Istota i znaczenie logarytmicznej stopy zwrotu

Logarytmiczna stopa zwrotu jest niewątpliwie użytecznym narzędziem w ekonomii. Jednak jej użyteczność polega na pośrednictwie podczas wyznaczania faktycznej stopy zwrotu. Nie jest to przecież intuicyjna miara, tak jak prosta stopa zwrotu, którą posługujemy się aby ocenić zmiany procentowe w czasie lub przestrzeni, np. pomiędzy różnymi akcjami. Z powodu tej nieintuicyjności nie jest wcale oczywiste, dlaczego definiujemy logarytmiczną stopę zwrotu jako:

(1)

gdzie r to zwykła stopa zwrotu (arytmetyczna lub geometryczna).


Aby ściśle zrozumieć ten wzór, spójrzmy na roczny WIG od początku 1995 do końca 2013 r.:

Rys. 1.

Średnioroczna arytmetyczna stopa zwrotu wynosi 15,1%. Potęgowy wykres wskazuje, że obecnie, w 2014 WIG wydawać się może niedowartościowany. Średnioroczna geometryczna stopa zwrotu wynosi 10,07%.

Arytmetyczna stopa zwrotu uwzględnia wszystkie wewnętrzne wahania, co może sztucznie zawyżać średnią stopę zwrotu. Aby zobaczyć jak bardzo, dla ćwiczenia zwiększyłem wahania indeksu w poszczególnych okresach zachowując tylko pierwszą wartość 7473,1 i ostatnią 51284,25. Dostałem rys. 2:

Rys. 2

Średnioroczna arytmetyczna stopa zwrotu nagle wynosi tu 37,9%. Podczas gdy średnioroczna geometryczna stopa zwrotu pozostała niezmienna, czyli 10,07%. Skąd wynikają tak olbrzymie różnice? Geometryczna stopa zwrotu nie uwzględnia w ogóle wartości wewnątrz przedziału czasu, tylko pierwszą wartość i ostatnią. Okazuje się, że jest ona w przybliżeniu równa arytmetycznej stopie zwrotu pomniejszonej o połowę wariancji [1]. Wzór ten jest teoretyczny, ale generalnie powinniśmy się spodziewać, że geometryczna stopa zwrotu będzie mniejsza od arytmetycznej lub jej równa.

Z kolei ze średnią arytmetyczną wiąże się problem odwrotny: często przypadkowe odchylenia, np. spowodowane dodatnią kurtozą lub zbyt małą próbą, mogą zawyżać lub zaniżać średnią. W krótkim okresie czasu stopa zwrotu może przyjmować wartości skrajne, podczas gdy zgodnie z prawem wielkich liczb w długim okresie najczęściej będzie przyjmować wartości średnie.

Można dojść do wniosku, że najwłaściwszą metodą wyznaczenia oczekiwanej stopy zwrotu jest oparcie się na regresji liniowej, która po pierwsze wyśrodkowuje poszczególne wartości na wykresie, a po drugie łączy wszystkie okresy zmian niejako w jeden wielki okres, tworząc średnią zależną od wszystkich okresów jednocześnie, przez co nie pozwala na to, aby skrajne wartości sztucznie zawyżały średnią. Powstaje jednak pytanie jak zbudować taką linię regresji?

Aby jasno i logicznie zrozumieć zależność pomiędzy regresją a oczekiwaną stopą zwrotu, najpierw bez wyjaśnienia przekształćmy wartości indeksu WIG z rys. 1 w logarytm, czyli wyciągamy logarytm naturalny z WIG:

Rys. 3.

Zauważamy, że wykres się spłaszczył, odchylenia się zmniejszyły i bardziej naturalne staje się wyznaczenie trendu liniowego.

W ogólnym przypadku tworzymy więc następujący model trendu:

LN(Pt) = a + b*t + e

gdzie Pt to cena w okresie t,
a, b - stałe parametry,
e -składnik losowy

Logarytmiczna prognozowana cena będzie wtedy modelem o postaci:

co oznacza, że:

W okresie t+1 analogicznie:

Prognozowaną stopę zwrotu możemy więc zapisać w postaci:

(2)

Wzór (1) definiował logarytmiczną stopę zwrotu. Zwykła stopa zwrotu jest więc określona wzorem:

(3)

Łącząc (2) z (3), dostajemy zależność:

Stąd widać czym w istocie jest logarytmiczna stopa zwrotu - jest to nachylenie linii trendu logarytmicznej ceny i mówi o tym, jak zmienia się przeciętnie logarytmiczna cena w okresie t (patrz Rys. 3). Ponieważ możemy szybko przekształcić logarytmiczną stopę w zwykłą stopę, to na podstawie modelu trendu jesteśmy w stanie precyzyjnie wyznaczyć oczekiwaną stopę zwrotu.

