Powiedzmy, że chcemy zainwestować pewną część pieniędzy w indeks giełdowy, a pozostałą w obligacje skarbowe. Cała inwestycja ma trwać 5, 10 lub 15 lat i chcemy znaleźć optymalną proporcję udziału indeksu giełdowego do udziału obligacji skarbowych. Zastanówmy się nad parametrami CML.

Stopa wolna od ryzyka rynkowego:
Stopa R(f) nie jest całkowicie wolna od ryzyka, ponieważ zależy od stóp procentowych, które się zmieniają (natomiast nie zależy od indeksu giełdowego). Jest to jedna z przyczyn, dla której obligacje o dłuższym okresie zapadalności mają wyższą rentowność niż obligacje o krótszym okresie: większą zmienność stóp procentowych musi skompensować większa stopa rentowności. Jeśli dla rocznych obligacji skarbowych USA przyjąłem Rf pomiędzy 2,5% a 3%, to dla 5-letniej obligacji powinno być to pomiędzy 3 a 3,5%, dla 10-letniej 3,5 do 4%, zaś 20-letniej 4 do 4,5%.  

Stopa zwrotu z indeksu giełdowego:
Najprostszym i prawidłowym sposobem jest uzyskanie historycznych 5-letnich, 10-letnich lub 15-letnich stóp zwrotu i obliczenie odpowiednio 5-letniej, 10-letniej lub 15-letniej średniej arytmetycznej. Gdy posiadamy dużo danych, to taki sposób jest dobry, ale gorzej, gdy liczba obserwacji jest niewielka. Dlatego możemy posłużyć się estymatorem Blume'a (wyprowadzenie - tutaj):

(2)

czyli średniorocznie:

(3)

gdzie:
T - okres przeszłości; liczba obserwacji do próby
N - okres przyszłości, w tym przypadku 5, 10 lub 15 lat,
A - średnia arytmetyczna stopa brutto (liczona dla danych z okresu T). Zapisalibyśmy ją A = 1 + a, gdzie a to średnia arytmetyczna netto, czyli zwykła średnia średnia arytmetyczna.
G - średnia geometryczna stopa brutto (liczona dla danych z okresu T). Zapisalibyśmy ją G = 1 + g, gdzie g to średnia geometryczna netto, czyli zwykła średnia średnia geometryczna.

Dodatkową zaletą zastosowania estymatorów tego typu jest to, że do oszacowania długoterminowej stopy zwrotu potrzebujemy krótkoterminowych stóp o dowolnych częstościach. Aby uzyskać 5, 10 czy 15-letnią stopę, wystarczy, że będziemy operować np. rocznymi danymi. Jedynie zmieniamy N na odpowiedni okres inwestycji.

Należy tu zwrócić uwagę, że:

(4)

Oznacza to, że Rm to stopa zwrotu netto. Trzeba uważać co podstawiamy do wzorów, żeby nie popełnić błędu: do CML wstawiamy stopy netto, a do estymatorów długoterminowej średniej stopy zwrotu i wariancji (którą za chwilę omówię), stopy brutto.

Odchylenie standardowe stopy zwrotu z indeksu giełdowego:
Identyczna sytuacja co poprzednio ma miejsce w przypadku odchylenia standardowego. Mając dostateczną liczbę danych można oszacować 5-cio, 10-cio lub 15-letnie odchylenie od wartości oczekiwanej M^N. W przypadku małej liczby obserwacji, trzeba posłużyć się estymatorem. W artykule Odchylenie od nieznanej wartości oczekiwanej pokazałem, że estymatorem długoterminowej wariancji będzie:

(5)

A więc długoterminowe odchylenie standardowe wyraża wzór:

(6)

Odchylenie standardowe stopy zwrotu portfela
W poprzednim artykule zastąpiłem odchylenie standardowe średnią procentową stratą (albo czymś co nazwałem pseudo-semi-odchyleniem standardowym), SDs. Przy założeniu, że inwestorzy wymagają, aby oczekiwany zysk skompensował w całości poniesioną stratę, dostałem 2 równania. Pierwsze z nich:

(7)

Z tego równania chcielibyśmy uzyskać SDs. Są dwa rozwiązania względem SDs, ale wybieramy to, które będzie przyjmować wartości dodatnie:

