Wycena S&P 500 - gdzie jesteśmy?

W poprzednim artykule przedstawiłem model wyceny akcji nazwany Uogólnionym modelem Grahama-Dodda (UMGD). Tak jak stwierdzono, model jest trudny w użytkowaniu (ogólnie DCF jest trudny do sporządzenia), niemniej należy pokazać przykład jego użycia. Wydaje się, że najbardziej wiarygodną wycenę sporządzę dla indeksu amerykańskiego S&P 500, gdyż historyczne dane będą mogły posłużyć bez problemu do najtrudniejszej zdaje się części - wartości rezydualnej.

Ostatnio groza padła na rynki akcji, tak że indeks się nieco osunął:



I jak to zwykle bywa, pojawiają się głosy: czy to początek bessy? Wiele ostatnich danych makroekonomicznych nie napawa optymizmem. Porównajmy jak zmienia się ostatnio realny PKB w USA (w ujęciu annualizowanym):

1 kw. 2010 +3,7%
2 kw. 2010 +1,6%
3 kw. 2010 +2,5%
4 kw. 2010 +2,3%
1 kw. 2011 +0,4%

Jednocześnie gospodarkę USA straszy widmo niewypłacalności kraju. Dług USA wynosi obecnie ok. 14,3 bln dol. W raporcie CBO (Kongresowe Biuro Budżetu):

czytamy z kolei:

Niższe wpływy z podatków i wyższe wydatki budżetu federalnego na walkę ze spowolnieniem gospodarczym spowodują wzrost długu publicznego USA do 62 proc. na koniec roku.

Do 2020 roku dług ma wzrosnąć według CBO do 87 proc. PKB, jeśli przedłużone zostaną obniżki podatków wprowadzone za prezydentury George'a W. Busha.

Temat zadłużenia państwa jest jednak złożony, więc go zostawmy.

Zmiany PKB USA nie są tożsame ze zmianami zysku netto indeksu S&P 500, choć są trochę skorelowane. Ściślej, w latach 1929-2009 korelacja rocznych zmian zysku i PKB wyniosła 0,2349. Dla lat 1933-2009 spada ona jednak do 0,166 i staje się nieistotna statystycznie. Wobec tego można powiedzieć pół na pół. Dla ciekawostki sprawdziłem także korelację pomiędzy zmianami samego indeksu a PKB. Okazała się bardzo silna. Dla lat 1929-2009 wyniosła 0,477. Dla lat 1933-2009 nieco spadła i wynosi 0,39. Innymi słowy, jeśli przewidzimy na dany rok siłę zmiany PKB, to przewidzimy z dość dużą szansą zmianę SP500. Dodatkowo zbadałem co się dzieje pomiędzy zmianami zysku SP 500 a zmianami tego indeksu. Korelacja wyniosła (1929-2009) 0,258 i jest także istotna statystycznie, ale (1933-2009) 0,203 i leży na granicy istotności.

Na koniec przyjrzałem się jeszcze jednej - ale równie ważnej kwestii, mianowicie czy inwestorzy przewidują przyszłe zmiany zysku i PKB. I tu niespodzianka. Owszem inwestorzy przewidują zmianę zysku - jest ona skorelowana ze zmianą indeksu z okresu poprzedniego (korelacja gdzieś między 0,2 a 0,3). Ale inwestorzy już nie zwracają uwagi na przyszły PKB - zmiany PKB są nieskorelowane ze zmianą indeksu z okresu poprzedniego. Przyszły PKB z kolei jest zbyt mglisty dla inwestorów.

