Uogólniony wskaźnik Sharpe'a

W każdym podręczniku poruszającym temat zarządzania portfelem inwestycyjnym znajdziemy pojęcie wskaźnika Sharpe'a (SR - Sharpe Ratio). W procesie zarządzania podstawową kwestią jest zbadanie oczekiwanej (średniej) stopy zwrotu (u(Rp)) w stosunku do ponoszonego ryzyka. Tradycyjnie ryzyko określane jest przez odchylenie standardowe stopy zwrotu. W nawiązaniu do CAPM przyjęło się dodatkowo, żeby od oczekiwanej stopy zwrotu odjąć stopę wolną od ryzyka (R(f)), bo wtedy dostaniemy premię za ryzyko. Zatem SR ma postać:

Oczywiście im większy SR, tym lepsza jakość zarządzania portfelem.

Jest to znany i powszechnie stosowany miernik. Jednakże opiera się on na założeniu, że istnieją tylko dwa parametry rozkładu gęstości stopy zwrotu: średnia i wariancja. Założenie to ma teoretyczne podstawy, gdyż  zgodnie z Centralnym Twierdzeniem Granicznym średnia stopa zwrotu będzie dążyła do rozkładu normalnego, jeśli kolejne stopy zwrotu będą od siebie niezależne oraz będą posiadać identyczny rozkład prawdopodobieństwa oraz skończoną wariancję. To znane twierdzenie zostało jednak bardzo mocno uogólnione. Okazuje się, że średnia będzie dążyć do rozkładu normalnego, nawet jeśli zmienne są od siebie zależne [3], a nawet wtedy, gdy ich rozkłady nie będą jednakowe [1]. Właściwie jedynym ograniczeniem jest, aby średnia i wariancja były skończone. Trzeba jednak pamiętać, że w tych przypadkach zbieganie do rozkładu Gaussa będzie dużo wolniejsze niż dla klasycznego przypadku. (Przyjemnie opisane "działanie" tego twierdzenia można obejrzeć tutaj )

Badania jednak wskazują, że stopy zwrotu daleko odbiegają od rozkładu normalnego. Dziać się tak może z dwóch powodów. Po pierwsze twierdzenie mówi, że średnia stopa zwrotu dąży do r. Gaussa, a nie sama stopa (aczkolwiek zamiast średniej może być to po prostu suma, a więc logarytmiczna stopa zwrotu już mogłaby dążyć rozkładu normalnego). Po drugie wariancja może wbrew intuicji być nieskończona; co więcej wiadomo, że w wielu przypadkach tak właśnie się dzieje.

Nawet jeśli Centralne Twierdzenie Graniczne nadal obowiązuje na rynku, to prawdopodobnie potrzeba (bardzo) dużej próbki, aby testy potwierdzały normalność stóp zwrotu. Inwestor zarządzający portfelem nie może zatem lekceważyć pozostałych parametrów takich jak skośność i kurtoza.
Skośność może być prawostronna lub lewostronna. Poniżej przykład skośności prawostronnej:

Ponieważ mediana, me, dzieli badaną strukturę na dwie równe części, a  średnia jest większa od mediany, to mniej niż połowa danych ma wartości większe od średniej.


A poniżej przykład lewostronnej:



Ponieważ mediana dzieli badaną strukturę na dwie równe części, a  średnia jest mnijesza od mediany, to ponad połowa danych ma wartości większe od średniej.

Kurtoza może być leptokurtyczna lub platykurtyczna. Poniżej widzimy  różne kształty rozkładu w porównaniu do rozkładu normalnego.

Leptokurtoza jest to kurtoza dodatnia i charakteryzuje się wysmukłym wierzchołkiem oraz tzw. grubymi ogonami, tj. rzadkie zdarzenia są częstsze niż dla rozkładu normalnego. Platykurtoza jest to kurtoza ujemna i charakteryzuje się spłaszczonym wierzchołkiem oraz cienkimi ogonami, tzn. mniej prawdopodobne zdarzenia są rzadsze niż dla rozkładu normalnego. 


 V. Zakamouline i S. Koekebakker [6] wyprowadzili SR uwzględniający skośność (ASSR - Adjusted for Skewness Sharpe Ratio). Wzór na ASSR jest następujący:

gdzie

χ - skośność rozkładu stopy zwrotu

b(3) - względna awersja do ryzyka.