(8) 
SDs = (Rf - Rm + SDs(M) + Rf*SDs(M) - (Rf^2*SDs(M)^2 - 2*Rf^2*SDs(M) + Rf^2 + 2*Rf*Rm*SDs(M) - 2*Rf*Rm + 2*Rf*SDs(M)^2 + 2*Rf*SDs(M) + Rm^2 - 2*Rm*SDs(M) + SDs(M)^2)^(1/2))/(2*(Rf - Rm))

Drugie równanie to:

 (9)

Podstawiając do niego (8), dostaniemy rozwiązanie x:

(10) 
x = -(Rm + (Rf - Rm + SDs(M) + Rf*SDs(M) - (Rf^2*SDs(M)^2 - 2*Rf^2*SDs(M) + Rf^2 + 2*Rf*Rm*SDs(M) - 2*Rf*Rm + 2*Rf*SDs(M)^2 + 2*Rf*SDs(M) + Rm^2 - 2*Rm*SDs(M) + SDs(M)^2)^(1/2))/((2*Rf - 2*Rm)*((Rf - Rm + SDs(M) + Rf*SDs(M) - (Rf^2*SDs(M)^2 - 2*Rf^2*SDs(M) + Rf^2 + 2*Rf*Rm*SDs(M) - 2*Rf*Rm + 2*Rf*SDs(M)^2 + 2*Rf*SDs(M) + Rm^2 - 2*Rm*SDs(M) + SDs(M)^2)^(1/2))/(2*Rf - 2*Rm) - 1)))/(Rf - Rm)

Jest to minimalny udział aktywa bez ryzyka, a więc minimalny udział indeksu giełdowego to 1-x.

Przykład 1. S&P 500

Powróćmy do przykładu S&P 500 w okresie 1941-2017 (77 obserwacji). Średnia arytmetyczna wyniosła a = 8,7%, zaś średnia geometryczna g = 7,5%. Odchylenie standardowe wyniosło  D = 16,3%, a średnia strata SDs = 16,1%. Czyli odchylenie standardowe jest praktycznie równe średniej stracie.  Dlatego zrównamy D = SDs, a to będzie oznaczać, że długoterminowe SDs będzie także równe długoterminowemu odchyleniu standardowemu (wzór 6).

Obliczmy oczekiwaną stopę zwrotu z indeksu dla 5, 10 i 15-letniej inwestycji. Dla:

N = 5, stopa brutto M^5 = 1,51 => M = 1,086. Stopa netto Rm(5) = M^5 - 1 = 51%,

N = 10, M^10 = 2,27 => M = 1,0856. Stopa netto Rm(10) = M^10 - 1 = 127%,

N = 15, M^15 =  3,4 => M = 1,085. Stopa netto Rm(15) = M^15 - 1 = 240%.

Następnie obliczmy długoterminowe odchylenie standardowe (D = SDs), stosując (6). Dla:

N = 5, SDs = 88%,

N = 10, SDs = 114%,

N = 15, SDs = 214%.

Kolejną sprawą jest rentowność obligacji skarbowych. Powiedziałem wcześniej, że dla dłuższych inwestycji będzie większa rentowność. Przyjmiemy następujące wielkości. Dla:

N = 5, Rf = 3%. Oznacza to, że 5-letnia stopa wolna od ryzyka wyniesie (1,03)^5 - 1 = 15,9%. Czyli Rf(5) = 16%,

N = 10, Rf = 3,5%. 10-letnia stopa wolna od ryzyka wyniesie (1,03)^10 - 1. Czyli Rf(10) = 41%,

N = 15, Rf = 4%. Czyli Rf(15) = 80%.

Teraz możemy podstawić odpowiednie wartości do wzoru (10) na x w zależności od długości trwania inwestycji. I tak dla:

N = 5, x = 0,53. Czyli minimalny udział indeksu S&P 500 to 1 - x = 47%,

N = 10, x = 0,63. Czyli minimalny udział indeksu S&P 500 to 1 - x = 37%,

N = 15, x = 0,74. Czyli minimalny udział indeksu S&P 500 to 1 - x = 26%.

Widać, że im dłużej trwa inwestycja, tym udział akcji powinien maleć. Dlaczego? Bo w dłuższym okresie początkową stratę coraz lepiej może skompensować obligacja skarbowa. Dlaczego nie indeks giełdowy?

