niedziela, 25 lutego 2018

Równanie wymiany Fishera, czyli pieniężne spojrzenie na gospodarkę

Równanie wymiany Fishera określa związek pomiędzy PKB a ilością pieniądza w gospodarce. Jego poznanie pozwala szerzej spojrzeć na gospodarkę - nie tylko przez pryzmat sfery realnej (PKB), ale także pieniężnej. W Internecie raczej ciężko znaleźć wyprowadzenie tego równania, więc wypełnię tę lukę. W rzeczywistości jest to tautologia, ale interpretacja oraz konsekwencje tego równania nie są już oczywiste.

Na poziomie makro przychody, wydatki i dochody to właściwie to samo. Wydatek jest czyimś przychodem. A skoro wydatek staje się przychodem, to sumarycznie koszty nie występują. A skoro tak, to znaczy, że przychody muszą być równe dochodom. Jednocześnie przychody oznaczają jakieś produkty lub usługi, a więc możemy zapisać tożsamość:

Produkty i Usługi = Przychody = Wydatki = Dochody.

Przychody, czyli sprzedaż - oznaczmy s, stanowi iloczyn ceny (p) i liczby sprzedanych produktów (q):
(1)

Dla wszystkich dóbr będzie to zapis sumy:

(2)

gdzie T - liczba wszystkich transakcji kupna/sprzedaży.

Lewą stronę podzielimy i pomnożymy przez podaż pieniądza, którą oznaczamy M, natomiast prawą stronę podzielimy i pomnożymy przez całkowitą ilość (wolumen) produkcji, Q.

(3)


Zapiszmy to w postaci:

(4)

gdzie:

(5)



Wielkość V nazywana jest szybkością obiegu pieniądza. Później wyjaśnię dlaczego to się tak nazywa. Natomiast P jest to po prostu średnia ważona cena w gospodarce.

Równanie (4) to równanie wymiany. Niby banał. Jednakże podstawową ideą nie jest samo jego wyprowadzenie, ale zrozumienie wielkości V w tym równaniu. Z definicji jest to iloraz sprzedaży i podaży pieniądza. Ale co to znaczy? Tutaj musimy sięgnąć do poprzedniego spostrzeżenia, że przychody, czyli sprzedaż równa się wydatkom. Bo teraz możemy spojrzeć tak: posiadamy pewną kwotę pieniędzy (którą reprezentuje podaż pieniądza), którą następnie wydajemy na kupno pewnego dobra. W takim razie podaż pieniądza = wydatki, a wtedy V = 1. Ale jeśli V = 1, to M = P*Q. Czy rzeczywiście jest tak zawsze? Nie. Dochód nie musi opierać się tylko na pieniądzu, dobro może być kupione za inne dobro. Podobnie podaż pieniądza czy ilość pieniądza nie musi automatycznie przekładać się na dochody. Załóżmy, że gospodarka zwiększa ilość pieniędzy, np. Kowalski przyjeżdża do kraju z oszczędnościami z zagranicy. Zwiększa się więc ilość pieniędzy w gospodarce, ale jeszcze nie powstaje dochód. Za pieniądze Kowalski kupuje od Iksińskiego jakieś dobro. Powstaje wydatek u Kowalskiego i przychód u Iksińskiego. Ale powiedziałem wyżej, że wszystkie wydatki w gospodarce tworzą dochód oraz że wszystkie przychody tworzą dochód. A więc w tym momencie powstaje dochód krajowy i ilość pieniędzy faktycznie równa się temu dochodowi. Oznacza to, że pieniądz staje się dochodem dopiero wtedy, gdy nastąpi transakcja. Musi nastąpić wymiana: pieniądz za produkt. Czy w takim razie warunkiem do tego, aby V = 1, jest sytuacja, że każda jednostka pieniężna zostanie wymieniona w transakcji? Odpowiedź jest negatywna.