Parametr b(3) jest ściśle związany z awersją do ryzyka Pratta-Arrowa. Przypomnę teraz, że w artykule Rozbieżność opinii w kontekście CAPM  zdefiniowana była awersja do ryzyka Pratta Arrowa następująco:

gdzie U - funkcja użyteczności inwestora (dopowiedzmy, że jeżeli awersja do ryzyka pozostaje wielkością stałą, to U jest dana wzorem: U(W) = y1 + y2*(-exp(-a*W)), dla a > 0, gdzie y1 to dowolna liczba; y2 > 0; W to inwestowana kwota. Zob. [5]).

Z kolei parametr b(n) jest dany wzorem:

gdzie n - liczba parametrów rozkładu stopy zwrotu.

Jeśli n = 2, wtedy stopa zwrotu jest opisana tylko wartością oczekiwaną i wariancją. Wtedy też b = 1.
W przypadku 3 parametrów, pojawia się skośność. Dostajemy wtedy wzór:

Parametr b(3) oznacza w tym wypadku preferencję w stosunku ryzyka skośności. Skośność wyznacza pewną osobliwą miarę ryzyka, którą za chwilę omówię. 
Na razie zauważmy, że ASSR zależy od preferencji inwestora, a nie tylko od własności stopy zwrotu. Co to oznacza? Że inwestorzy z różną preferencją do ryzyka skośności będą inaczej rangować ryzykowne aktywa.

Zauważmy teraz, że im większa (dodatnia) skośność, tym większy ASSR. Czyli lepsze zarządzanie portfelem, pomimo iż oczekiwana stopa zwrotu nie rośnie. Dzieje się tak, ponieważ większa dodatnia skośność znacznie zmniejsza ryzyko ujemnych stóp zwrotu i zwiększa prawdopodobieństwo bardzo dużych stóp zwrotu. Przypatrzmy się jednak obu obrazkom gdzie jest dodatnia skośność. Prawdopodobieństwo niskich stóp zwrotu zwiększa się, czyli jest to negatywny efekt, jednakże jest on równoważony przez spadek ujemnych stóp zwrotu i wzrost bardzo dużych stóp zwrotu. Oczekiwana stopa zwrotu pozostaje niezmienna, a jedynie częstości się przesuwają.

Odwrotna sytuacja występuje dla ujemnej skośności. Spada gwałtownie do zera szansa na bardzo duże zyski, rośnie szansa na umiarkowane zyski oraz rośnie szansa na straty. Z punktu widzenia ryzyka ujemna skośność jest niepożądana przez inwestora.

Od razu powiem, że nie jest to wcale proste do zrozumienia. Jeśli ujemna skośność rośnie coraz bardziej, to przecież rośnie szansa na przyzwoite zyski. Dlaczego więc to jest negatywne? Rzecz dotyczy tego samego aspektu co w przypadku innej miary ryzyka, Value at Risk, która mierzy tylko maksymalną stratę z danym prawdopodobieństwem. Trzeba pamiętać, że oczekiwany zysk się nie zmienia i choć największa szansa jest, że "będzie dobrze", to równocześnie rośnie niebezpieczeństwo, że "będzie źle" albo "bardzo źle".

Jednak faktyczna moc ASSR polega na tym, że jeśli inwestor nie ma w ogóle awersji do takiego ryzyka, to b = 0 i wtedy ASSR sprowadza się do SR. Pytanie czy jest to zasadne skoro VaR rośnie (maksymalna strata wzrasta ze względu grubszy lewy ogon rozkładu). Wątpliwe. Skąd jednak mamy wiedzieć jaką awersję do ryzyka skośności przyjąć?

Przy założeniu, że rozkład stopy zwrotu jest tzw. normalnym odwrotnym Gaussowskim rozkładem (nie jest to sztuczne założenie, tzn. ma również podstawy teoretyczne; rozkład ten jest jednym z uogólnień rozkładu normalnego. Co więcej, badania dowodzą, że doskonale dopasowuje się on do rozkładu dziennych stóp zwrotu [2])  U. Homm i C. Pigorsch [4] wyprowadzają uogólniony wskaźnik Sharpe'a (GSR - Generalized Sharpe Ratio), który nie zależy w ogóle od awersji do ryzyka. Wzór na GSR  jest następujący:

gdzie K - kurtoza albo precyzyjniej nadwyżka kurtozy, bo aby porównywać rozkład zmiennej z rozkładem normalnym, musimy odjąć od kurtozy liczbę 3.

