piątek, 8 czerwca 2012

Rozbieżność opinii w kontekście CAPM

Niedawno w poście Teoria portfela nie implikuje efektywnego rynku poruszyłem kwestię rozbieżności opinii na temat wartości akcji wśród inwestorów. Stwierdziłem, że zróżnicowanie oczekiwań sprawia, iż na wartość akcji można spojrzeć jak na przedział liczbowy. Pisałem także, że rozbieżność opinii stanowi jeden z możliwych warunków ukształtowania się trendu cen akcji. W tym artykule obalę mit, że sama rozbieżność opinii wywołuje trend. W tym celu posłużę się publikacją J. Lintnera "The Aggregation of Investor's Diverse Judgments and Preferences in Purely Competetive Security Markets" z 1969 r. podejmującą zagadnienie rozbieżności (niejednorodności) opinii pomiędzy inwestorami. Jest dużo więcej artykułów rozbudowujących tę tematykę, np.
- E. Miller - Risk, Uncertainty, and Divergence of Opinion, 1977
- R. Jarrow - Heterogeneous Expectations, Restrictions on Short Sales, and Equilibrium Asset Prices, 1980,
- C. Chiarella, R. Dieci, X-Z He - Aggregation of heterogeneous beliefs and Asset Pricing Theory: A mean-variance Analysis, 2007

Należy jednak zająć się podstawami.

Lintner w swoim artykule dowodzi, że niejednorodność opinii wśród inwestorów nadal pozwala zachować na rynku optimum Pareta (tzn. sytuację, gdy żadna strona nie jest w stanie poprawić swojej sytuacji bez pogorszenia drugiej strony, a więc rynek pozostaje efektywny), tak że teoria portfela wraz z CAPM może zostać odpowiednio uogólniona. Pomysł polega na zagregowaniu zróżnicowanych opinii inwestorów na temat przyszłej wartości akcji lub ryzyka (wariancji/kowariancji) w pewną uśrednioną opinię, będącą wynikiem sił popytu i podaży. Należy tu zwrócić uwagę, że Lintner zakłada, że obecna cena akcji jest prawidłowa, czyli rynek zachowuje efektywność - inwestorzy zgadzają się, że ich opinie zostaną odpowiednio uśrednione. Powstaje pytanie czy w takiej sytuacji nadal można rozważać wartość akcji przez pryzmat przedziału liczbowego. Można, tyle że musimy tu rozróżnić dwa kryteria: subiektywne i obiektywne. Każdy inwestor wycenia w ramach swoich możliwości jak najbardziej obiektywnie akcje. Zawsze jednak jego wycena będzie zawierać pewną dozę subiektywizmu. I to jest kryterium subiektywne. Rynek uśrednia wyceny wszystkich inwestorów w rynkową wycenę akcji. To jest kryterium obiektywne. Z punktu widzenia kryterium subiektywnego wartość akcji stanowi pewien przedział liczbowy. Z punktu widzenia kryterium obiektywnego wartość akcji stanowi konkretną liczbę, a subiektywna wycena jakiegoś inwestora jest po prostu losowym zakłóceniem prawidłowej wyceny.

Rozważając subiektywne wyceny, możemy stwierdzić, że inwestorzy posiadający identyczne preferencje ryzyka, będą trzymali akcje w portfelu w różnych proporcjach. Każdy z nich będzie stosował teorię portfela, ale może uzyskać inny skład portfela. Czyli mapa ryzyko-oczekiwana stopa zwrotu w teorii portfela będzie się przesuwać i zmieniać kształt w zależności od inwestora. Będzie również istnieć "rynkowa" mapa ryzyka i oczekiwanej stopy zwrotu, uśredniająca subiektywne mapy.

Należy zwrócić również uwagę, że decyzje inwestorów o skrajnie subiektywnych wycenach nie są błędne. Jeśli nazywać je już tak, to najwyżej można byłoby powiedzieć, że są to "wymuszone błędy".

Zakładamy dwa okresy: 0 i 1. Jest N walorów indeksowanych literką i oraz j. Jest także M inwestorów indeksowanych literką k. Lintner najpierw wyprowadza następujący wzór na oczekiwaną cenę akcji i-tego waloru k-tego inwestora w okresie 1:



Jeśli chodzi o v(i,k) to jest to jakby krańcowa wariancja portfela do i-tego waloru dla k-tego inwestora. Nie musimy tutaj się wgłębiać w znaczenie tej miary - najważniejsze, żeby zobaczyć, że jest proporcjonalna do kowariancji dla walorów i,j dla k-tego inwestora.