Przyjrzyjmy się takiemu przykładowi. Kontynuujemy wymianę handlową między Kowalskim a Iksińskim. Po tym jak Kowalski kupił dobro od Iksińskiego, teraz Iksiński chce kupić inne dobro od Kowalskiego - za te same pieniądze, które wcześniej otrzymał ze sprzedaży. Znów więc powstaje wydatek - tym razem dla Iksińskiego oraz przychód dla Kowalskiego. A skoro powstał znowu wydatek i przychód, to musiał powstać znowu dochód! Dochód dosłownie się podwoił. Obie osoby w ogóle nie zwiększyły bogactwa w postaci większej ilości pieniędzy (mają ich tyle ile na początku), ale dochód narodowy się zwiększył. Ta druga transakcja podwoiła dochód z tych samych pieniędzy. Czy nie jest to kuriozalne? Jak to racjonalnie wyjaśnić? Kowalski kupił produkt lub usługę od Iksińskiego, a następnie Iksiński kupił produkt lub usługę od Kowalskiego i w ten sposób wytworzono więcej dóbr. Jeżeli Kowalski kupił np. usługę naprawy traktora, to "naprawa" powstaje dopiero dzięki transakcji jako akt działalności/twórczości ludzkiej. Naprawa niejako zasysa potrzebę gospodarki czy po prostu zaspokaja jej zapotrzebowanie. Następnie, jeśli Iksiński kupuje od Kowalskiego produkt rolniczy, np. kukurydzę, którą ten drugi hoduje, to kukurydza już jako wcześniejszy efekt sadzenia, tj. jako akt pracy ludzkiej, również staje się produktem, który zaspokaja potrzeby gospodarki. Powstały dwa produkty o tej samej wartości rynkowej, dlatego dochód stanowi suma tych wartości rynkowych. Dlatego dochód się podwoił mimo iż pieniędzy jest tyle samo.

---------------------------------------
ROZWINIĘCIE TEMATU:
Teraz ciekawska osoba spytałaby co by się stało, gdyby Kowalski najpierw kupił od Iksińskiego jakiś produkt, a następnie Kowalski chciałby sprzedać Wiśniewskiemu ten sam produkt po wyższej cenie? Przecież zgodnie z powyższym schematem, znowu powstają dwie transakcje, pieniądz również dwukrotnie przechodzi z rąk do rąk, ale przecież nie wytworzono nowego produktu. Gdyby dochód miał się podwoić w wyniku sprzedania tego samego dobra dwukrotnie, to nie miałoby to najmniejszego sensu i mielibyśmy do czynienia ze zwykłym oszustwem księgowym. Ekonomiści rozwiązali ten problem w ten sposób, że odejmują od przychodów przedsiębiorstwa te wydatki, które musi ono ponieść na użycie dóbr pośrednich (tj. tych dóbr, które są przetwarzane na dobra finalne). W ten sposób oblicza się tzw. wartość dodaną. PKB tworzony jest właśnie przez wartość dodaną (powiększoną o podatki od produktów i pomniejszoną o dotacje od produktów - zob. GUS, metodologia obliczeń, np. w Rocznikach Statystycznych). Pokażmy to na przykładzie w etapach:

1. Kowalski kupuje dobro po x zł od Iksińskiego: na tym etapie wartość dodana = x. Wyjaśnienie: powstaje przychód, który stanowi jednocześnie koszt równy x. Nie ma tu jeszcze dobra pośredniego.

2. Wiśniewski kupuje od Kowalskiego to samo dobro po (x+r) zł: wartość dodana na tym etapie wynosi: x + (x+r) - x = x + r. Wyjaśnienie: pierwszy element wartości dodanej x zł powstał w pierwotnej transakcji z pktu 1. W drugiej transakcji powstaje przychód dla Kowalskiego, który stanowi jednocześnie koszt Wiśniewskiego, x+r. Ale skoro Kowalski sprzedaje dobro, to jest to dobro finalne. Ale skoro powstało dobro finalne, to trzeba uwzględnić dobro pośrednie - Kowalski poniósł koszt dobra pośredniego w wys. x zł (nieważne, że to jest to samo dobro). To znaczy, że powstaje koszt pośredni x zł, który musimy dodatkowo odjąć. I dlatego sumarycznie wartość dodana wynosi x+r. Jest to sumaryczna wartość produktów finalnych w gospodarce i kreuje PKB po pewnych korektach.
---------------------------------------

Dochód powstaje poprzez stworzenie produktu, a produkt powstaje dzięki kapitałowi ludzkiemu, tj. zdolności do wykonania pracy. W fizyce energię definiuje się właśnie w ten sposób. Oznacza to, że kapitał to energia. Kapitał w danej jednostce czasu staje się dochodem (PKB). A ponieważ dochód równa się ilości pieniędzy (M) pomnożonej przez V, a w fizyce zgodnie ze wzorem Einsteina energia równa się masie pomnożonej przez prędkość światła w próżni, to znaczy, że podaż pieniądza razy V możemy utożsamić z masą pomnożoną przez prędkość światła. W sumie dostajemy taką analogię:

E = mc^2
PKB = MV

Stąd domyślamy się, że M to masa, a V staje się analogią do c^2. Rzeczywiście V została nazwana szybkością obiegu pieniądza. Interpretuje się ją jako liczbę transakcji, w których wzięła udział jedna jednostka pieniężna w danym okresie. Czyli ile razy pieniądz został wymieniony w jednostce czasu.