Gdy skośność i K są równe 0, GSR sprowadza się do SR.

Jak widać powyższy wzór na GSR uwzględnia nie tylko skośność, ale dodatkowo także kurtozę, a więc ryzyko rzadkich zdarzeń, jak np. krach. Zatem kurtoza mierzy dodatkowo ryzyko załamania. Będzie tak, gdy K > 0. Oczywiście, jeśli K < 0, to ryzyko rzadkich zdarzeń staje się mniejsze niż dla rozkładu Gaussa, zatem ma wtedy pozytywny wpływ na GSR.

Wzór GSR może się wydać skomplikowany, ale jest łatwy w użyciu. Wystarczy podstawić, używając Excela, który ma wszystkie potrzebne miary statystyczne. Zwrócę tu uwagę, że Excel w swoich funkcjach nazywa nadwyżkę kurtozy właśnie kurtozą, a więc wystarczy wstawić bezpośrednią funkcję do wzoru.

Przykład.

Porównajmy SR i GSR na przykładzie paru wybranych spółek i WIG w okresie 30.11.2004 - 27.08.2013. Zakładając, że w tym okresie trzymamy pewne spółki i ich nie sprzedajemy, mierzymy co miesiąc stopę zwrotu (dywidendy są uwzględnione). Dane pobrałem ze stooq.pl. Czyli miesięczne stopy zwrotu stają się podstawą do wyznaczenia SR i GSR:

WIG:
SR = 12,8%.
GSR = 12,5%.

GSR jest mniejszy od SR z powodu ujemnej skośności (-0,37) oraz leptokurtozy (1,58).

PKO:
SR = 12,7%
GSR = 12,4%

SR i GSR dla PKO są niemal identyczne jak dla WIG.

PGD:
SR = 9,3%
GSR = 10,2%

GSR pokazuje, że w rzeczywistości premia za ryzyko w stosunku do podejmowanego ryzyka Pageda jest wyższa o 1% niż wskazywałby SR. Pomimo tej poprawy trzymanie tej spółki od końca 2004 r. do dziś wydaje się być złym pomysłem, skoro WIG przynosi wyższe wynagrodzenie w stosunku do ryzyka. 


LBW:
SR = 14,1%
GSR = 15,6%

W przypadku Lubawy sytuacja wygląda odwrotnie. Nie dość, że SR jest znacznie wyższe od WIG, to jeszcze GSR informuje, że ryzyko jest jeszcze mniejsze. Poprawa GSR wynika z dużej dodatniej skośności LBW, która zmniejsza ryzyko (dla WIG skośność była ujemna).

ELZ

SR = 15,1%
GSR = 15,9%.

Sytuacja Elzabu jest podobna jak w przypadku LBW, a więc znacznie pokonuje indeks.
Tym razem możemy dodatkowo porównać efektywność inwestowania w LBW z ELZ. Gdybyśmy je ocenili w oparciu o SR, to stwierdzilibyśmy, że trzymanie ELZ jest efektywniejsze niż LBW. Ale jak ocenimy je przez pryzmat GSR, to dowiadujemy się, że obie mają porównywalną efektywność: 15,9% u ELZ jest nieznacznie wyższe od 15,6% u LBW, intuicyjnie można wręcz powiedzieć, że różnica jest zaniedbywalna. Zatem jakość zarządzania portfelem w obu przypadkach jest praktycznie identyczna, pomimo że SR mówiłby co innego.

Literatura:

[1] Andrews D. W. K., An  Empirical  Process  Central  Limit  Theorem for  Dependent  Non-identically  Distributed Random  Variable,  Journal of Multivariate Analysis 38, 187-203 (1991);

[2] Barndorff-Nielsen, O.E., Normal Inverse Gaussian Distributions and Stochastic Volatility Modelling, Scandinavian Journal of Statistics, Volume 24, Issue 1, pages 1–13, March 1997;
[3] Hoeffding, W., Robbins H., The central limit theorem for dependent random variables,
Volume 15, Number 3 (1948), 773-780;

[4] Homm, U., Pigorsch, C., Beyond the Sharpe ratio: An application of the Aumann-Serrano index to performance measurement, April 7, 2012,
[5] Pratt, J. W., Risk Aversion in the Small and in the Large, Econometrica, Vol. 32, No. 1/2. (Jan. - Apr., 1964), pp. 122-136;
[6] Zakamouline, V. ; Koekebakker, S., Portfolio performance evaluation with generalized Sharpe ratios: Beyond the mean and variance, Journal of Banking & Finance, 22 August 2008.

Źródło danych statystycznych: stooq.pl.

Autokorelacja i efektywność rynku

Autokorelacja stóp zwrotu małych spółek na rynkach kapitałowych jest faktem niepodlegającym dyskusji. Ostatnio przedstawiłem wyniki dla polskiej giełdy, dla częstości miesięcznych. Podobne wyniki są uzyskiwane dla rynków zagranicznych. Ciekawe jest to, że dla indywidualnych akcji autokorelacja praktycznie nie występuje albo jest lekko ujemna, lecz dla indeksów następuje złagodzenie zmienności i ujawnia się nagle dodatnia autokorelacja. I dotyczy to głównie małych spółek.

Pierwsze, najprostsze wyjaśnienie jakie przychodzi do głowy to hipoteza podreaktywności. Jeśli przychodzi pewna informacja fundamentalna, to zgodnie z teorią rynku efektywnego ta informacja powinna natychmiast zostać zdyskontowana w cenie akcji. Jeżeli jednak rynek jest podreaktywny, to będzie stopniowo dyskontował tę jedną informację, co wywoła efekt dodatniej autokorelacji w dziennych zmianach kursów. Ponieważ dotyczy to jednak tylko portfela akcji, to znaczy, że informacja ta ma podłoże makroekonomiczne, a nie mikro, ponieważ portfel akcji odzwierciedla stan całości gospodarki.

Takie wyjaśnienie, choć satysfakcjonuje przeciwników rynku efektywnego, rodzi pewne pytania. Po pierwsze, dlaczego autokorelacja dotyczy małych spółek, a nie dużych? Odpowiedź może być taka, że małe spółki lepiej odzwierciedlają stan małych przedsiębiorstw, są bardziej wrażliwe na informacje z makro-otoczenia, a więc zmiany powinny być mocniejsze.

Po drugie, dlaczego autokorelacja utrzymuje się nie tylko w dziennych, ale także tygodniowych i miesięcznych stopach zwrotu? Nawet jeśli informacja jest dyskontowana przez kilka dni z rzędu, to trudno sobie wyobrazić, żeby to trwało aż tydzień, nie mówiąc już o miesiącu.Odpowiedź może leżeć w persystencji pozytywnych lub negatywnych informacji makrogospodarczych, np.w autokorelacji zmian PKB.

T. S. Mech [1] przedstawia dla odmiany możliwe wyjaśnienia zgodne z teorią efektywnego rynku. Po pierwsze autokorelacja może być związana z autokorelacją oczekiwanych stóp zwrotu, które zmieniają się w czasie. To wyjaśnienie zaproponowali Conrad i Kull w 1988 r.

Po drugie niektóre ceny są odrzucane z obliczeń stopy zwrotu indeksu z powodu braku tradingu. (Istotne są tylko informacje sprzed ostatniego tradingu, więc może nastąpić opóźnienie w dyskontowaniu dla danej akcji. Jednak w indeksie nie będą uwzględnione akcje bez wolumenu, więc w indeksie będzie częściowo zawarta informacja poprzez inne akcje, natomiast dla tej niepłynnej akcji informacja zostanie zdyskontowana dopiero przy ustaleniu kursu i przez to indeks będzie przejawiał także opóźnioną reakcję w powiązaniu z autokorelacją). To rozwiązanie zostało zaproponowane przez Fishera w 1966 r.

Po trzecie autokorelacja związana jest ze starymi limitowanymi zleceniami - proponują Cohen, Hawawini, Maier,  Schwartz  and Whitcomb (1980).