Nam zależy na poprawnym oszacowaniu zysku netto na akcję (EPS) dla SP500, tempa wzrostu tego zysku oraz rentowności kapitału własnego. Wiemy już, że jeśli wzrost PKB osłabnie, to wzrost zysku SP500 niekoniecznie osłabnie, choć trochę może. Dodatkowo należy ocenić jak zmiana zysku wpływa na kolejną zmianę w czasie (czyli autokorelacje). Najlepiej prognozować zmiany za pomocą jakiegoś modelu regresji. Niestety zwykła wieloraka regresja liniowa ani też GARCH nie do końca radzą sobie z modelem. Rocznych obserwacji od 1933 jest niewiele, co stanowi sporą przeszkodę i zapewne lepiej byłoby zgęścić dane do kwartalnych. Trudno się jednak na to zgodzić, bo my prognozujemy roczne zmiany. Regresja pojedyncza przynosi już istotne statystycznie wyniki. Pomiędzy kolejnymi zmianami zysku nie występuje żadna liniowa korelacja, lecz AR(1) daje istotne wyniki, jak również GARCH(1).

Poniżej przedstawiono kolejne poziomy zysku indeksu od 2000 r.:



Łatwo zauważyć, że zmiany zysku są łagodne - jest to zasługa silnych miesięcznych autokorelacji (prawie 0,7). Należy jednak pamiętać, że roczna autokorelacja liniowa zmian zysku jest tutaj co najwyżej złudzeniem (i to każdego rzędu). Niemniej na 3 wykonane testy losowości dla okresu 1933-2010 dwa wskazują, że nawet roczne tempo zmian zysku SP500 nie jest całkowicie losowe. Widocznie występują tutaj nieliniowe autokorelacje, które są wyłapywane przez te testy.

Następnie należy przeanalizować ROE (2000-2010):



ROE ex post - czyli nieprognozowane, lecz dane historycznie. Obliczone jako zysk netto z okresu t/(kapitał własny okresu t-1)

Średnia ROE na tym obszarze wynosi 12,44%. Okazuje się, że ROE ex ante liczony jako zysk netto z okresu t *(1+0,0636) / (kapitał własny okresu t) daje podobną średnią 12,68%. Liczba 0,0636 to średnia geometryczna stopa zmian zysku netto indeksu od 1933 r.

Goldman Sachs (GS) w raporcie The anatomy of ROE: Part 1: S&P 500 przedstawił prognozę ROE na rok 2011 na poziomie 17%. Oto wykres z tego raportu:



Średnia ROE = 15,2%. Przypomnieć należy jednak o konwencji jaką się stosuje dla definicji ROE. Wydaje się, że aby przekształcić ROE z raportu musimy przemnożyć 0,152 przez 1,0636 (średnie tempo wzrostu zysku = 6,36%). Kwestię tę już wyjaśniałem. W ten sposób otrzymujemy średnią ROE dla naszego modelu: ROE = 15,2%*1,0636 = 16,17%. Tę wartość zastosujemy do modelu rezydualnego. Parametry modelu rezydualnego omawialiśmy we wpisie: Prawdziwe znaczenie wskaźnika Cena/Zysk i Cena /Wartość księgowa. . Jedynie poprawka dotyczy ROE. Parametry do modelu rezydualnego są następujące:

r = 10,5%
ROE = 16,17%
w = 6,36%

Standard&Poors (S&P) prognozuje EPS SP500 w 2011 r. na poziomie 94,23 $. Ponieważ EPS 2010 = 77,35 , oznaczałoby to wzrost o prawie 22%. Ze względu na ostatnie gorsze dane ekonomiczne, obniżymy nieco ten wzrost do 18%. W ten sposób nasz prognozowany zysk 2011 równa się 91,3 $. Model (rezydualny) Grahama-Dodda (MGD) jest postaci:

P(0) = EPS(1)*(1 - w/ROE)/(r - w)

Podstawmy dane:

P(0) = 91,3*(1 - 0,0636/0,1617) / (0,105 - 0,0636) = 1337,9.

Na chwilę obecną indeks SP500 posiada wartość 1292.28. Zatem z tego prostego modelu wynikałoby, że mamy dziś do czynienia z niewielkim niedowartościowaniem indeksu. Ale przecież jeszcze parę dni temu indeks uzyskiwał wartości w okolicy wskazane przez model. Zwróciłbym uwagę na fakt, że prognoza zysku 91,3 to subiektywna wielkość. Minimalnie zmniejszę ją do 90, a już otrzymam P = 1319. Ponadto wartość historyczna parametrów modelu nie musi odpowiadać rynkowi. Jeśli rynek ocenia, że USA kroczy ku zagładzie, może zmniejszyć na stałe średnie tempo wzrostu zysku. Na przykład, jeśli tylko zmniejszymy w do 6%, wtedy P(0) = 1287,24, co automatycznie potwierdza efektywność rynku. Rynek poprawnie wyceniałby indeks na chwilę obecną. Niemniej na razie trudno o racjonalne przesłanki, by średnie parametry uległy faktycznie zmianie.

Model rezydualny nie uwzględnia wahań koniunkturalnych. Za pomocą UMGD uwzględnimy część okresu koniunkturalnego. Przyjrzymy się jeszcze raz na załączonym powyżej wykresach zmianom ROE. Te zmiany będą korelować ze zmianami zysku. ROE 2010 = 15%. GS prognozuje ROE = 17% w 2011. Nasz ROE ex ante byłby równy 18% = 17%*(1,0636). Będziemy jednak konsekwentni: skoro obniżyliśmy trochę estymowane tempo wzrostu zysku, to zrobimy to także dla ROE. Uznamy, że ROE
(1) 2011 17,5%
(2) 2012 ROE osiągnie maksimum = 18%.

Następnie stopniowo może spadać:

(3) 2013 17%,
(4) 2014 16,5%
(5) i od 2015 zastosujemy model rezydualny (a więc ROE stałe = 16,17%).

Tempo wzrostu zysku będzie szło w parze ze zmianami ROE. I tak uznamy, że w
(1) 2011 14%
(2) 2012 osiągnie maksimum = 17%
(3) 2013 12%
(4) 2014 8%
(5) i od 2015 zastosujemy model rezydualny (a więc w stałe = 6,36%).

UMGD ma postać:



W naszym przypadku n = 5. Podobnie jak w MGD, EPS(1) = X(1) = 91,3. X(t) = X(t-1)*(1+w(t)). Koszt kapitału własnego r jest stały i równa się 10,5%. Ponieważ wszystkie dane są znane, podstawiamy. Otrzymany wynik to:

P(0) = 1362,7.

Wycena ta niewiele różni się od wyceny uzyskanej za pomocą prostego modelu rezydualnego. Niemniej jest poprawniejsza i doskonale tłumaczy koniunkturę na giełdzie. Obecna wartość indeksu wydaje się trochę za niska. Jednak X(1) jest wartością subiektywną, która sporo zależy od bieżących danych. Ustalając X(1) = 90, dostaniemy P = 1342,4, zatem odchylenie od empirycznej wartości staje się nieistotne (jeszcze parę dni temu indeks osiągał takie wartości). Ostatnie negatywne informacje trochę zaniżają estymowany zysk, sprowadzając wycenę do optimum.

Niemal wszędzie spotykamy się z twierdzeniem, że giełda buja się od jednej skrajności do drugiej. W hossie trwa nadmierny optymizm i euforia, a w bessie niepotrzebna depresja i marazm. Często przywołuje się takie euforyczne okresy jak koniec lat 90-tych, nazywane powszechnie "bańką internetową", które zakończyły się - jak zwykle - katastrofą. Popatrzmy jednak na ROE w tym czasie. Osiągało największe wartości wszechczasów. Rynek słusznie wyceniał wysoko akcje, bo należało jakoś ekstrapolować takie bezprecedensowe zdarzenia. Czy za bardzo, tego nie podejmuję. Racjonalnie nie dałoby się dowieść nieefektywności rynku tamtego okresu. Czy ktoś jednak zwraca na to uwagę? Nie, wszyscy krzyczą, że była wtedy bania, która musiała pęknąć z hukiem. Nic nie było wiadomo. ROE spadło, ale równie dobrze mogło się długo utrzymać lub nawet jeszcze wzrosnąć. Legend i mitów nigdy za mało.