Można łatwo pokazać, że uśredniona (dla wszystkich inwestorów) oczekiwana cena akcji w okresie 1 jest równa:



Jeśli podzielimy obie strony przez P(0) i odejmiemy 1 z obu stron, to dostaniemy wzór na uśrednioną dla wszystkich M inwestorów oczekiwaną stopę wzrostu ceny i-tego waloru:



Załóżmy dla uproszczenia, że spółki nie wypłacają dywidend w okresie 1. Wówczas g(i) jest to oczekiwana stopa zwrotu i-tego waloru, co oznacza, że możemy to równanie potraktować jak uogólniony CAPM-SML dla rozbieżnych opinii. Model ten zapisywaliśmy w postaci:



W takim razie (uśredniona) i-ta cena ryzyka jest zależna od (uśrednionej) awersji do ryzyka oraz kowariancji cen i,j:



Wnioski są interesujące. Powyższy wzór jest na tyle ogólny, iż możemy stwierdzić, że nawet jeśli wszyscy inwestorzy mają takie same oczekiwania i opinie co do i-tej oczekiwanej stopy zwrotu, to i-ta cena ryzyka będzie zależeć nie tylko od kowariancji, ale także od awersji do ryzyka. A przecież awersja do ryzyka należy do dziedziny preferencji danego inwestora.

Załóżmy najpierw, że wszyscy mają identyczne oszacowania przyszłej ceny akcji (czyli także oczekiwanej stopy zwrotu) oraz ryzyka (wariancji/kowariancji cen, ale także stopy zwrotu). W takiej sytuacji, jeśli ktoś będzie miał wyższą awersję do ryzyka, to po prostu oczekiwana stopa zwrotu będzie musiała być mniejsza (inwestor chce mniej ryzykować). Ale ponieważ przyszła oczekiwana cena zależy dodatnio od awersji do ryzyka, to wariancja portfela będzie musiała odpowiednio mocniej spaść. Dostajemy więc klasyczny model - jeśli inwestor chce więcej (mniej) ryzykować, to posiada większe (mniejsze) ryzyko inwestycji, a wtedy oczekiwana stopa zwrotu rośnie (maleje).

Następnie uogólnimy ten przypadek. Załóżmy jeszcze raz, że wszyscy zgadzają się co do przyszłej ceny i-tej akcji. O ile aktualna cena akcji jest znana, to znów trzeba się zastanowić nad pozostałymi wyrazami: awersją do ryzyka i wariancją. Aby oczekiwana cena pozostała stała, to inwestorzy NIE MUSZĄ zgadzać się co do oszacowania wariancji, czyli ryzyka. Jeśli inwestor 1 uważa, że ryzyko jest wyższe niż inwestor 2, to aby ich oczekiwana cena pozostała identyczna, muszą się różnić awersją do ryzyka. Awersja do ryzyka inwestora 1 musi wtedy odpowiednio (stosunkowo) spaść.

Może się zdarzyć także sytuacja odwrotna. Inwestorzy mogą zgadzać się co do ryzyka, ale już nie oczekiwanej przyszłej ceny. Wówczas jeśli inwestor 1 ma wyższe oczekiwania ceny niż inwestor 2, to aby oszacowania ryzyka pozostały identyczne, awersja do ryzyka inwestora 1 musi stosunkowo wzrosnąć.

Inwestorzy mogą w końcu różnić się w ocenach zarówno przyszłej ceny, jak i ryzyka. W takiej sytuacji awersja do ryzyka przestaje mieć znaczenie "stabilizatora", bo każdy może mieć dowolne równanie oczekiwanej ceny. Stąd także każdy będzie posiadał swoje własne oszacowania SML. Oczywiście będzie podążał za racjonalnymi oczekiwaniami, lecz subiektywizmu w praktyce nie uda mu się ominąć. Oszacowania przyszłej oczekiwanej stopy zwrotu na podstawie średnich w przeszłości to duże uproszczenie zakładające, że przyszłość będzie taka jak przeszłość. Jednakże często to założenie nie jest uprawnione. Wykorzystywanie nowych, aktualnych informacji w sporządzaniu SML i wyceny dyskontowej rodzi duże pole do rozbieżności opinii. Dopiero rynek uśrednia wszystkie te opinie losując "obiektywną" wartość rynkową. Trochę to śmiesznie brzmi: rynek losuje wartość, którą należy uznać za obiektywną. Ale trzeba też pamiętać, że nie uwzględniamy tutaj różnych nieefektywności rynku, jak np. asymetria informacji czy też ataki spekulantów mające na celu wywołanie paniki lub euforii. Tak więc na razie kwestię formowania się trendów pozostawiam na boku. Dowodzę tylko, że sama rozbieżność opinii nie może stanowić przesłanki do tego, że kurs ma tendencję do poruszania się w danym kierunku.

Literatura:

J. Lintner, "The Aggregation of Investor's Diverse Judgments and Preferences in Purely Competetive Security Markets", 1969.