Po czwarte, Fisher w 1966 r. stwierdził, że prawdopodobnie autokorelacja wynika z faktu, że koszty transakcyjne uniemożliwiają natychmiastowe zdyskontowanie informacji i stąd następuje opóźnienie w reakcji rynku.

Niewątpliwie są to propozycje, które mają sens dla małych spółek.

Mech stworzył test dla wszystkich zaproponowanych wyjaśnień, badając tygodniowe stopy zwrotu Center  for Research  in Security  Prices  (CRSP) oraz NASDAQ od 1972  do 1986. Aby stwierdzić czy zmienność oczekiwanych stóp zwrotu może wywoływać autokorelację, Mech zakłada, że oczekiwana stopa zwrotu musi być dodatnia (zgodnie z CAPM), a więc logicznie rzec biorąc nie można wtedy przewidzieć ujemnych stóp zwrotu, bo to oznacza, że istniałaby oczekiwana ujemna stopa zwrotu. I tak stwierdza, że autokorelacja jest zbyt silna, by mogła ją tłumaczyć zmienność oczekiwanych stóp zwrotu.

Tutaj jednak muszę się zatrzymać. Faktycznie, zgodnie z każdym znanym CAPM oczekiwana stopa zwrotu jest dodatnia, ale G. Mcqueen, M. Pinegar i S. Thorley (MPT) [2] wskazują na całkiem sensacyjne prace Boudoukha, Richardsona i Smitha  (1993), którzy argumentują, iż premia za ryzyko ex-ante może być ujemna, gdy krańcowa stopa substytucji i premia za ryzyko są dodatnio zależne. Co więcej, Harvey  and  Siddique  (1994) pokazują jak ujemna ex-ante premia za ryzyko może powstać z dodatniej warunkowej skośności w rozkładzie stóp zwrotu.

Wróćmy do badań Mecha. Autor wnioskuje, że autokorelacja jest także zbyt silna, by eliminacja braku tradingu w portfelu mogła ją tłumaczyć. W dodatku stare zlecenia z limitami nie mają istotnego znaczenia dla predykcji stóp zwrotu. Na koniec testuje hipotezę kosztów transakcyjnych. Najpierw popatrzmy jaka powstaje luka w absolutnej stopie zwrotu (wartości bezwzględnej stopy zwrotu) przez płacony spread bid-ask:

Taki spread może z pewnością zredukować motywację do dyskontowania informacji.
Mech buduje własny model testujący hipotezę kosztów transakcyjnych. Podstawową zmienną jest tu odchylenie standardowe tygodniowej stopy zwrotu podzielone przez spread bid-ask (STDSPR). Idea jest prosta. Im większy spread pomiędzy ceną kupna a sprzedaży, tym większe koszty transakcyjne. Z drugiej strony im mniejsze odchylenie standardowe stopy zwrotu, tym wolniejsze dyskontowanie informacji. W sumie więc, im mniejszy STDSPR tym większa powinna być autokorelacja, która tłumaczona byłaby spreadem zgodnie z modelem kosztów transakcyjnych. Mech sprawdza empirycznie ten model. Ponadto analizuje co ma większy wpływ na autokorelację: STDSPR czy wielkość spółki (SIZE). Buduje 4 grupy spółek. W pierwszej grupuje spółki o wysokim STDSPR, a następnie spośród nich wybiera te spółki, które mają podobną kapitalizację (różnica najwyżej 2,5%). W drugiej grupie wybiera spółki o niskim STDSPR i podobnej wielkości kapitalizacji. W trzeciej grupie wybiera większe spółki i spośród nich wybiera te o podobnym STDSPR (różnica max 2,5%). W 4-tej grupie znajdują się mniejsze spółki z podobnym STDSPR. Poniżej jest tabela przedstawiające wyniki tego modelu:

Firmy z większym STDSPR mają autokorelację I rzędu 0,264. Firmy z mniejszym STDSPR mają autokorelację znacznie wyższą, 0,444. Jest to więc wynik zgodny z założonym modelem, chociaż korelacja 0,264 też nie jest taka mała.