Uogólniony model Grahama-Dodda

Czas na zaprezentowanie "własnego" modelu wyceny akcji. Cudzysłów bierze się stąd, że model ten jest na tyle naturalny, że trudno uwierzyć, aby nikt wcześniej go nie opisał. To że nie spotkałem go w literaturze nie znaczy, że nie został wcześniej zaprezentowany. A jest w gruncie rzeczy bardzo prosty do wyprowadzenia. Model ten nazywam uogólnionym modelem Grahama-Dodda.

Cashflowowy model wyceny akcji jest już znany z wpisu Twierdzenie o nieistotności polityki dywidendy:

(1)

gdzie:
P(0) - wartość (wewnętrzna) akcji w okresie 0
X(t) - zysk netto spółki w okresie t
I(t) - inwestycje spółki w okresie t
r(t) - wymagana stopa zwrotu do akcjonariuszy w okresie t

Inwestycje I(t) można zapisać jako k(t)*X(t), gdzie jedna część k odpowiada za inwestycje realizowane dzięki zyskowi zatrzymanemu oraz druga część odpowiada za inwestycje realizowane dzięki emisji akcji. Podstawiając do (1) I(t) = k(t)*X(t), dostajemy wzór:

(2)

We wpisie Analiza tempa wzrostu zysku firmy wyprowadzono również ogólny wzór na tempo wzrostu zysku netto:

(3)


gdzie
ROE(t) = X(t)/BV(t-1)
s(t) = ROE(t)/ROE(t-1) - 1 , tj. tempo wzrostu ROE.

[W poście Analiza tempa wzrostu zysku firmy definicja była ROE(t) = X(t+1)/BV(t), ale to tylko techniczna różnica].

Z równania (3) wyprowadzamy wzór na k(t):

(4)


Podstawmy (4) do (2):

(5)


I już otrzymaliśmy uogólniony model Grahama-Dodda, jak widać prosta sprawa. Model jest w stanie uwzględnić każdy cykl życia spółki. W szczególności może być przydatny do wyceny akcji spółek młodych, które dopiero wchodzą w silny trend wzrostu bądź też spółek w trakcie restrukturyzacji (modne słowo po kryzysie). Niestety, choć brzmi to pięknie, praktyka rodzi dużo problemów o czym zaraz powiemy. Zauważmy, że jest możliwość przekształcenia (5) do modelu wykorzystującego wartość księgową akcji (BV)

(6)


Model (6) wskazuje, że im większa będzie suma ROE(t) + s(t), tym większa różnica pomiędzy wartością wewnętrzną a księgową. Otrzymujemy pełne wyjaśnienie dlaczego wartość akcji spółki o wysokim potencjale wzrostu często silnie wyprzedza wartość księgową, nawet jeśli obecna rentowność kapitału własnego ROE(t) będzie mniejsza od wymaganej stopy zwrotu r(t). Potencjał drzemiący w spółce i stopniowo uwalniany zostaje odzwierciedlony w rosnącym ROE. Czyli dodatkową premię od rynku (w stosunku do wartości księgowej) otrzymuje spółka, której rentowność kapitału własnego rośnie. Może być to wynik wykorzystania patentów, monopolistycznego charakteru spółki o przewagach konkurencyjnych, restrukturyzacji itp. Oczywiście (6) także działa w drugą stronę, a więc spółki o wysokim ROE, ale przy jego spadkowej tendencji, która może wynikać z pogarszającej się finansowej kondycji spółki, mogą otrzymać od rynku ujemną premię, tak że wartość akcji znajdzie się poniżej wartości księgowej. W takiej sytuacji warunkiem jest, aby s(t) było dostatecznie ujemne. Podsumowując, nie liczy się samo ROE w stosunku do r, ale to czego rynek oczekuje po ROE w przyszłości.

Bardziej praktyczny model to taki wykorzystujący wartość rezydualną. Wartość rezydualna opera się na założeniu, że po pewnym czasie rozwój spółki jest stabilny i zrównoważony, a więc parametry takie jak ROE, w oraz r są stałe w czasie. Wartość rezydualna (RV) to po prostu wyprowadzony w poście Prawdziwe znaczenie wskaźnika Cena/Zysk i Cena /Wartość księgowa. Badanie empiryczne model Grahama-Dodda:



Ponieważ RV pojawia się po n latach to musi zostać zdyskontowana n okresów oraz charakteryzuje się stałymi parametrami począwszy od n-tego okresu. Uogólniony model Grahama-Dodda wykorzystujący wartość rezydualną ma postać:

(7)



lub wykorzystujący wartość księgową w wartości rezydualnej:

(8)


Modele (7) i (8) mają jedną podstawową wadę. Zakładają, że tempo wzrostu zysku (w) jest mniejsze od wymaganej stopy zwrotu (r). Jeśli to założenie nie jest spełnione, wtedy model się całkowicie psuje (nie ma zbieżności do granicy) - wartość akcji P(0) osiąga nieskończoność. Rozwiązanie tego problemu opiera się często na wykorzystaniu użyteczności przepływów pieniężnych (malejącej użyteczności krańcowej), co z kolei powoduje niekorzystne wpadnięcie w subiektywną wycenę akcji. Innym rozwiązaniem są nieliniowe modele wyceny zakładające, że tempo wzrostu zysku zacznie spadać zgodnie z cyklem życia. Nie są to jednak rozwiązania eleganckie teoretycznie i najczęściej oparte na subiektywnej analizie.

Jest jeszcze gorzej. Wystarczy bowiem, że w będzie mniejsze, ale bliskie r, co spowoduje gwałtowny wzrost P(0). Każdy minimalny wzrost w spowoduje duży skok wartości akcji. Co z tego, że wartość akcji będzie skończona, skoro będzie silnie zależała od minimalnych różnic pomiędzy w a r. A im będą sobie bliższe, tym wartość będzie silniej odrywać się od rzeczywistego świata.

Precyzyjna wycena akcji spółek o wysokim potencjale wzrostu jest rzeczą bardzo trudną i powiem szczerze, że należy mieć duży dystans do nawet najbardziej drobiazgowo sporządzonej wyceny.

Niemniej uogólniony model Grahama-Dodda pozwala (jeśli nie wyznaczyć ściśle wartości wewnętrznej) przynajmniej zrozumieć w jaki sposób należy używać wskaźników fundamentalnych, takich jak Cena / zysk oraz Cena / wartość księgowa. Większość inwestorów nie rozumie, że używa tych wskaźników w sposób błędny. Załóżmy, że stopa zwrotu posiada rozkład normalny N(0,1). Zgodnie z nim będzie ona dążyć do 0, a odchylenie wyniesie średnio 1%. Czy to znaczy, że "wartość wewnętrzna stopy zwrotu" wynosi 0? Inwestorzy podchodzą właśnie w taki sposób do wskaźników fundamentalnych: przeciętne wartości dla rynku bądź nawet historycznie dla danej spółki uważają za poziom optymalny.

W książce Damodarana, Investment Valuation, znajdziemy następującą relację pomiędzy ROE a C/WK (PBV):



Oczywiście to tylko pewna statystka, która sama w sobie nie jest wystarczająca. Nie uwzględnia także tempa wzrostu ROE, s. Dodatkową pomocą może być jednak statystyczna relacja pomiędzy tempem wzrostu zysku netto a C/Z (PE) z innej książki Damodarana, Security Analysis on Investment: