niedziela, 16 marca 2014

Czy stop lossy są opłacalne?

Zlecenia stop loss mają z pewnością duże znaczenie dla traderów, ale jeszcze większe dla maklerów. Jeśli posiadamy strategię, która rzeczywiście działa, to znaczy potrafimy przewidzieć pewne ruchy kursu, to stop lossy mogą pomagać w zwiększeniu zysków. Problem polega na tym, że prawie wszyscy "doradcy" nakłaniają nas do stosowania stop lossów używając tylko jednego argumentu: że stop loss chroni nasz kapitał przed nadmiernym obsunięciem albo po prostu przed zbyt dużym ryzykiem. Niestety takie twierdzenie jest jak masło maślane - fakt, iż szybko usuwam akcje z portfela powoduje, że w tym czasie mogę przerzucić się na obligacje albo lokaty, a więc po prostu wtedy mniej ryzykuję i nie tracę. Nie znaczy to jednak wcale, że moje zyski będą większe. Mogą być całościowo znacznie mniejsze, bo częste używanie stop lossów generuje koszty transakcyjne.

Pytanie brzmi jak bardzo stop lossy implikujące te koszty niszczą naszą stopę zwrotu? W artykule Stopa zwrotu po potrąceniu prowizji  pokazałem, że stopa zwrotu po potrąceniu prowizji przy kupnie i sprzedaży wynosi:

(1)

gdzie
r to stopa zwrotu bez potrącenia prowizji,
x - wielkość prowizji jako część posiadanego kapitału.

Jednakże nasz problem jest trochę bardziej ogólny. Nie interesuje nas przecież jedna transakcja kupna i sprzedaży, ale wszystkie transakcje w danym okresie. Na przykład jeżeli wiem, że dana strategia pozwala osiągnąć średnio 15% rocznie bez prowizji przy użyciu średnio 5 stop lossów, to ile faktycznie wynosi moja stopa zwrotu? Poniższe obliczenia są mojego autorstwa.

Mój pomysł polega na tym, aby wyznaczyć logarytmiczną stopę zwrotu, którą dzielimy na liczbę zrealizowanych stop lossów, ponieważ każdy stop loss oznacza uzyskanie pewnej stopy zwrotu w danym okresie. Jeżeli mamy 1 stop loss, to znaczy po prostu, że stosujemy metodę kup i trzymaj (bo na koniec pewnego okresu sprzedajemy po określonej cenie). Jeśli są 2 stop lossy, to znaczy, że handlowaliśmy dwukrotnie i posiadamy 2 stopy zwrotu. Jeśli mamy cel 5 stop lossów, to znaczy, że mamy 5 zrealizowanych transakcji kupna i sprzedaży, 5 stóp zwrotu i możemy obliczyć średnią stopę zwrotu. Tak więc dzieląc logarytmiczną stopę zwrotu przez liczbę stop lossów, uzyskamy średnią logarytmiczną stopę zwrotu z jednej transakcji sprzedaży. W kolejnym etapie przekształcimy ją w arytmetyczną stopę zwrotu i obliczymy na podstawie wzoru (1) stopę zwrotu potrąconą o koszty transakcyjne. Ostatni etap będzie polegał na ponownym przekształceniu tej stopy w logarytmiczną stopę zwrotu, pomnożeniu przez liczbę stop lossów, ponieważ musimy powrócić do stopy zwrotu dla wszystkich transakcji i na koniec przekształceniu tej stopy zwrotu w arytmetyczną stopę zwrotu, która już będzie potrącona o prowizje. Otrzymamy w ten sposób nowy, ogólny wzór na stopę zwrotu po potrąceniu kosztów transakcji.