Zgodnie z modelem kosztów transakcyjnych, na autokorelację mają wpływ nie wielkość spółki, lecz STDSPR. Czy teza ta potwierdza się w rzeczywistości? Odpowiedź na to pytanie znajdujemy w tabeli, w 3 i 4 grupie spółek. Firmy większe, o podobnym STDSPR mają autokorelację 0,366, natomiast spółki małe o podobnym STDSPR 0,341. Czyli wielkość firmy okazuje się nie mieć znaczenia: to spread wywołuje większy efekt autokorelacji. Jest to wniosek znów zgodny z modelem kosztów transakcyjnych. I jest dość zaskakujący, choć logiczny.

Skoro jednak ciągle występuje autokorelacja 0,264 przy wysokim STDSPR, to trudno uznać taki model za satysfakcjonujący. Ponadto Mech tworzy dodatkowo model prognozujący zmiany stóp zwrotu na podstawie hipotezy kosztów transakcyjnych. Im mniejsze opóźnienie w reakcji, tym stopa zwrotu powinna być większa (bo w danym okresie obejmuje większy wpływ informacji na kurs). Ten model nie potrafił prognozować stóp zwrotu.

Jeszcze większe wątpliwości zachodzą, gdy analizujemy miesięczne stopy zwrotu. Mech badał jedynie tygodniowe stopy zwrotu, więc hipoteza kosztów transakcyjnych miała jeszcze rację bytu: cena małych spółek w danym tygodniu może mieć ciągle opóźnienie ze względu koszty spreadu. Trudno sobie jednak wyobrazić, żeby takie opóźnienie występowało z miesiąca na miesiąc. Ale autokorelacja miesięcznych stóp zwrotu małych spółek występuje, a zatem musi mieć ona inne podłoże niż spread.

Wspomniani wcześniej MPT rozszerzają badania Mecha na miesięczne stopy zwrotu. Ich badania obejmują dane z NYSE w okresie 1963 - 1994. Popatrzmy na poniższe statystyki dla tych stóp zwrotu:

Spółki zostały poukładane w grupy od 1 do 5 według wielkości. 1 - najmniejsze spółki, 5 - największe. Małe spółki charakteryzują się nie tylko największymi średnimi stopami zwrotu, ale także największą autokorelacją I rzędu (0,189), dla dużych spółek to praktycznie zero (0,043).

Ale jest tu coś jeszcze bardziej interesującego, co nie zostało wcześniej przedstawiane. Współczynnik autokorelacji I rzędu został podzielony na UP i DN, czyli na rosnące i spadające stopy zwrotu. Sporym zaskoczeniem może być fakt, że dla małych spółek autokorelacja UP jest ponad dwukrotnie większa (0,203) od autokorelacji DN (0,091).

Autorzy dopatrują się źródła tej asymetrii w związku z dostosowaniem kursu do informacji: pozytywne informacje są wolniej dyskontowane od negatywnych. Czy jednak ta hipoteza ma pokrycie w rzeczywistości? Autorzy budują model, który to weryfikuje. Dla dociekliwych: zgodnie z modelem CAPM akcje są skorelowane z portfelem rynkowym, którego głównymi składnikami są duże spółki. Zatem akcje małych spółek powinny reagować jakoś na zachowanie dużych spółek. Jeśli reagują one na zmiany dużych spółek jeszcze z poprzedniego okresu, to znaczy, że reagują w sposób opóźniony. MPT tworzą model oczekiwanej stopy zwrotu z betą UP i betą DN, czyli betą dla rosnącego i spadającego rynku. W sumie muszą być 4 rodzaje bety: beta(0) UP, czyli wrażliwość ceny akcji na wzrosty całego rynku w tym samym okresie, beta(0) DN, czyli wrażliwość ceny akcji na spadki całego rynku w tym samym okresie, beta(1) UP, czyli wrażliwość ceny akcji na wzrosty całego rynku z poprzedniego okresu, beta(1) DN, czyli wrażliwość ceny akcji na spadki całego rynku z poprzedniego okresu. Małe spółki (grupa 1) reagują na zmiany cen dużych spółek (grupa 5) następująco:

Beta(0) UP małych spółek jest prawie równa 1, czyli małe zachowują się niemal jak duże na rosnącym rynku. Beta(0) DN = 1,41, czyli na spadkowym rynku małe dużo silniej spadają niż duże. Beta(1) UP = 0,42, a więc małe istotnie reagują na wzrosty dużych spółek z poprzedniego okresu. Beta(1) DN = -0,08, a więc jest nieistotna statystycznie (statystyka t = 1,1). Zatem małe reagują na zmiany rynku jeszcze z okresu poprzedniego tylko w okresach wzrostu. Idąc dalej, małe spółki reagują na informacje makro z poprzedniego okresu tylko gdy informacje są dobre. Ponieważ jest to korelacja dodatnia, to znaczy, że małe spółki reagują z opóźnieniem tylko na dobre wiadomości, stopniowo dyskontują dobre dane - rynek jest podreaktywny. Natomiast dla złych informacji, akcje małych spółek reagują natychmiastowo.

MPT twierdzą, że taka asymetria dowodzi braku efektywności rynku. Jednakże jak się tak zastanowić, to taka asymetria nie jest wcale dziwna: łatwiej pozbyć się kapitału niż go zdobyć. Łatwiej sprzedać akcje niż zdobyć pieniądze na ich kupno. Ograniczenia kapitału muszą mieć znaczenie.

Poza tym trzeba pamiętać, że to badanie dotyczyło miesięcznych stóp zwrotu. MPT przeprowadzają także analizę dla tygodniowych stóp i tutaj wyniki są zupełnie inne. Beta(1) DN jest większa od bety(1) UP (0,253 vs. 0,176), a więc tygodniowo negatywna reakcja ciągle jest opóźniona i to nawet silniej niż pozytywna. Zatem wyniki Mecha nie tracą na ważności. 

W końcu MPT także przeprowadzają swój własny, podobny do Mecha, ale zmodyfikowany test hipotezy kosztów transakcyjnych. Miesięczne stopy zwrotu - według MPT - nie potwierdzają hipotezy kosztów transakcyjnych. Mają znaczenie za to wielkość spółki (im mniejsza, tym większa autokorelacja) i wolumen (im większy, tym większa autokorelacja).

Podsumowując, autokorelacja stóp zwrotu na małych spółkach ciągle jest wyzwaniem dla ekonomistów. Tygodniowa autokorelacja została częściowo wyjaśniona za pomocą ograniczeń technicznych i kosztów transakcyjnych, ale już miesięczna bardziej wskazuje na nieefektywność rynku, na podreaktywność inwestorów. A jednak chodzi tu szczególnie o wzrosty, dla których autokorelacja jest ponad 2 razy większa niż przy spadkach. Wydaje się, że po prostu ograniczenia kapitału powodują, że trudniej jest dyskontować dobre informacje niż złe. Dobre informacje rodzą dodatnie oczekiwania zysków, ale te zyski istnieją tylko w abstrakcji, a więc przyciąganie "żywego" kapitału za pomocą samych oczekiwań nie może być takie proste.

Można oczywiście też podać wyjaśnienie oparte na czystej psychologii, np. na tzw. efekcie dyspozycji, tj. skłonności do przedwczesnej realizacji zysków i do zwlekania z realizacją strat [3]. W takiej sytuacji informacje faktycznie będą wolniej dyskontowane i nastąpi większa autokorelacja, ponieważ inwestorzy będą chętni do sprzedaży przy mniejszej stopie zwrotu niż kreują ją informacje rynkowe. Natomiast strat będą unikać, bo tym razem nie mogą sprzedać po zadowalającej ich cenie. Ponieważ niewielka liczba inwestorów zdyskontowała złe dane, a duża liczba inwestorów nic nie robi, kurs po prostu ostro spada i tym samym nie powstaje opóźniona reakcja i autokorelacja jest słaba. 

Literatura:

[1] Mech, T. S., Portfolio return autocorrelation, Journal  of Financial Economics 34 (1993)  307-344. North-Holland, 1992;
[2] Mcqueen, G., Pinegar M, i Thorley, S., Delayed Reaction to Good News and the Cross-Autocorrelation of Portfolio Returns, THE  JOURNAL  OF FINANCE, VOL. LI, NO.  3 ,  JULY  1996;
[3] Shefrin H, Statman M, The Disposition to Sell Winners Too Early and Ride Losers Too Long: Theory and Evidence, Journal of Finance, July 1985