Tutaj na chwilę się zatrzymam. Sama transformacja e^b, inaczej exp(b), nie stanowi wartości oczekiwanej stopy zwrotu, ale raczej jej medianę (wartość środkową). Aby uzyskać wartość oczekiwaną, trzeba przemnożyć exp(b) przez exp(0,5 var), gdzie var to wariancja logarytmicznej stopy zwrotu (która w przypadku regresji liniowej może być interpretowana jako błąd standardowy reszt do kwadratu). Dlaczego? Powiedzmy, że nasza logarytmiczna stopa zwrotu ma rozkład normalny. Okazuje się, że wtedy zwykła stopa zwrotu ma rozkład logarytmicznie normalny, a ten charakteryzuje się powyższymi własnościami [2].

W naszym przypadku dostałem następujące parametry modelu trendu E(LN(WIG)) = a + b*t

a = 0,53, St. Error = 0,124, Sign. [0,00]
b = 0,0986, St. Error = 0,01, Sign. [0,00]

A zatem średnia stopa - mediana - dla WIG wynosi
r = exp(b) -1 = exp(0,0986) - 1 = 10,36%

Po uwzględnieniu prowizji na podstawie wzoru (1) w artykule Czy stop lossy są opłacalne? (na podstawie Stopa zwrotu po potrąceniu prowizji) będzie to przy prowizji 0,39% ok. 9,5%.

Warto mieć na uwadze różnicę pomiędzy początkowo, wydawałoby się ogromną stopą zwrotu 15,1% a końcowym efektem. Różni doradcy czy fundusze inwestycyjne manipulują liczbami, chwaląc się wysokimi arytmetycznymi stopami zwrotu, które naturalnie są zawyżone. Dopiero analiza regresji i ujęcie wszystkich kosztów prowizyjnych dostarcza solidnej i obiektywnej informacji.


Literatura:
[1] D. Mindlin, On the Relationship between arithmetic and geometric return, 2011
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution

Źródło danych:
stooq.pl

Czy stop lossy są opłacalne?

Zlecenia stop loss mają z pewnością duże znaczenie dla traderów, ale jeszcze większe dla maklerów. Jeśli posiadamy strategię, która rzeczywiście działa, to znaczy potrafimy przewidzieć pewne ruchy kursu, to stop lossy mogą pomagać w zwiększeniu zysków. Problem polega na tym, że prawie wszyscy "doradcy" nakłaniają nas do stosowania stop lossów używając tylko jednego argumentu: że stop loss chroni nasz kapitał przed nadmiernym obsunięciem albo po prostu przed zbyt dużym ryzykiem. Niestety takie twierdzenie jest jak masło maślane - fakt, iż szybko usuwam akcje z portfela powoduje, że w tym czasie mogę przerzucić się na obligacje albo lokaty, a więc po prostu wtedy mniej ryzykuję i nie tracę. Nie znaczy to jednak wcale, że moje zyski będą większe. Mogą być całościowo znacznie mniejsze, bo częste używanie stop lossów generuje koszty transakcyjne.

Pytanie brzmi jak bardzo stop lossy implikujące te koszty niszczą naszą stopę zwrotu? W artykule Stopa zwrotu po potrąceniu prowizji  pokazałem, że stopa zwrotu po potrąceniu prowizji przy kupnie i sprzedaży wynosi:

(1)

gdzie
r to stopa zwrotu bez potrącenia prowizji,
x - wielkość prowizji jako część posiadanego kapitału.

Jednakże nasz problem jest trochę bardziej ogólny. Nie interesuje nas przecież jedna transakcja kupna i sprzedaży, ale wszystkie transakcje w danym okresie. Na przykład jeżeli wiem, że dana strategia pozwala osiągnąć średnio 15% rocznie bez prowizji przy użyciu średnio 5 stop lossów, to ile faktycznie wynosi moja stopa zwrotu? Poniższe obliczenia są mojego autorstwa.