Załóżmy, że w pewnym okresie czasu uzyskujemy całkowitą stopę zwrotu r. W tym okresie dokonujemy N transakcji sprzedaży, co możemy utożsamić z liczbą stop lossów. Całkowitą logarytmiczną stopę zwrotu definiujemy następująco:

(2)
Z tego wynika, że

(3)

Jeżeli podzielimy logarytmiczną stopę zwrotu przez N, to otrzymamy średnią logarytmiczną stopę zwrotu z jednej transakcji sprzedaży, którą oznaczymy następująco:

(4)


Ponieważ ostatnie wyrażenie jest ciągle logarytmiczną stopą zwrotu, stosujemy do niego odpowiednio (2) i (3), a więc dostajemy następujący wzór na średnią (arytmetyczną) stopę zwrotu z jednej transakcji sprzedaży:

(5)
Podstawiając (5) do (1), dostaniemy średnią stopę zwrotu z jednej transakcji sprzedaży potrąconą o prowizje (od kupna i sprzedaży):


Stopę tę przekształcamy w logarytmiczną zgodnie z (2):

a więc po skróceniu

(6)

Stopę z (6) przekształcamy w całkowitą logarytmiczną stopę zwrotu po potrąceniu prowizji. Na podstawie (4) zapiszemy, że:

(7)
Zaś na podstawie (2) i (3) mamy że:

(8)

Łącząc (7) i (6) i podstawiając to do (8), uzyskujemy:



Wyrażenie to możemy uprościć wykorzystując własności logarytmów. Dodatkowo wyrażenie w nawiasie sprowadzimy do wspólnego mianownika (1+x). W rezultacie otrzymamy:

(9)

Podstawiając wyrażenie (2) do (4), a następnie (4) do (9), dostaniemy:
 
(10)
Po dalszych przekształceniach (10), w tym wykorzystaniu ponownie własności logarytmów, finalnie otrzymujemy wzór na całkowitą stopę zwrotu po potrąceniu prowizji ze wszystkich transakcji:

 (11)

Teraz możemy podstawić dane z naszego przykładu do wzoru (11). Jeżeli nasza stopa zwrotu bez potrącania prowizji wynosi 15%, a używamy średnio 5 stop lossów, zaś prowizja przy kupnie i sprzedaży wynosi 0.39% kapitału, to znaczy, że nasza faktyczna stopa zwrotu wynosi:


Zauważmy więc, że stosując 5 stop lossów w ciągu roku, stopa zwrotu okazuje się być na poziomie średniej rynkowej.

A teraz załóżmy, że potrafimy wyciągać średnio aż 25% rocznie, ale średnio używając stop lossa co 1 miesiąc. Wtedy nasza stopa zwrotu przez prowizje spada do 13,8%.

Z kolei jeśli podstawimy za N = 1, to (11) musi sprowadzać się do wzoru (1).

Przed korzystaniem z narzędzi typu stop loss, warto przeczytać co mówią statystyki na temat zyskowności jego używania w stosunku do kup i trzymaj. Bulkowski na swojej stronie http://thepatternsite.com/CanStopsHurt.html przedstawia następujące wyniki strategii z wykorzystaniem stop lossów:



Mówiąc krótko, stop lossy według Bulkowskiego powodują więcej szkód niż pożytku. Nie wiem czy Autor uwzględniał koszty transakcyjne, ale wydaje się, że tak, bo w przeciwnym wypadku trudno byłoby zrozumieć takie straty na płynnych walorach.


Źródło:

1. http://gieldowyracjonalista.blogspot.com/2011/03/stopa-zwrotu-po-potraceniu-prowizji.html
2. http://thepatternsite.com/CanStopsHurt.html

niedziela, 23 lutego 2014

Bessa w USA nie udzieli się Polsce???

Post ten ten jest odpowiedzią na artykuł Czy bessa w USA udzieli się Polsce?, który pojawił się 10.02 na całkiem niezłym, choć trochę zbyt amatorskim blogu. Z owego artykułu dowiadujemy się, że:

  • Nadejście bessy w USA nigdy nie spowodowało nadejścia bessy w Polsce. Co więcej czasem to właśnie Polska pierwsza zaczynała spadać, a dopiero później dołączały Stany. 
  • Bessy w Polsce zawsze pojawiały się w towarzystwie słabych danych makro z kraju.
 A później czytamy:

Na pytanie o zawalenie się naszej giełdy mamy jasna odpowiedź nieco wyżej mówiącą że: Jeszcze nigdy bessa w USA nie wywołała bessy w Polsce. Ta odpowiedź sugeruje, że nie musimy martwić się, o "przeciągającą się" hossę w USA jeśli inwestujemy w Polsce.

 Dzięki uzyskanej wiedzy w artykule Czy trój-betowy CAPM wyjaśnia stopy zwrotu? wiemy już, że istnieje teoretyczny związek pomiędzy dochodami z pracy a oczekiwaną stopą zwrotu z akcji na rynku kapitałowym. Wiemy także, że istnieje empiryczna zależność pomiędzy stopami zwrotu a dochodami z pracy. Należy tu dokładnie zrozumieć, że mówimy o dochodach z pracy,a zatem nie wliczamy żadnych dochodów z inwestycji kapitałowej. Oznacza to, że dochody z pracy nie mogą być utożsamiane z PKB. PKB uwzględnia wszelkie dochody. Od PKB trzeba by odjąć wszystkie dochody pochodzące spoza pracy: dywidendy (jeśli nie są rekompensatą za wynagrodzenie) oraz wszystkie zyski kapitałowe.

Dla uproszczenia obliczeń, przyjmę jednak, że dochody z pracy jest to PKB. Ale musimy pamiętać, że nie jest to dobre przybliżenie, jeśli S&P500 stanowi dużą część PKB USA. A jaki jest obecnie stosunek SP500 do GDP? Na stronie http://www.gurufocus.com/stock-market-valuations.php
mamy odpowiedź. Najpierw spójrzmy na następujący wykres:



Teraz zobaczmy to samo, ale w stosunku procentowym obydwu indeksów:


SP500 obecnie przewyższa GDP o 15%. Tak więc S&P 500 ogólnie stanowi dużą część GDP, dlatego też korelacja pomiędzy nimi jest sama z siebie tautologiczna. Ma to też pewien związek ze strategią polegającą na kupowaniu akcji gdy ten stosunek jest mniejszy od 1 i sprzedawaniu gdy jest powyżej 1. Jeśli bowiem dziś akcje stanowią ponad 100% GDP, to znaczy, że GDP rośnie ogólnie wolniej niż SP500, co sprawia, że można uznać rynek za zbyt szybko rosnący, czyli jakby przewartościowany. Odwrotnie, jeśli SP500 do GDP < 1, to GDP rośnie ogólnie szybciej od SP500, co sprawia, że można uznać rynek za zbyt wolno rosnący, czyli jakby niedowartościowany. Tym samym otrzymujemy pewne wskazówki na rosnące niebezpieczeństwo inwestowania w akcje w USA.

Pytanie jednak jak się ma giełda USA do Polski? Możemy z dużą dozą pewności stwierdzić, że dane makro z Polski będą mieć wpływ na WIG. Ale czy amerykańskie PKB wpływa na WIG?

Pobrałem kwartalne PKB ze strony http://www.bea.gov/ aby obliczyć kwartalne stopy zmian PKB kw/kw (niezaanualizowane). Ze stooq.pl pobrałem dane S&P500 oraz WIG i policzyłem kwartalne stopy zwrotu kw/kw. Interesowały mnie lata od początku 2001 do ostatnich danych, czyli września 2013. Było to tylko 51 danych, ale wnioski można już wyciągać. Przy tak małej liczbie obserwacji poziom istotności 0,1 wystarczy.

To może po kolei. Korelacja Pearsona pomiędzy PKB USA i S&P 500 wyniosła 0,39, oczywiście istotna stat.  Jednakże z punktu widzenia regresji liniowej, zależność istnieje, p < 0,01, ale R^2 = 15%, R^2 adj. = 13,4%.

Jednak nas bardziej interesuje kwartalna zmiana WIG w relacji do kwartalnej zmiany PKB USA. Okazuje się, że korelacja Pearsona wynosi aż 0,44. W regresji liniowej również p < 0,01, R^2 jest wyższy niż dla SP500 i wynosi 19,55%, a R^2 adj.= 18%. Niski R^2 jest spowodowany dużym rozrzutem obserwacji wokół wartości oczekiwanej:


Ten empiryczny model ma następującą postać:

Oczekiwana stopa WIG(t) = -0.04 + 7.02*Stopa_zmian_PKB_USA(t)

Oczekiwaną i faktyczną stopę zwrotu z WIG możemy także porównać w perspektywie czasowej:




Nie ma żadnych wątpliwości, że PKB amerykańskie ma wpływ na WIG.


Ale nie dotarliśmy jeszcze głównej myśli, czyli relacji S&P 500 i WIG. Możemy pokusić się o stworzenie czegoś na kształt dwu-, a później 3-czynnikowego CAPM opisywanego w poprzednim artykule. Dołóżmy do modelu stopę z SP500. Jeśli przyjmiemy, że stopa procentowa jest stała w czasie, to możemy pominąć stopę wolną od ryzyka i po prostu przyjąć 2-czynnikowy CAPM w postaci:

Oczekiwana stopa WIG(t) = stała + Beta*Stopa_SP500 + beta(labor)*Stopa_zmian_PKB_USA(t) 

Otrzymałem następujące parametry (stała praktycznie wyniosła zero i jest nieistotna):

Oczekiwana stopa WIG(t) = 0.96*Stopa_SP500(t) + 2.58*Stopa_zmian_PKB_USA(t)

R^2 = 63,5%, R^2 adj. = 62%.

Wnioski są oczywiste. Jeśli WIG potraktujemy jak zwykłą, ale dużą spółkę w indeksie SP500, to otrzymujemy bardzo silną zależność 0,96 pomiędzy S&P 500 a WIG.



Przy usunięciu zmiennej PKB, beta = 1,04, a zatem WIG będzie nieco silniej się odchylał niż SP500, ale R^2 jest wtedy niższy.

I na koniec można się zastanowić nad 3-cim czynnikiem. Ogólnie nasz CAPM wyglądał tak:


Uważny Czytelnik dostrzeże, że nasza regresja nie jest to CAPM, bo tam beta była zmienną, a stałe współczynniki były wyliczane z regresji. U nas jest odwrotnie: betę sobie wyliczyliśmy jako stałą. Z tego powodu nie mamy prawa twierdzić, że modelujemy zmienność bety. Jak już moglibyśmy się pokusić o stwierdzenie, że modelujemy zmienność oczekiwanej stop zwrotu SP500. Ponieważ definicja bety(prem) była następująca:


to w naszym przypadku ta beta(prem) zostanie obliczona na podstawie Metody Najmniejszych Kwadratów, która stosuje ten sam wzór. Musimy tylko dobrać odpowiednie zmienne. Zmiennymi pierwotnymi były Ri(t) - stopa zwrotu i-tego aktywa oraz R(prem)(t-1) - premia za ryzyko rynkowe z okresu t-1. Jednak, jak już wcześniej założyliśmy, stopa wolna od ryzyka będzie stała, a zatem premia za ryzyko może być wyrażona po prostu oczekiwaną stopą SP500. Ponieważ naszym celem jest odszukanie zmienności oczekiwanej stopy zwrotu SP500 albo, mówiąc bardziej ekonomicznie, cykliczności rynkowej, za R(prem)(t-1) podstawimy R(prem)(t-4), nazwijmy ją beta(2), czyli w naszym przypadku stopę zwrotu z SP500 sprzed 4 kwartałów. Mówiąc krótko, dostaniemy model:

Oczekiwana stopa WIG(t) = stała + Beta(1)*Stopa_SP500 + Beta(2)*Stopa_SP500(t-4) + Beta(3)*Stopa_zmian_PKB_USA(t)

Otrzymałem następujący model empiryczny ze wszystkimi istotnymi parametrami:

Oczekiwana stopa WIG(t) = 0.93*Stopa_SP500 - 0.28*Stopa_SP500(t-4) + 3*Stopa_zmian_PKB_USA(t)

R^2 = 66.7%, R^2adj. = 64.4%  - wysokie wartości wskazują na najlepsze dopasowanie z dotychczasowych modeli.

Poniżej dopasowanie obserwacji do analizowanego modelu przedstawia rysunek:




Model sugeruje, że stopa zwrotu SP500 sprzed 4 kwartałów, czyli 1 roku, wpływa ujemnie na bieżącą stopę WIG o ok. 30%. Jeśli wiemy, że rok temu SP500 urósł w 1 kw. o 10%, to możemy się spodziewać, że w tym roku w 1 kw. WIG spadnie o niecałe 3%, przy innych czynnikach niezmienionych. Można powiedzieć, że po roku następuje pewna zmiana w cyklu WIG. Co ciekawe, taka zależność nie występuje dla SP 500. Indeks amerykański nie reaguje na to co się działo na nim rok temu, z punktu widzenia regresji liniowej. 

Z czego może wynikać ta różnica? Moja hipoteza jest taka, że cykl gospodarczy w USA nie pokrywa się z cyklem gospodarczym w Polsce, a to powoduje, że WIG reaguje na przeszłe zmiany samego SP500 inaczej. Na przykład załóżmy, że cykl gospodarczy trwa w Polsce krócej niż w USA. To będzie powodowało, że WIG zacznie szybciej zmieniać kierunek, bo już po roku. W tym czasie w USA cykl jeszcze trwa. Jeżeli w USA cykl trwa dłużej, to pewna odwrotna reakcja na przeszłe zmiany powinna nastąpić po dłuższym okresie. Pytanie po jakim okresie? Z moich prób wynika, że po 7 kwartałach.
Kiedy zastosowałem model:

oczekiwana stopa zwrotu SP500 = stała + beta*stopa_SP500(t-7)

a więc sprawdziłem jak się zachowuje indeks po 7 kwartałach, to okazało się, że dostałem parametry istotne statystycznie:

oczekiwana stopa zwrotu SP500 = 0.02 - 0.25*stopa_SP500(t-7)

R^2 jest wprawdzie bardzo niski, bo tylko 8%, jednak nie ma wątpliwości, że istnieje ujemna zależność. 

Przedstawiona hipoteza byłaby fałszywa, gdyby WIG również miał istotne parametry i podobny R^2 dla identycznego modelu, tj dla

oczekiwana stopa zwrotu WIG = stała + beta*stopa_SP500(t-7)

Jednak w tym przypadku otrzymany parametr, za wyjątkiem stałej, jest nieistotny statystycznie (p = 0.34), zaś R^2 wynosi tylko 2,1%.

  Z powyższego można wnioskować, że rzeczywiście cykl SP500 jest dłuższy niż cykl WIG ok. 3 kwartały. To prawdopodobnie jest przyczyna, dla której Autor rzeczonego artykułu stwierdził, że bessa w USA nie zwiastuje bessy w Polsce. Cykle obu indeksów się nie pokrywają, cykle obydwu gospodarek mają prawdopodobnie różną średnią długość, lecz reakcja WIG na S&P 500 jest silna i dodatnia.


Źródło:

1. http://gieldowyracjonalista.blogspot.com/2013/11/czy-troj-betowy-capm-wyjasnia-stopy.html
2. http://10-procent-rocznie.blogspot.com/2014/02/czy-bessa-w-usa-udzieli-sie-polsce.html
3. http://www.gurufocus.com/stock-market-valuations.php
3. http://www.bea.gov/
4. stooq.pl