Zauważmy, że początkowa strata nie jest krótkookresowa, z jednego roku. Wzór (7) wskazuje, że oczekiwana stopa zwrotu jest tym większa, im większa jest średnia procentowa strata, SDs. Ale przecież strata powstaje jedynie na skutek obsunięcia kapitału, zainwestowanego w indeks giełdowy (pozostałe aktywa są wolne od ryzyka). Natomiast wzór na D(M), czyli SD(M)s, przedstawiał długoterminowe odchylenie standardowe właśnie indeksu giełdowego. Wynika z tego, że średnia początkowa strata w całym portfelu to pokłosie długoterminowej straty z indeksu giełdowego. 

I teraz uwaga, która wymaga głębszego zastanowienia: przecież zgodnie ze wzorem (6) im dłuższa inwestycja, tym większe jest odchylenie standardowe portfela i tym większa jest początkowa strata. Albo możemy powiedzieć inaczej: im większa początkowa strata, tym dłuższy będzie okres inwestycji. Ale tę zależność można "przerwać". Rzecz w tym, że na samym początku założyliśmy, że chcemy pokryć początkową stratę nie tyle poprzez czas trzymania akcji, co przez odpowiedni udział indeksu giełdowego. Z jednej strony indeks giełdowy posiada dodatnią oczekiwaną stopę zwrotu, która skompensuje stratę, z drugiej strony udział indeksu nie może być zbyt duży, jeśli odchylenia indeksu (w sensie straty) są zbyt drastyczne. Posiadanie w portfelu aktywów bez ryzyka zmniejsza całkowitą stratę. 

Ten skomplikowany mechanizm uwidacznia się, gdy spojrzymy co się dzieje z "optymalnym" udziałem, gdy zmniejszymy N poniżej 5. Przypomnę, że dla N = 1 dostałem poprzednio (1-x) ok. 25%. Natomiast teraz dla N = 5, 1-x = 47%, dla N = 10, udział ten spada do 37% i dla N = 15 dalej spada. Wygląda na to, że początkowo udział indeksu rośnie, a następnie zaczyna spadać. Rzeczywiście, gdy przeanalizujemy dokładnie co się dzieje z udziałem dla N = 1, 2,... 10, to zobaczymy, że dla N = 5, udział 1-x osiąga maksimum. Pokazuje to tabela:

Tabelę tę możemy przenieść na wykres. Wykres udziału indeksu S&P 500 (1-x) w portfelu:

Początkowo indeks pokrywa "coraz lepiej" początkową stratę, tak że przy 1-rocznej inwestycji musimy posiadać 25% indeksu, 2-letniej inwestycji 40%, 3-letniej 45%, aż do 4-5 lat 47%. Dla większych N udział indeksu można już stopniowo obniżać. Dla 10 lat będzie to 37%, 15 lat 26%, a 20 lat 17%. 

Wynik ten jest efektem tego, że początkowo SD(M)s rośnie wolniej niż Rm(N), ale od 5 roku zaczyna rosnąć coraz szybciej, tak że już dla N > 25 rośnie szybciej od Rm(N). Dobrze widać to na logarytmach tych zmiennych:

Z ekonomicznego punktu widzenia można to interpretować w ten sposób, że początkowo potrzeba większego udziału indeksu, aby pokryć stratę poniesioną przed okresem inwestycji, ale po 5 latach potencjalna strata staje się zbyt duża. Indeks giełdowy zaczyna wpływać negatywnie na portfel, gdyż w dłuższym okresie silniej się odchyla, doprowadzając do większych potencjalnych strat. Dlatego dla dłuższych inwestycji musimy zmniejszyć udział indeksu, ograniczając jednocześnie straty. Jednocześnie pamiętamy, że gdy zmniejszamy udział indeksu, to zwiększamy udział obligacji skarbowych, a więc tym samym obniżamy całkowitą stopę zwrotu z portfela. Można więc powiedzieć, że okres inwestycji 4-5 lat jest optymalny pod kątem maksymalizacji zysku, a właściwie odzyskania utraconego kapitału. Oznaczałoby to, że dla 4-letniej inwestycji optymalny udział portfela akcji to niecałe 50% (47%). Dla N < 5 inwestor nie potrzebuje trzymać większego udziału indeksu, bo do pokrycia strat wystarczy duży udział aktywów bez ryzyka. Dla N > 5 inwestor nie potrzebuje trzymać większego pakietu akcji, bo odchylenie ich wartości może być na tyle niekorzystne, że oczekiwany z nich zysk nie będzie w stanie pokryć potencjalnych strat.

Przykład 2. WIG

Analogicznie powróćmy do przykładu WIG w latach 1997-2017 (22 obserwacje). Średnia arytmetyczna wyniosła a = 10,6%, zaś średnia geometryczna g = 7,4%. Odchylenie standardowe wyniosło  D = 25,4%, a SDs = 27,5%. Podobnie jak przy S&P 500 założymy, że D = SDs. Przyjmiemy D = SDs = 25,4%. 

Obliczmy oczekiwaną stopę zwrotu z indeksu dla 5, 10 i 15-letniej inwestycji. Dla:

N = 5, stopa brutto M^5 = 1,61 => M = 1,1. Stopa netto Rm(5) = M^5 - 1 = 61%.

N = 10, M^10 = 2,44 => M = 1,093. Stopa netto Rm(10) = M^10 - 1 = 144%.

N = 15, M^15 =  3,46 => M = 1,086. Stopa netto Rm(15) = M^15 - 1 = 246%.

Następnie obliczmy długoterminowe odchylenie standardowe (D = SDs). Dla:

N = 5, SDs = 88%. 

N = 10, SDs = 203%.

N = 15, SDs = 382%.

Kolejną sprawą jest rentowność obligacji skarbowych. Dla uproszczenia przyjmiemy te same wielkości co przy indeksie USA. Dla:

N = 5, Rf = 3%. Oznacza to, że 5-letnia stopa wolna od ryzyka wyniesie (1,03)^5 - 1 = 15,9%. Czyli Rf(5) = 16%.

N = 10, Rf = 3,5%. 10-letnia stopa wolna od ryzyka wyniesie (1,03)^10 - 1. Czyli Rf(10) = 41%.

N = 15, Rf = 4%. Czyli Rf(15) = 80%.

Teraz możemy podstawić odpowiednie wartości do wzoru na x w zależności od długości trwania inwestycji. I tak dla:

N = 5, x = 0,76. Czyli minimalny udział indeksu S&P 500 to 1 - x = 24%,

N = 10, x = 0,81. Czyli minimalny udział indeksu S&P 500 to 1 - x = 19%,

N = 15, x = 0,87. Czyli minimalny udział indeksu S&P 500 to 1 - x = 13%.

Podobnie jak dla S&P 500 uwidacznia się schemat, w którym dla małych N udział indeksu rośnie, osiąga maksimum dla N = 4 i dla N > 4 spada. Prezentuje to tabela i wykres niżej:

Podobnie jak dla USA, trzymając polski indeks przez 4 lata, będziemy maksymalizować udział tego indeksu. Ponieważ większy udział indeksu oznacza większy oczekiwany zysk, to, sugerując się zasadą maksymalizacji zysków, powinniśmy przez 4 lata trzymać WIG w proporcji 25:75 w stosunku do walorów bez ryzyka, aby pokryć początkową stratę.

Widać dużą różnicę w porównaniu do S&P500, gdzie maksymalny udział portfela rynkowego był szacowany na prawie 50%. W przypadku WIG sytuacja jest gorsza, bo występują większe odchylenia i trudniej uzyskać tak dużą stopę zwrotu, która skompensowałaby w pełni straty. Wydaje się rozsądne uznać, że lokując pieniądze tylko na GPW na kilka lat, inwestor powinien zastosować udział 25%, natomiast mając portfel międzynarodowy, niecałe 50%. Jednak niezależnie od typu indeksu, horyzont 4-5-letni wydaje się optymalny, jeśli w poprzednich latach ponieśliśmy straty. Nawet jeśli ich nie ponieśliśmy, to nadal model może być przydatny, bo możemy się postawić w pozycji stratnego inwestora. Ten abstrakcyjny inwestor szacuje, kiedy wyjdzie na zero. Natomiast dla nas będzie to punkt maksymalizacji zysków. Takie podejście staje się zgodne z inwestowaniem w oparciu o cykl koniunkturalny, który wynosi właśnie ok. 4 lat (zob. Prognoza PKB na 2018 czterema metodami. oraz Prognoza WIG dwiema metodami).

Minimalny udział aktywów ryzykownych w portfelu to 15-30%?

Przyszedł mi do głowy pomysł, który może ułatwić inwestorom przyjąć optymalny udział akcji lub innych aktywów ryzykownych w portfelu. Wiadomo, że nie istnieje taki poziom w sensie absolutnym, bo zależy od awersji do ryzyka konkretnego inwestora. Jeżeli jednak przyjmiemy założenie, że oczekiwany zysk powinien się równać co najmniej potencjalnej stracie, to dostaniemy już bardzo konkretny udział zależny od 3 parametrów: stopy wolnej od ryzyka (Rf), oczekiwanej stopy zwrotu z portfela rynkowego (Rm) albo naszego własnego portfela akcji (Rw), odchylenia standardowego (D) albo średniej straty (SDs). 

Klasyczna formuła na semi-wariancję z próby to

gdzie
r(t) - stopa zwrotu
R - oczekiwana stopa zwrotu (średnia)
T - liczba obserwacji.

Mechanizm jest prosty: jeśli różnica między stopą zwrotu a średnią jest dodatnia, wtedy odrzucamy ją i zastępujemy zerem. Jeśli jest ujemna, wtedy przyjmujemy ją i podnosimy do kwadratu.

Ze względu na występujące zera SV zawsze będzie mniejsza od wariancji. Gdy mamy do czynienia z rozkładem symetrycznym, wariancja będzie dwa razy większa od SV (dla której zera będą się symetrycznie rozkładać z nie-zerami). Żeby więc sprawdzić symetryczność rozkładu, można podwoić SV i sprawdzić czy jest bliska wariancji.

Jeżeli jednak chcemy stworzyć miarę ryzyka związaną z potencjalną stratą, to nie możemy użyć SV, bo r(t) < R nie oznacza jeszcze straty. Dlatego w miejsce R możemy wstawić zero:

Taka miara ryzyka jest już sensowna, ale ciągle ze względu na występujące zera będzie zaniżać całkowitą stratę - w końcu dzielimy sumę przez liczbę wszystkich obserwacji (a więc też z zerami). Dla dużej liczby danych zastosowałbym miarę uwzględniającą tylko straty:

Aby uzyskać średnią stratę, wyciągniemy pierwiastek kwadratowy:

Powiedzmy, że mamy kapitał początkowy K. Przewidujemy, że w kolejnych okresach może się zdarzyć średnia strata S. Stratę zapiszemy jako procentowe pseudo-semi-odchylenie standardowe, SDs, przemnożone przez K:

(1)

Wymagamy, aby w następnych okresach oczekiwany zysk wyniósł co najmniej S, aby wyrównać stratę. Ktoś powie, że nie możemy czegoś wymagać od rynku. Nie możemy sami, ale jako zbiorowość inwestorów już tak. Zakładamy, że wszyscy inwestorzy mają takie samo minimalne wymaganie. Będzie to oznaczało, że oczekiwana stopa zwrotu (równa stopie dyskontowej - to znaczy, że kapitał jest odpowiednio dyskontowany, tak aby w przyszłości mógł wzrosnąć - na tym polega idea wymaganej stopy zwrotu; jeśli ktoś ma tu wątpliwości, niech przeczyta mój komentarz do poprzedniego artykułu, gdzie szczegółowo wyjaśniłem ten problem) będzie równa:

(2)

Zgodnie z CAPM-CML stopa zwrotu z portfela to kombinacja liniowa stopy wolnej od ryzyka (systematycznego), Rf, i stopy zwrotu z portfela rynkowego, R(M):

(3)

gdzie x to udział instrumentu bez ryzyka, zaś 1-x to udział portfela rynkowego w całym portfelu.

Podstawiamy (2) do (3):

(4)

Rozwiązujemy (4) względem x:

(5)

Klasyczna postać CAPM-CML to:

(6)

gdzie:
D - odchylenie standardowe portfela inwestora
D(M) - odchylenie standardowe portfela rynkowego

Aby dopasować CML do naszego modelu, w miejsce D i D(M) w (6) wstawimy SDs i SD(M)s:

(7)

Za Rp wstawiamy uzyskany wynik w (2):

(8)

Rozwiązujemy to równanie względem SDs. Dostaniemy 2 rozwiązania, wśród których jedno jest ujemne - odrzucamy je. Pozytywne rozwiązanie podstawiamy do równania (5) na x. Ze względu na dwa rozwiązania SDs ogólnie dostaniemy też dwa rozwiązania względem x:

x1 =  -(Rf - Rm + SD(M) - Rf*SD(M) + 2*Rm*SD(M) - (Rf^2*SD(M)^2 - 2*Rf^2*SD(M) + Rf^2 + 2*Rf*Rm*SD(M) - 2*Rf*Rm + 2*Rf*SD(M)^2 + 2*Rf*SD(M) + Rm^2 - 2*Rm*SD(M) + SD(M)^2)^(1/2))/(2*SD(M)*(Rf - Rm))

x2 =  -(Rf - Rm + SD(M) - Rf*SD(M) + 2*Rm*SD(M) + (Rf^2*SD(M)^2 - 2*Rf^2*SD(M) + Rf^2 + 2*Rf*Rm*SD(M) - 2*Rf*Rm + 2*Rf*SD(M)^2 + 2*Rf*SD(M) + Rm^2 - 2*Rm*SD(M) + SD(M)^2)^(1/2))/(2*SD(M)*(Rf - Rm))

Poprawne rozwiązanie wynikać będzie z dodatniego rozwiązania SDs. Ale tak naprawdę nie trzeba tego podstawiać do x, wystarczy, że spośród tych dwu powyższych rozwiązań jedno będzie dodatnim ułamkiem (będzie jednocześnie posiadać dodatnie SD). Drugie odrzucamy.

Przykład 1.
S&P 500 w okresie 1941-2017 posiada średnią stopę zwrotu 8,7%, odchylenie standardowe D(M) = 16,3%, a SD(M)s = 16,1%. Chociaż D(M) jest praktycznie równe SD(M)s, to pamiętajmy, że nie oznacza to symetryczności rozkładu. Popatrzmy zresztą na histogram stóp zwrotu:

Mamy tu lewostronną skośność - oznacza to, że semi-wariancja lewostronna jest większa od semi-wariancji prawostronnej. Jednak straty nie są wcale większe od zysków - zauważmy, że dominanta wynosi 13,7% (częstość = 19). Czyli większa masa kumuluje się po stronie zysków. Istnieje wprawdzie gruby ogon na stratach, ok -38%, ale występuje więcej obserwacji powyżej 0.

Paradoksalnie więc możemy stosować zwykłe odchylenie standardowe, które okazuje się zbliżone do średniej straty. Czyli wiemy, co podstawić pod Rm i SD(M)s. Ale pytanie co podstawić pod Rf? Zwracam uwagę, że Rm = 8,7% to średnia arytmetyczna. Z poprzedniego artykułu wiemy, że trzeba w takiej sytuacji stosować krótkoterminowe stopy zwrotu, a więc także krótkoterminową rentowność obligacji skarbowych, a ściślej mówiąc 1-roczną. Na podstawie http://www.multpl.com/1-year-treasury-rate/ możemy uzyskać dokładne dane statystyczne. Obecnie 1-roczna stopa z obligacji skarbowych USA wynosi 2,24%. Jednakże operujemy średnimi i sztucznie byłoby zastosować bieżącą rentowność - mimo iż stosowane stopy do CAPM powinny określać przyszłość a nie przeszłość. W dodatku stopy rentowności okazują się niestacjonarne, co dodatkowo komplikuje analizę. Nie bądźmy jednak zbyt pedantyczni. Portal Shillera stwierdza, że średnia rentowność to 3,08%, więc przyjmijmy 2,5% oraz 3%. Dlaczego 2,5%? Pamiętajmy, że skoro operujemy krótkoterminową roczną średnią, to znaczy, że są to oczekiwania na rok naprzód - a przecież rentowność nie wzrośnie w ciągu roku o nie wiadomo ile. Dlatego przyjmiemy te dwa przykładowe poziomy.

W sumie podstawimy do rozwiązania na x1 i x2 następujące dane:
Rm = 8,7%
SD(M) = 16,1%
Rf = 2,5% lub 3%

Dostaniemy:
*Dla Rf = 2,5%:
x1 = 0,76
x2 = 11,56

x2 odrzucamy, czyli właściwy udział portfela rynkowego w całym portfelu to 1-x = 1-0,76 = 24%.

*Dla Rf = 3%:
x1 = 0,73
x2 = 13,13

Ponownie przyjmujemy x1, czyli udział portfela rynkowego w portfelu to 1-x = 1-0,73 = 27%.

Łącznie dostajemy przedział 25-30% minimalnego udziału portfela rynkowego w portfelu.
W kolejnych przykładach będę odrzucał błędne rozwiązania.