Powyższa analogia to mój pomysł, nie ma to związku z prawdziwą historią ekonomii. Fisher pokazał swoje równanie znacznie wcześniej niż Einstein, więc to nie tak, że nazwał V szybkością, aby zachować tu specjalnie analogię. Ale to podobieństwo formuł pozwala lepiej przyswoić równanie wymiany.

Wracając do ekonomii, właściwie dlaczego tak naprawdę V interpretuje się jako szybkość obiegu pieniądza? Z matematycznej definicji V (wzór 5) to nie wynika. Podałem wcześniej prostą ilustrację, w jaki sposób dochód przekracza podaż pieniądza, gdy tylko wzrasta liczba transakcji, którym towarzyszy rosnąca ilość produktów lub usług. Mieliśmy 2 transakcje. Po pierwszej V = p*q / M. Po drugiej V = (p*q + p*q)/M. Ale w naszym przykładzie q = 1, tj. jeden produkt. Czyli V = (p + p) / M = 2p/M. Ale przecież M w naszym przykładzie równa się p. Czyli V = 2p / p = 2.

Powiedzmy teraz, że q > 1. Czy to coś zmienia? Przecież początkowo Kowalski wydał p*q pieniędzy, a to znaczy, że M = p*q. Powiedzmy, że Kowalski kupił od Iksińskiego q1 dóbr po p1. Następnie Iksiński kupił od Kowalskiego q2 dóbr po p2. Ale założyliśmy przecież wcześniej, że Iksiński wydaje te same pieniądze, co zarobił. Oznacza to, że p1q1 = p2q2. Czyli możemy znów obliczyć:


I to jest właśnie szybkość obiegu pieniądza: 2 transakcje w danym okresie czasu.

Przytoczony przykład jest trochę mylący, bo T = V = 2. Sugeruje on, że liczba transakcji T (albo dóbr, Q) jest zawsze równa V. Kolejny przykład pozwoli już nam zauważyć, że tak być nie musi. Pozwoli też w pełni zrozumieć czym jest szybkość obiegu pieniądza. Pochodzi on z angielskiej Wikipedii  (Velocity of money):

Przykładowo, w bardzo małej gospodarce, farmer i mechanik, mając zaledwie 50 USD, kupują od siebie nowe towary i usługi w zaledwie trzech transakcjach w ciągu roku:

     Farmer wydaje 50 dolarów na naprawę ciągnika od mechanika.
     Mechanik kupuje od rolnika
kukurydzę za 40 dolarów.
     Mechanik
kupuje od rolnika sałatę za 10 dolarów.
 

Najpierw policzmy z definicji V:
M = 50 $. Mamy 3 dobra, czyli T = Q = 3. Pierwsze dobro zostało kupione po 50 $, drugie po 40 $ i trzecie po 10 $. Czyli ze wzoru (5) mamy V = (1*50$ + 1*40$ + 1*10$) / 50$ = 2.

A zatem w tym przypadku T = 3, a V = 2. I teraz pewne spostrzeżenie, które pozwoli nam łatwo zrozumieć definicję "szybkości obiegu pieniądza". Zamiast początkowych 50 USD, moglibyśmy użyć 2 USD, bo wtedy nie zmieni się V. A wtedy możemy krok po kroku przestudiować co się dzieje z każdą jednostką dolara. Popatrzmy na ten schemat:




Od razu widać, że 1 dolar musi przejść dokładnie 2 razy z rąk do rąk mimo iż występują 3 transakcje. Jeden dolar przechodzi najpierw do mechanika (1 transakcja), a potem wraca do farmera (2-ga transakcja). W 3-ciej transakcji, gdy dolar wraca od mechanika do farmera, bierze udział już inna jednostka dolara.
Im większa będzie całkowita kwota, tym więcej będzie transakcji (mechanik kupi więcej dóbr), natomiast szybkość obiegu pieniądza pozostanie stała - jeden dolar będzie brał udział ciągle w dwóch transakcjach, bo przecież nie może się rozdzielić na ułamki. 

Zatem szybkość obiegu pieniądza V mówi w ilu transakcjach jedna jednostka pieniężna została użyta w danym okresie. Czyli ile razy pieniądz został wymieniony w jednostce czasu.

Wydaje się to wszystko jasne. Ale w sumie taka prosta analiza doprowadziłaby do konkluzji, że V zawsze równa się 2. Bo popatrzmy: dla naszego przykładu V zdefiniowalibyśmy następująco:

V = (p1*q1 + p2*q2 + p3*q3) / M

Jednocześnie wiadomo, że M = p1*q1, bo wydane na początku pieniądze, które się pojawiają w gospodarce nie zmieniają się. Czyli:

V = (p1*q1 + p2*q2 + p3*q3) / (p1*q1).