Mój pomysł polega na tym, aby wyznaczyć logarytmiczną stopę zwrotu, którą dzielimy na liczbę zrealizowanych stop lossów, ponieważ każdy stop loss oznacza uzyskanie pewnej stopy zwrotu w danym okresie. Jeżeli mamy 1 stop loss, to znaczy po prostu, że stosujemy metodę kup i trzymaj (bo na koniec pewnego okresu sprzedajemy po określonej cenie). Jeśli są 2 stop lossy, to znaczy, że handlowaliśmy dwukrotnie i posiadamy 2 stopy zwrotu. Jeśli mamy cel 5 stop lossów, to znaczy, że mamy 5 zrealizowanych transakcji kupna i sprzedaży, 5 stóp zwrotu i możemy obliczyć średnią stopę zwrotu. Tak więc dzieląc logarytmiczną stopę zwrotu przez liczbę stop lossów, uzyskamy średnią logarytmiczną stopę zwrotu z jednej transakcji sprzedaży. W kolejnym etapie przekształcimy ją w arytmetyczną stopę zwrotu i obliczymy na podstawie wzoru (1) stopę zwrotu potrąconą o koszty transakcyjne. Ostatni etap będzie polegał na ponownym przekształceniu tej stopy w logarytmiczną stopę zwrotu, pomnożeniu przez liczbę stop lossów, ponieważ musimy powrócić do stopy zwrotu dla wszystkich transakcji i na koniec przekształceniu tej stopy zwrotu w arytmetyczną stopę zwrotu, która już będzie potrącona o prowizje. Otrzymamy w ten sposób nowy, ogólny wzór na stopę zwrotu po potrąceniu kosztów transakcji.

Załóżmy, że w pewnym okresie czasu uzyskujemy całkowitą stopę zwrotu r. W tym okresie dokonujemy N transakcji sprzedaży, co możemy utożsamić z liczbą stop lossów. Całkowitą logarytmiczną stopę zwrotu definiujemy następująco:

(2)

Z tego wynika, że

(3)

Jeżeli podzielimy logarytmiczną stopę zwrotu przez N, to otrzymamy średnią logarytmiczną stopę zwrotu z jednej transakcji sprzedaży, którą oznaczymy następująco:

(4)

Ponieważ ostatnie wyrażenie jest ciągle logarytmiczną stopą zwrotu, stosujemy do niego odpowiednio (2) i (3), a więc dostajemy następujący wzór na średnią (arytmetyczną) stopę zwrotu z jednej transakcji sprzedaży:

(5)

Podstawiając (5) do (1), dostaniemy średnią stopę zwrotu z jednej transakcji sprzedaży potrąconą o prowizje (od kupna i sprzedaży):

Stopę tę przekształcamy w logarytmiczną zgodnie z (2):

a więc po skróceniu

(6)

Stopę z (6) przekształcamy w całkowitą logarytmiczną stopę zwrotu po potrąceniu prowizji. Na podstawie (4) zapiszemy, że:

(7)

Zaś na podstawie (2) i (3) mamy że:

(8)

Łącząc (7) i (6) i podstawiając to do (8), uzyskujemy:

Wyrażenie to możemy uprościć wykorzystując własności logarytmów. Dodatkowo wyrażenie w nawiasie sprowadzimy do wspólnego mianownika (1+x). W rezultacie otrzymamy:

(9)

Podstawiając wyrażenie (2) do (4), a następnie (4) do (9), dostaniemy:
 
(10)

Po dalszych przekształceniach (10), w tym wykorzystaniu ponownie własności logarytmów, finalnie otrzymujemy wzór na całkowitą stopę zwrotu po potrąceniu prowizji ze wszystkich transakcji:

 (11)

Teraz możemy podstawić dane z naszego przykładu do wzoru (11). Jeżeli nasza stopa zwrotu bez potrącania prowizji wynosi 15%, a używamy średnio 5 stop lossów, zaś prowizja przy kupnie i sprzedaży wynosi 0.39% kapitału, to znaczy, że nasza faktyczna stopa zwrotu wynosi:

Zauważmy więc, że stosując 5 stop lossów w ciągu roku, stopa zwrotu okazuje się być na poziomie średniej rynkowej.

A teraz załóżmy, że potrafimy wyciągać średnio aż 25% rocznie, ale średnio używając stop lossa co 1 miesiąc. Wtedy nasza stopa zwrotu przez prowizje spada do 13,8%.

Z kolei jeśli podstawimy za N = 1, to (11) musi sprowadzać się do wzoru (1).

Przed korzystaniem z narzędzi typu stop loss, warto przeczytać co mówią statystyki na temat zyskowności jego używania w stosunku do kup i trzymaj. Bulkowski na swojej stronie http://thepatternsite.com/CanStopsHurt.html przedstawia następujące wyniki strategii z wykorzystaniem stop lossów:

Mówiąc krótko, stop lossy według Bulkowskiego powodują więcej szkód niż pożytku. Nie wiem czy Autor uwzględniał koszty transakcyjne, ale wydaje się, że tak, bo w przeciwnym wypadku trudno byłoby zrozumieć takie straty na płynnych walorach.


Źródło:

1. http://gieldowyracjonalista.blogspot.com/2011/03/stopa-zwrotu-po-potraceniu-prowizji.html
2. http://thepatternsite.com/CanStopsHurt.html