Przykład 2. WIG: 1997-2017.
Średnia stopa zwrotu WIG wyniosła 10,6%, odchylenie standardowe 25,4%, a SDs = 27,5%. Ponieważ:
a) można powiedzieć, że również dla polskiego indeksu odchylenie standardowe jest zbliżone do średniej straty,
b) dla Polski całkowita liczba danych to 21, a do obliczenia SD(M)s posłużyło zaledwie 6 danych (bo tylko 6 lat w ciągu tych 21 było ujemnych...),
to rozsądne jest zastąpić tutaj SD(M)s samym odchyleniem standardowym, D(M).

Teraz kwestia Rf. Krótkoterminowe obligacje skarbowe obecnie są nieopłacalne, skoro proponują ledwo ponad 2%. Banki proponują 2,5-3%. Ponieważ średnia jest większa, przyjmę dla Polski Rf = 3% i 3,5%.

W sumie podstawiamy:
Rm = 10,6%
SD(M) = 25,4%
Rf = 3% lub 3,5%

Dostaniemy:
*Dla Rf = 3%:
x = 0,84

*Dla Rf = 3,5%:
x = 0,82

Zatem dla pierwszego przypadku udział indeksu w portfelu powinien wynieść 1-0,84 = 16%, a dla drugiego przypadku 1-0,82 = 18%.

Z tego przykładu wynika, że powinniśmy trzymać WIG w proporcji 15-20% w stosunku do aktywów bez ryzyka rynkowego.


Przykład 3. Teoretyczny portfel akcji.
Model można uogólnić w ten sposób, że zamiast indeksu, przyjmiemy własny portfel akcji, który uważamy za lepszy od samego indeksu. Wtedy za Rm i SD(M) podstawiamy Rw i SD(W) - odpowiednio oczekiwaną stopę zwrotu z portfela akcji (albo innych ryzykownych aktywów) i średnią potencjalną stratę z tego portfela. Te wielkości podstawiamy do wzoru na x.

Powiedzmy, że znaleźliśmy portfel akcji, który daje Rw = 15% i SD(W) = 20%. Wtedy, przy założeniu Rf = 3%, uzyskamy x = 68%, czyli posiadając tak dobre akcje, powinniśmy je trzymać w udziale co najmniej 32%. Z kolei dla Rw = 15% i SD(W) = 25%, poziom ten spada do 1-x = 21%.

Gdyby natomiast Rw = SD(W), tj. oczekiwany zysk portfela akcji zrównałby się ze średnią stratą z tego portfela, oraz
* Rw = 10%, to 1-x = 78%,
* Rw = 15%, to 1-x = 65%,
* Rw = 20%, to 1-x = 55%, 
* Rw = 25%, to 1-x = 47%.

Podsumowanie:
Z teorii finansów wynika, że portfel rynkowy jest najbardziej zdywersyfikowanym portfelem wśród portfeli ryzykownych, tzn. ma najniższe ryzyko przy danym poziomie oczekiwanego zysku. Portfel rynkowy przybliżamy najczęściej indeksem giełdowym. Stąd inwestor posiada początkowo dwie skrajne możliwości: inwestowanie bez ryzyka albo w indeks giełdowy. Spośród tych dwóch skrajności może wybrać koszyk pośredni. Jeśli będzie chciał trzymać portfel akcji tylko w takiej proporcji, aby potencjalna strata została skompensowana przez oczekiwany zysk, to uzyska pożądany udział portfela, stosując przedstawiony wzór na x.
Jeśli za portfel rynkowy uzna indeks USA, to powinien trzymać 25-30% tego indeksu. Jeśli przyjmie WIG, to powinien go trzymać w udziale 15-20%.
Wiemy jednak obecnie, że klasyczna teoria finansów nie wystarcza. Dlatego inwestor ma szansę znaleźć lepsze, choć bardziej skomplikowane portfele akcji niż indeks. Gdyby znalazł taki, co ma odchylenie standardowe takie samo jak WIG (tj. 25%), ale oczekiwaną stopę zwrotu nie 11, a 15%, to jego udział powinien wynieść 20%. Gdyby udało mu się zmniejszyć jeszcze to odchylenie do 20%, to udział powinien wzrosnąć do 32% (przy Rf = 3%.). W sumie można więc powiedzieć, że minimalny udział akcji w portfelu inwestora powinien się mieścić między 15 a 30%.


P. S. Zasada Pareto 20:80? Do przemyślenia...