czwartek, 22 kwietnia 2010

Wykładnik Hursta na GPW dla dziennych stóp zwrotu w kontekście ostatniej hossy

Wielu graczy giełdowych zastanawia się i zgaduje co będzie jutro. Wydaje się, że trend to trend i autokorelacje występują. Za pomocą programu Long Memory Analysis zbadałem ostatni rok, dokładniej dane od 23.03.2009 do 22.04.2010, w ujęciu dziennym dla WIG-u i WIG20 oraz niektórych spółek. Okazuje się, że z punktu widzenia teorii chaosu uśrednione dzienne zmiany były w tym okresie czysto losowe. Natomiast znalazłem dwie spółki charakteryzujące się persystentnym kursem (pamiętajmy, że chodzi jedynie o dzienne dane).

1. WIG:

H = 0,55 i E(H) = 0,58. Ponieważ H - E(H) = -0,03, zaś (1/N)^(0,5) = 0,06 > 0,03, więc persystencja jest nieistotna statystycznie.

Wykres WIG:



2. WIG20:

H = 0,5. Idealne błądzenie przypadkowe.

Wykres WIG20:



Zbadajmy wybrane spółki.

3. KGHM:

H = 0,589, E(H) = 0,584. Widać, że różnica zerowa. Zatem brak persystencji.

4. LOTOS:

H = 0,633, E(H) = 0,5835. H - E(H) = 0,0496 < 0,06, zatem persystencja nie występuje.

Pomimo iż wydaje się, że H dla Lotosu jest wysokie, a różnica H - E(H) bliska 0,06, to należy pamiętać, że tego typu zbieżności często występują dla standardowego ruchu Browna, dlatego w tej kwestii trzeba być bezwzględnym.

5. ING BSK:

H = 0.579, E(H) = 0.5835, H - E(H) = -0.0048. 0.0048 < 0.06. Brak persystencji.

6. ELBUDOWA:

H = 0.538, E(H) = 0.5835, H - E(H) = -0.045. Brak persystencji.

Dalej będę pisał skrótowo.

7. INSTAL KRAKÓW:

0.595, 0.5835, 0.0116. Brak persystencji.

8. IMPEXMETAL:

0.5537, 0.5835, -0.03. Brak persystencji.

9. MAGELLAN

0.587, 0.583, 0.004. Brak persystencji.

10. MONNARI

0.61886, 0.5835, 0.035. Brak persystencji.

11. M.W. TRADE

0.516, 0.583,-0.067. Brak persystencji.

12. NETIA

0.502, 0.5835, -0.08. Brak persystencji.

13. PAGED

0.64589, 0.5835, 0.0624 > 0.06. Kurs jest persystentny.

Wykres PAGED:



14. Polska Grupa Farmaceutyczna (PGF)

0.642, 0.5835, 0.0588 < 0.06. Pomimo braku istotności, warto byłoby bliżej przyjrzeć się tej spółce, ponieważ różnica 0.06 - 0.0588 = 0.0012 jest tak mała, że można mieć podejrzenie o persystencję. Rozszerzyłem zakres danych o miesiąc (od 23.02). Dostałem:

0.649, 0.577686, 0.0714. W tym przypadku (1/N)^(0,5) = 0.059.
0.0714 > 0.059, zatem dostajemy, że PGF posiada persystentny kurs.

Wykres PGF:


Dla porównania zrobiłem to samo dla PAGED:

0.62, 0.578, 0.042. 0.042 < 0.059, zatem niestety kurs przestaje być persystentny.

15. Ponadto zbadałem STALPROFIL, TPSA, TRAKCJĘ I TVN. Żadna z nich nie posiada długiej pamięci w danych dziennych (z punktu widzenia analizy R/S) w danym okresie. Warto tu zwrócić uwagę na TRAKCJĘ. Spółka ta w ciągu roku otrzymała H = 0,49, a więc jest idealnym błądzeniem przypadkowym. W tym okresie wzrosła jedynie o 14,4%:



Spółka jest oceniana bardzo pozytywnie, jakoś często wspominana na różnych forach - być może ze względu na nazwę kojarzącą się z atrakcją. A jednak co niektórzy zauważają, jak silnie jest związana z PKP i już samo to źle wpływa na oczekiwania. Pokazuje to, że powierzchowna analiza fundamentalna jest do niczego. Tak czy inaczej historycznie spółka jest bardzo ryzykowna.

Podsumowanie.

Analiza R/S pokazuje, że dane dzienne w ostatnim roku są najczęściej czysto przypadkowe, z szansą 50:50 i wartością oczekiwaną bliską zera. Dodajmy 3% rocznej inflacji i koszty transakcyjne i domyślam się, że wartość oczekiwana spadnie co najmniej do zera.
Możliwe, że koszty te powodują także, że nie da się wykorzystać wykrytej persystencji w niektórych spółkach. Mimo wszystko należy stwierdzić, że w porównaniu z WIG i WIG20 jest co najmniej kilka spółek, które posiadały długą pamięć w dziennych zmianach kursów w ostatnim roku; są to np. PAGED i PGF. Pomimo tego okazuje się, że i ta persystencja jest chwiejna, tak że przy różnych długościach okresów spółki zyskiwały i traciły pamięć. Możliwe, że wiele badanych tutaj spółek również wykazuje się dzienną persystencją przy innych długościach czasu, ale sprawdzenie tego wymaga dalszych badań.

niedziela, 18 kwietnia 2010

O nieliniowej uporczywości kursów

Zanim przejdę do rozkładów Levy'ego i ich połączenia z ułamkowym ruchem Browna, dokończę sprawę ułamkowego ruchu Browna, która jest na tyle zawikłana i interesująca, że należy chwilę poświęcić jej czas.

Mówiliśmy wielokrotnie, że jeśli wykładnik Hursta > 0,5, szereg czasowy charakteryzuje się persystencją, czyli uporczywością podążania w danym kierunku obserwacji. Intuicyjnie każdy rozumiałby to w taki sposób, że występuje trend. Trend wydaje się stanowić miarę pamięci procesu. Problem polega na tym, że pamięć tego procesu jest w dłuższych okresach coraz słabsza. Oznacza to, że wpływ wydarzenia w dalekiej przeszłości zanika. Po długim czasie proces będzie nierozróżnialny od błądzenia przypadkowego, tak że H będzie dążył do 0,5. W tej sytuacji oczywiste również, że wartość oczekiwana będzie dążyć do zera.

Tak więc statystyka Hursta wiąże się z teorią chaosu dwojako: poprzez początkowe obciążenie (efekt motyla) oraz zanik pamięci długoterminowej (niemożliwość przewidywania w długim okresie). Objawia się tu nieliniowa autokorelacja pomiędzy danymi. Z tego powodu nie może być tu stosowana miara korelacji liniowej.

Co się właściwie tutaj dzieje? Logiczne, że efekty motyla występują w każdym momencie. Jeśli H > 0,5 i początkowo są wzrosty, tak że utrzymuje się trend zwyżkujący, lecz raz przypadkowo następuje spadek, to ten spadek będzie oddziaływał w każdym kolejnym okresie. Jeśli nawarstwi się trochę spadków, to dojdzie do "katastrofy" - efekt motyla zacznie przeważać w drugą stronę, czyli w stronę spadków, ponieważ bliższa przeszłość ma większe znaczenie niż dalsza. Następuje zmiana trendu na zniżkujący.

Przyjrzymy się poniższym rysunkom:

H = 0,2:



H = 0,5:



H = 0,8:



Dla H = 0,2 szereg szybciej zmienia kierunek niż dla standardowego ruchu Browna, dla H = 0,5 zachowuje się zgodnie ze standardowym ruchem Browna, dla H = 0,8 wolniej zmienia kierunek.
Ale widać, że we wszystkich przypadkach następuje mniej więcej w tym samym czasie zmiana kierunku "trendu", co przeczy intuicji że dla H > 0,5 trend powinien być najdłuższy.

Przykład ten także pokazuje, że H jest nie tyle prawdopodobieństwem warunkowym znaku kolejnej zmiany obserwacji, co miarą zmienności.

Doświadczamy więc jak subtelna różnica jest pomiędzy zwykłym błądzeniem przypadkowym a jego obciążonym odpowiednikiem. W tym drugim przypadku w długim okresie czasu pamięć o początkowym trendzie spada niemal do zera, tak że nie będziemy w stanie przewidzieć, w którą stronę zmienna podąży.

Wcześniej napisałem, że wartość oczekiwana przyrostów ułamkowego procesu ruchu Browna równa się zero, gdyż nie wiemy, po której stronie skrzydła motyla wywołają huragan. Obecnie dodaję, że motyl lata bez przerwy. Kiedyś może odwrócić się trend, tak że wartość oczekiwana przyrostów równać się będzie zero.

Z powyższego widać, jak dobrze ułamkowy ruch Browna odpowiada światowi rynków kapitałowych. Bo z jednej strony kursy rzeczywiście wydają się być przylepione do danego kierunku, z drugiej strony nie dają się raczej przewidywać w długim okresie czasu.

Płyną z tego wnioski. Po pierwsze lepiej kupować akcje, które rosną, gdyż istnieje większa szansa, że będą dalej rosnąć. Jednocześnie lepiej sprzedawać akcje, które spadają, gdyż istnieje większa szansa, że będą dalej spadać. Po drugie warto wspomagać się długoterminową średnią kroczącą, która może wskazać moment, po którym nastąpiła "katastrofa" i zmiana trendu. Po trzecie warto kupować akcje spółek o niskiej osiągalności, tj. niskim ryzyku osiągalności. Pisałem o tym ryzyku tutaj:
http://gieldowyracjonalista.blogspot.com/2009/07/ryzyko-osiagalnosci_13.html
Niska osiągalność jest zbawienna psychologicznie, gdyż odciąża nas od pokusy sprzedaży akcji, gdy te szybko spadają lub szybko rosną. Ryzyko to wydaje się być lepszą miarą niż odchylenie standardowe, które może być teoretycznie nieskończone. Będzie tak w sytuacji, gdy trajektoria kursu nie będzie ułamkowym ruchem Browna, ale ułamkowym ruchem Levy'ego.
Innym sposobem na zmniejszenie ryzyka jest zwykła dywersyfikacja. Dzięki niej osiągalność portfela spadnie. Prawdopodobnie taki portfel będzie miał większy wykładnik Hursta, gdyż trajektoria kursu portfela ulegnie wygładzeniu.
Po czwarte trzeba jednak sprawdzić czy to co widzimy to nie przypadek, czyli że H > 0,5. Metoda liczenia H jest jednak trudna, więc najlepiej posłużyć się odpowiednim programem. Na marginesie należy wspomnieć, że jeśli będziemy mieć taki program i wrzucimy do niego surowe dane i dostaniemy wynik H = 0,75, to znowu trzeba być ostrożnym w formułowaniu wniosku, że nasz kurs jest persystentny. Przede wszystkim należy pamiętać o wpływie inflacji, dlatego w długim szeregu czasowym należy dane odfiltrować od inflacji. Drugą kwestią jest pytanie czy program taki pomaga użytkownikowi w określeniu istotności empirycznego H. Jest on istotny, gdy jest większy od teoretycznego H przynajmniej o (1/N)^(1/2), gdzie N to liczba obserwacji. Teoretyczny H jest dany dość skomplikowanym wzorem, dlatego najlepiej jeśli taki program ma wbudowany algorytm obliczający go.

Źródło:

1. E.E. Peters, Teoria chaosu a rynki kapitałowe, W-wa 1997
2. J. Strecker, Fractional Brownian Motion Simulation: Observing Fractal Statistics in the Wild and Raising Them in Captivity, 2004.