Minimalny udział aktywów ryzykownych w portfelu to 15-30%?

Przyszedł mi do głowy pomysł, który może ułatwić inwestorom przyjąć optymalny udział akcji lub innych aktywów ryzykownych w portfelu. Wiadomo, że nie istnieje taki poziom w sensie absolutnym, bo zależy od awersji do ryzyka konkretnego inwestora. Jeżeli jednak przyjmiemy założenie, że oczekiwany zysk powinien się równać co najmniej potencjalnej stracie, to dostaniemy już bardzo konkretny udział zależny od 3 parametrów: stopy wolnej od ryzyka (Rf), oczekiwanej stopy zwrotu z portfela rynkowego (Rm) albo naszego własnego portfela akcji (Rw), odchylenia standardowego (D) albo średniej straty (SDs). 

Klasyczna formuła na semi-wariancję z próby to

gdzie
r(t) - stopa zwrotu
R - oczekiwana stopa zwrotu (średnia)
T - liczba obserwacji.

Mechanizm jest prosty: jeśli różnica między stopą zwrotu a średnią jest dodatnia, wtedy odrzucamy ją i zastępujemy zerem. Jeśli jest ujemna, wtedy przyjmujemy ją i podnosimy do kwadratu.

Ze względu na występujące zera SV zawsze będzie mniejsza od wariancji. Gdy mamy do czynienia z rozkładem symetrycznym, wariancja będzie dwa razy większa od SV (dla której zera będą się symetrycznie rozkładać z nie-zerami). Żeby więc sprawdzić symetryczność rozkładu, można podwoić SV i sprawdzić czy jest bliska wariancji.

Jeżeli jednak chcemy stworzyć miarę ryzyka związaną z potencjalną stratą, to nie możemy użyć SV, bo r(t) < R nie oznacza jeszcze straty. Dlatego w miejsce R możemy wstawić zero:

Taka miara ryzyka jest już sensowna, ale ciągle ze względu na występujące zera będzie zaniżać całkowitą stratę - w końcu dzielimy sumę przez liczbę wszystkich obserwacji (a więc też z zerami). Dla dużej liczby danych zastosowałbym miarę uwzględniającą tylko straty:

Aby uzyskać średnią stratę, wyciągniemy pierwiastek kwadratowy:

Powiedzmy, że mamy kapitał początkowy K. Przewidujemy, że w kolejnych okresach może się zdarzyć średnia strata S. Stratę zapiszemy jako procentowe pseudo-semi-odchylenie standardowe, SDs, przemnożone przez K:

(1)

Wymagamy, aby w następnych okresach oczekiwany zysk wyniósł co najmniej S, aby wyrównać stratę. Ktoś powie, że nie możemy czegoś wymagać od rynku. Nie możemy sami, ale jako zbiorowość inwestorów już tak. Zakładamy, że wszyscy inwestorzy mają takie samo minimalne wymaganie. Będzie to oznaczało, że oczekiwana stopa zwrotu (równa stopie dyskontowej - to znaczy, że kapitał jest odpowiednio dyskontowany, tak aby w przyszłości mógł wzrosnąć - na tym polega idea wymaganej stopy zwrotu; jeśli ktoś ma tu wątpliwości, niech przeczyta mój komentarz do poprzedniego artykułu, gdzie szczegółowo wyjaśniłem ten problem) będzie równa:

(2)

Zgodnie z CAPM-CML stopa zwrotu z portfela to kombinacja liniowa stopy wolnej od ryzyka (systematycznego), Rf, i stopy zwrotu z portfela rynkowego, R(M):

(3)

gdzie x to udział instrumentu bez ryzyka, zaś 1-x to udział portfela rynkowego w całym portfelu.

Podstawiamy (2) do (3):

(4)

Rozwiązujemy (4) względem x:

(5)

Klasyczna postać CAPM-CML to:

(6)

gdzie:
D - odchylenie standardowe portfela inwestora
D(M) - odchylenie standardowe portfela rynkowego

Aby dopasować CML do naszego modelu, w miejsce D i D(M) w (6) wstawimy SDs i SD(M)s:

(7)

Za Rp wstawiamy uzyskany wynik w (2):

(8)

Rozwiązujemy to równanie względem SDs. Dostaniemy 2 rozwiązania, wśród których jedno jest ujemne - odrzucamy je. Pozytywne rozwiązanie podstawiamy do równania (5) na x. Ze względu na dwa rozwiązania SDs ogólnie dostaniemy też dwa rozwiązania względem x:

x1 =  -(Rf - Rm + SD(M) - Rf*SD(M) + 2*Rm*SD(M) - (Rf^2*SD(M)^2 - 2*Rf^2*SD(M) + Rf^2 + 2*Rf*Rm*SD(M) - 2*Rf*Rm + 2*Rf*SD(M)^2 + 2*Rf*SD(M) + Rm^2 - 2*Rm*SD(M) + SD(M)^2)^(1/2))/(2*SD(M)*(Rf - Rm))

x2 =  -(Rf - Rm + SD(M) - Rf*SD(M) + 2*Rm*SD(M) + (Rf^2*SD(M)^2 - 2*Rf^2*SD(M) + Rf^2 + 2*Rf*Rm*SD(M) - 2*Rf*Rm + 2*Rf*SD(M)^2 + 2*Rf*SD(M) + Rm^2 - 2*Rm*SD(M) + SD(M)^2)^(1/2))/(2*SD(M)*(Rf - Rm))

Poprawne rozwiązanie wynikać będzie z dodatniego rozwiązania SDs. Ale tak naprawdę nie trzeba tego podstawiać do x, wystarczy, że spośród tych dwu powyższych rozwiązań jedno będzie dodatnim ułamkiem (będzie jednocześnie posiadać dodatnie SD). Drugie odrzucamy.

Przykład 1.
S&P 500 w okresie 1941-2017 posiada średnią stopę zwrotu 8,7%, odchylenie standardowe D(M) = 16,3%, a SD(M)s = 16,1%. Chociaż D(M) jest praktycznie równe SD(M)s, to pamiętajmy, że nie oznacza to symetryczności rozkładu. Popatrzmy zresztą na histogram stóp zwrotu:

Mamy tu lewostronną skośność - oznacza to, że semi-wariancja lewostronna jest większa od semi-wariancji prawostronnej. Jednak straty nie są wcale większe od zysków - zauważmy, że dominanta wynosi 13,7% (częstość = 19). Czyli większa masa kumuluje się po stronie zysków. Istnieje wprawdzie gruby ogon na stratach, ok -38%, ale występuje więcej obserwacji powyżej 0.

Paradoksalnie więc możemy stosować zwykłe odchylenie standardowe, które okazuje się zbliżone do średniej straty. Czyli wiemy, co podstawić pod Rm i SD(M)s. Ale pytanie co podstawić pod Rf? Zwracam uwagę, że Rm = 8,7% to średnia arytmetyczna. Z poprzedniego artykułu wiemy, że trzeba w takiej sytuacji stosować krótkoterminowe stopy zwrotu, a więc także krótkoterminową rentowność obligacji skarbowych, a ściślej mówiąc 1-roczną. Na podstawie http://www.multpl.com/1-year-treasury-rate/ możemy uzyskać dokładne dane statystyczne. Obecnie 1-roczna stopa z obligacji skarbowych USA wynosi 2,24%. Jednakże operujemy średnimi i sztucznie byłoby zastosować bieżącą rentowność - mimo iż stosowane stopy do CAPM powinny określać przyszłość a nie przeszłość. W dodatku stopy rentowności okazują się niestacjonarne, co dodatkowo komplikuje analizę. Nie bądźmy jednak zbyt pedantyczni. Portal Shillera stwierdza, że średnia rentowność to 3,08%, więc przyjmijmy 2,5% oraz 3%. Dlaczego 2,5%? Pamiętajmy, że skoro operujemy krótkoterminową roczną średnią, to znaczy, że są to oczekiwania na rok naprzód - a przecież rentowność nie wzrośnie w ciągu roku o nie wiadomo ile. Dlatego przyjmiemy te dwa przykładowe poziomy.

W sumie podstawimy do rozwiązania na x1 i x2 następujące dane:
Rm = 8,7%
SD(M) = 16,1%
Rf = 2,5% lub 3%

Dostaniemy:
*Dla Rf = 2,5%:
x1 = 0,76
x2 = 11,56

x2 odrzucamy, czyli właściwy udział portfela rynkowego w całym portfelu to 1-x = 1-0,76 = 24%.

*Dla Rf = 3%:
x1 = 0,73
x2 = 13,13

Ponownie przyjmujemy x1, czyli udział portfela rynkowego w portfelu to 1-x = 1-0,73 = 27%.

Łącznie dostajemy przedział 25-30% minimalnego udziału portfela rynkowego w portfelu.
W kolejnych przykładach będę odrzucał błędne rozwiązania.


Przykład 2. WIG: 1997-2017.
Średnia stopa zwrotu WIG wyniosła 10,6%, odchylenie standardowe 25,4%, a SDs = 27,5%. Ponieważ:
a) można powiedzieć, że również dla polskiego indeksu odchylenie standardowe jest zbliżone do średniej straty,
b) dla Polski całkowita liczba danych to 21, a do obliczenia SD(M)s posłużyło zaledwie 6 danych (bo tylko 6 lat w ciągu tych 21 było ujemnych...),
to rozsądne jest zastąpić tutaj SD(M)s samym odchyleniem standardowym, D(M).

Teraz kwestia Rf. Krótkoterminowe obligacje skarbowe obecnie są nieopłacalne, skoro proponują ledwo ponad 2%. Banki proponują 2,5-3%. Ponieważ średnia jest większa, przyjmę dla Polski Rf = 3% i 3,5%.

W sumie podstawiamy:
Rm = 10,6%
SD(M) = 25,4%
Rf = 3% lub 3,5%

Dostaniemy:
*Dla Rf = 3%:
x = 0,84

*Dla Rf = 3,5%:
x = 0,82

Zatem dla pierwszego przypadku udział indeksu w portfelu powinien wynieść 1-0,84 = 16%, a dla drugiego przypadku 1-0,82 = 18%.

Z tego przykładu wynika, że powinniśmy trzymać WIG w proporcji 15-20% w stosunku do aktywów bez ryzyka rynkowego.


Przykład 3. Teoretyczny portfel akcji.
Model można uogólnić w ten sposób, że zamiast indeksu, przyjmiemy własny portfel akcji, który uważamy za lepszy od samego indeksu. Wtedy za Rm i SD(M) podstawiamy Rw i SD(W) - odpowiednio oczekiwaną stopę zwrotu z portfela akcji (albo innych ryzykownych aktywów) i średnią potencjalną stratę z tego portfela. Te wielkości podstawiamy do wzoru na x.

Powiedzmy, że znaleźliśmy portfel akcji, który daje Rw = 15% i SD(W) = 20%. Wtedy, przy założeniu Rf = 3%, uzyskamy x = 68%, czyli posiadając tak dobre akcje, powinniśmy je trzymać w udziale co najmniej 32%. Z kolei dla Rw = 15% i SD(W) = 25%, poziom ten spada do 1-x = 21%.

Gdyby natomiast Rw = SD(W), tj. oczekiwany zysk portfela akcji zrównałby się ze średnią stratą z tego portfela, oraz
* Rw = 10%, to 1-x = 78%,
* Rw = 15%, to 1-x = 65%,
* Rw = 20%, to 1-x = 55%, 
* Rw = 25%, to 1-x = 47%.

Podsumowanie:
Z teorii finansów wynika, że portfel rynkowy jest najbardziej zdywersyfikowanym portfelem wśród portfeli ryzykownych, tzn. ma najniższe ryzyko przy danym poziomie oczekiwanego zysku. Portfel rynkowy przybliżamy najczęściej indeksem giełdowym. Stąd inwestor posiada początkowo dwie skrajne możliwości: inwestowanie bez ryzyka albo w indeks giełdowy. Spośród tych dwóch skrajności może wybrać koszyk pośredni. Jeśli będzie chciał trzymać portfel akcji tylko w takiej proporcji, aby potencjalna strata została skompensowana przez oczekiwany zysk, to uzyska pożądany udział portfela, stosując przedstawiony wzór na x.
Jeśli za portfel rynkowy uzna indeks USA, to powinien trzymać 25-30% tego indeksu. Jeśli przyjmie WIG, to powinien go trzymać w udziale 15-20%.
Wiemy jednak obecnie, że klasyczna teoria finansów nie wystarcza. Dlatego inwestor ma szansę znaleźć lepsze, choć bardziej skomplikowane portfele akcji niż indeks. Gdyby znalazł taki, co ma odchylenie standardowe takie samo jak WIG (tj. 25%), ale oczekiwaną stopę zwrotu nie 11, a 15%, to jego udział powinien wynieść 20%. Gdyby udało mu się zmniejszyć jeszcze to odchylenie do 20%, to udział powinien wzrosnąć do 32% (przy Rf = 3%.). W sumie można więc powiedzieć, że minimalny udział akcji w portfelu inwestora powinien się mieścić między 15 a 30%.


P. S. Zasada Pareto 20:80? Do przemyślenia...

Jak prawidłowo obliczać procenty składane dla niepewnych aktywów?

Różni analitycy kuszą ludzi inwestowaniem na giełdzie, przedstawiając im zasadę działania procentu składanego. Najnowszy wpis z tej serii pojawił się dziś na blogu https://pokonacgielde.blogspot.com/2018/04/efekty-procentu-skadanego-w-dugim.html. W tym przypadku autor dodatkowo błędnie przypisuje siłę inflacji do napędzania giełdy. W artykule Czy inflacja jest dobra dla akcji?  podałem dowody empiryczne, że stopy zwrotu są ujemnie skorelowane z inflacją. Ale to akurat osobny temat.

Zastanawialiście się kiedyś czy do procentu składanego wyznaczającego przyszły zysk brać średnią arytmetyczną czy geometryczną? Intuicyjnie wydaje się, że geometryczna jest poprawniejsza. Nie jest to do końca prawda. Gdyby oczekiwana stopa zwrotu była znana (a stopy zwrotu niezależne od siebie), to powinniśmy stosować średnią arytmetyczną. Gdy mamy do czynienia z lokatami, to średnia arytmetyczna staje się równa średniej geometrycznej i dlatego obydwa podejścia są tożsame. Sytuacja się zmienia na instrumentach ryzykownych. W tym przypadku oczekiwana stopa zwrotu może być znana albo nieznana. Jeśli jest znana, to, jak wyżej napisałem, stosujemy średnią arytmetyczną. Jeśli jest nieznana - jak to ma miejsce najczęściej na rynkach - sytuacja się komplikuje. W uproszczeniu, gdy mamy do czynienia z niepewnością, porada jest następująca:
* jeśli interesuje nas krótki okres czasu, to nadal stosujemy średnią arytmetyczną,
* jeśli interesuje nas średni okres czasu, to stosujemy średnią ważoną ze średniej arytmetycznej i geometrycznej,
* jeśli interesuje nas długi okres czasu, to stosujemy średnią geometryczną,
* jeśli interesuje nas bardzo długi okres czasu, tak długi, że przekracza długość próby historycznej, to stosujemy "ukaraną średnią geometryczną" z powodu niepewności co do przyszłości.

Przypomnę, że w artykule W poszukiwaniu nieznanej wartości oczekiwanej - część 1 przeprowadziłem cały dowód (na podstawie rozumowania Blume'a), że w przypadku, gdy nie znamy krótkookresowej oczekiwanej stopy zwrotu, długookresowa oczekiwana stopa zwrotu brutto (tj. zwykła, netto, po powiększeniu o 1) w przybliżeniu będzie dana wzorem:

(1)

gdzie:
T - okres przeszłości; liczba obserwacji do próby
N - okres przyszłości
A - średnia arytmetyczna stopa brutto (liczona dla danych z okresu T). Zapisalibyśmy ją A = 1 + a, gdzie a to średnia arytmetyczna netto, czyli zwykła średnia średnia arytmetyczna.
G - średnia geometryczna stopa brutto (liczona dla danych z okresu T). Zapisalibyśmy ją G = 1 + g, gdzie g to średnia geometryczna netto, czyli zwykła średnia średnia geometryczna.


Przykład: PEKAO SA (PEO).
Okres: od końca 2007 do końca 2017 r., czyli T = 10. Dane roczne ze stooq.pl, który uwzględnia dywidendy, tzn. stopy zwrotu są powiększone o dywidendy brutto. Uzyskane parametry to:
a = 1,08%
A = 1,0108
g = -0,68%
G = 1-0,0068 = 0,9932

* Jeżeli interesuje nas krótki okres, to N = 1 i wtedy wzór (1) sprowadza się do M = A. Czyli rzeczywiście dostajemy średnią arytmetyczną, tj. m = a = 1,08% rocznie.

* Jeżeli interesuje nas średni okres, np. N = 5, wtedy wzór (1) daje M^5 = 1,0157, czyli roczna oczekiwana stopa netto wynosi m = 1,0157^(1/5) - 1 = 0,3% średniorocznie.

* Jeżeli interesuje nas długi okres, np. N = 10 i wtedy wzór (1) sprowadza się do M = G. Czyli rzeczywiście dostajemy średnią geometryczną, tj. m = g = -0,68% rocznie.

* Jeżeli interesuje nas bardzo długi okres, np. N = 20, wtedy wzór (1) daje M^20 = 0,46, czyli roczna oczekiwana stopa netto wynosi m = 0,46^(1/20) - 1 = -3,8% średniorocznie.

Ogólnie biorąc N > T powoduje, że stopa zwrotu jest coraz mniejsza w sposób sztuczny, bo zostaje ukarana za to, że chcemy szacować przyszłość, nie mając wystarczającej liczby danych. Dlatego zalecałbym, aby maksymalnie N = T. Co de facto oznacza, że dla długich okresów czasu stosujemy rzeczywiście średnią geometryczną.

Gdyby występowało ryzyko inwestycji, ale ogólnie roczna oczekiwana stopa zwrotu byłaby znana, to wzór (1) sprowadziłby się do M = A.
(Łatwo zauważymy, że tak będzie, gdy spojrzymy na formułę nr (4) z artykułu, gdzie wyprowadzałem ten wzór - losowy czynnik e(t) wyniesie 0, więc M musi sprowadzić się do średniej arytmetycznej).

I teraz powrócę do tego wpisu bloga, gdzie autor propaguje rachunek procentu składanego. Autorowi wyszła roczna oczekiwana stopa zwrotu PEO równa 6,7% w przeciągu 30 kolejnych lat. Ogólnie teraz widać, gdzie popełnia on błąd (zakłada, że prawdziwa oczekiwana stopa M jest znana) ale zwrócę uwagę na dodatkowy aspekt. Otóż popełnił teoretyczny błąd polegający na włączeniu inflacji do geometrycznej stopy zwrotu. Stopa inflacji to średni wzrost cen z roku na rok. Czyli z punktu widzenia wzoru (1) jest to wzrost 1 rok naprzód. Jeśli podstawimy N = 1, to dostaniemy M = A. Oznacza to, że stopa inflacji wyraża średnią arytmetyczną stopę wzrostu. Ale w takim razie, aby obliczyć M dla PEO autor nie mógł szacować 30 lat naprzód, tj. nie mógł użyć N = 30, a tylko 1. Przypominam, że użycie średniej arytmetycznej jako składanej oczekiwanej stopy zwrotu jest możliwe tylko w trzech sytuacjach:
- oczekiwana stopa zwrotu jest znana,
- N = 1
- T jest bardzo duże, a N niewielkie w stosunku do T. Np. jeśli T = 1000, a N = 10, to z (1) wynika, że M będzie praktycznie równe A.

Nawet jeśli przyjmiemy, że oczekiwana stopa inflacji jest znana (ok. 2%) i wówczas moglibyśmy obliczyć długookresową oczekiwaną stopę inflacji za pomocą średniej arytmetycznej, to już oczekiwana stopa zwrotu z akcji jest nieznana, więc nie możemy połączyć tych dwóch stóp ze sobą. To są po prostu dwie różne kategorie.

Z drugiej strony ktoś zapyta tak, dlaczego nie można uwzględnić inflacji, przecież jeśli przyjmiemy równowagową wersję stopy zwrotu, tj. CAPM, to właśnie powinniśmy ująć inflację, która zawiera się w stopie wolnej od ryzyka, a ta z kolei siedzi w CAPM. To prawda, możemy przyjąć dwa modele jednocześnie: formułę (1) oraz CAPM. One się nie kłócą. Tylko że aby się one ze sobą zgadzały, to CAPM musi także stanowić nieznaną oczekiwaną stopę zwrotu, a skoro powiedzieliśmy, że inflacja siedzi w CAPM, to ta inflacja musi zostać przekształcona w nieznaną oczekiwaną inflację. Ponieważ nieznaną wartość oczekiwaną wyraża wzór (1), to znaczy, że inflacja także musi jemu podlegać. W sumie musimy posiadać dwa rodzaje stóp inflacji: krótkookresową - arytmetyczną oraz długoookresową - geometryczną. Obie byłyby potrzebne do użycia modelu (1). W tym sensie CAPM zostaje podzielony na dwie części: krótkookresową i długookresową. Część krótkookresowa dotyczy średniej arytmetycznej, a długookresowa - geometrycznej.

Nie zawsze da się prosto wyliczyć średnią geometryczną. Normalnie, gdy mamy same stopy, jak w przypadku inflacji, to dodajemy do każdej wartości 1, aby uzyskać stopy brutto, a następnie używamy np. formuły Excela na średnią geometryczną. Sprawa się komplikuje w przypadku zysków, które nie rzadko stają się ujemne. Wtedy nie możemy obliczyć średniej geometrycznej w taki sposób.  Zamiast tego możemy wykorzystać przybliżenie na geometryczną stopę zwrotu, które tutaj wyprowadziłem (nie mylić oznaczeń: w tamtym A to tutaj a). Wzór (1) będzie poprawny dla rozkładu normalnego, toteż ze 4-ch wyprowadzonych przybliżeń, G2 powinien być najlepszy. Przy założeniu normalności rozkładu:

(2)

gdzie V - wariancja.
Częściej interesuje nas odchylenie standardowe, stąd (2) zapiszemy:

(3)

gdzie S - odchylenie standardowe z próby.

Aby wstawić tę formułę do (1), zapiszemy:

(4)

Wstawimy (4) do (1):

(5)

W ostatnich 10 latach (T = 10) średnia inflacja (a) wyniosła 2,02%, tj. A = 1,0202, a odchylenie standardowe (S), 2,03% (Bank Światowy). Podstawmy te dane dla różnych N, aby uzyskać wgląd w oczekiwania na temat inflacji:
* dla N = 1, m = 2,02% = średnia arytmetyczna inflacji,
* dla N = 5, m = 2,01%,
*dla N = 10, m = 2% -> jest to przybliżona średnia geometryczna inflacja,
*dla N = 20, m = 1,98%
*dla N = 30, m = 1,95%.

Jedynie krótkookresowy wzrost, dla N = 1, pozwala na zastosowanie zwykłej średniej stopy inflacji. Dla dłuższych okresów, musi ona zostać odpowiednio pomniejszona. W tym przypadku akurat różnica nie jest duża, ciągle to ok. 2%. Jednak w ogólnym przypadku, gdybyśmy chcieli dodać wzrost zysków, proste łączenie arytmetycznego z geometrycznym tempem wzrostu, okazuje się błędne.