Dalej, wiadomo, że nie powstają tutaj w ogóle oszczędności, tj, wszystko co zarobione na sprzedaży jest wydawane. Czyli p1*q1 = p2*q2 + p3*q3. Stąd:

V = (p1*q1 + p1*q1) / (p1*q1) = 2p1*q1 / (p1*q1) = 2.

Szybko zauważymy, że nie ma znaczenia ile mechanik by kupił dóbr od rolnika, zawsze wyjdzie tutaj V = 2.

Faktycznie, ale tylko dlatego, że w gospodarce są tylko dwie osoby i na dodatek nie handlują już niczym innym. Wystarczy, że farmer znów kupi jakąś usługę u mechanika za te same pieniądze, wówczas T = 4, a V = 3. Tak samo jak wcześniej p2*q2 + p3*q3 = p1*q1. Ale już p4*q4 to kwota, która powróciła do farmera, czyli jest równa p1*q1. Ponieważ M nie zmienia się, to wynosi ciągle p1*q1. Czyli dostajemy:

V = (p1*q1 + [p2*q2 + p3*q3] + p4*q4) / M = (p1*q1 + p1*q1 + p1*q1) / p1*q1 = 3.

Wtedy pieniądz rzeczywiście zaczyna szybciej krążyć. Równie dobrze może się pojawić na rynku szewc. Jeśli farmer właśnie "zarobił" (tak naprawdę nie zarobił, tylko dostał z powrotem) 2 dolary, to może od szewca kupić buty (czy może raczej sznurówki). Automatycznie powstałaby czwarta transakcja oraz V = 3. Gdyby następnie szewc kupił od farmera sałatę, to T = 5 i V = 4. Ale ponieważ ilość pieniędzy się nie zmieniła, a każda transakcja wymiany oznacza powstanie dochodu, to znaczy, że dochód zwiększył się 4-krotnie w stosunku do podaży pieniądza.
Teraz czujemy na czym to polega. Podaż pieniądza stanowi punkt zaczepienia dla PKB na początku okresu.

To teraz wróćmy do skali makro. Przecież powiedzieliśmy, że przychody = dochody = PKB. Oznacza to, że (4) możemy w formie:

(6)
Nominalny PKB jest równy podaży pieniądza przemnożonej przez szybkość obiegu pieniądza. Popatrzmy na poniższy wykres PKB nominalnego i całkowitej podaży pieniądza w okresie 1 kw 2002-3 kw 2017:

Źródło: GUS.

 Wówczas całkowita szybkość obiegu pieniądza, V = PKB / M kształtuje się następująco:

 

Źródło: GUS.

Czyli V jest ułamkiem i w dodatku spada. Dlaczego? Są tu dwa aspekty. Po pierwsze  są dwa rodzaje podaży pieniądza: pieniądz gotówkowy w obiegu oraz pieniądz depozytowy. W gospodarce oczekiwalibyśmy, żeby V > 1, bo każda jednostka pieniężna powinna obsłużyć wiele transakcji wymiany. Jednak w systemie depozytowym mamy do czynienia z dwoma efektami. Jeden - będą tworzone duże rezerwy oszczędności. Drugi - pieniądz może być jak gdyby kreowany przez bank. Osoba A lokuje pieniądze w banku, a bank, wierząc, że ta osoba nie wycofa szybko pieniędzy, może pożyczyć osobie B te same pieniądze. Osoba B kupuje za kredyt jakieś dobro od osoby C, a osoba C znów lokuje zarobione pieniądze w banku. W ten sposób bank niejako wykreował pieniądze dla osoby C i ten mechanizm nazywa się kreacją pieniądza.

Jeśli weźmiemy tylko gotówkę w obiegu, to PKB > M i V > 1:

Źródło: GUS.

Wtedy V = PKB nom / (M gotówkowy) ma przebieg:

 Źródło: GUS.

Mimo iż V > 1, to może zdziwić, że V spada niezależnie od tego, którą wielkość przeanalizujemy. Jeśli chodzi o szybkość obiegu pieniądza gotówkowego, to z pewnością znaczenie ma tu wypieranie zwykłego pieniądza przez pieniądz elektroniczny. Ale ogólnie chodzi tu jeszcze o coś innego, bo tendencja spadkowa V dotyczy całego świata -od dziesięcioleci. Popatrzmy:

Źródło: Bank Światowy

Odpowiedź leży w drugim aspekcie, który zasygnalizowałem. PKB jest przecież miarą dochodu uzyskanego w danym okresie, czyli w ciągu roku. Natomiast podaż pieniądza dotyczy całej masy pieniądza w gospodarce. Innymi słowy, podaż pieniądza należałoby prędzej porównywać z aktywami albo kapitałami własnymi.


Literatura:
Fisher, I., The Role of Capital in Economic Theory, Dec., 1897.

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz