Teoria portfela Markowitza. Portfele nieefektywne, efektywne i wybór

W poprzednim odcinku przedstawiono sposób tworzenia portfeli o najmniejszym ryzyku przy określonym poziomie oczekiwanej stopy zwrotu. Powstaje pytanie czy wybór dowolnego z tych portfeli jest racjonalny. We wprowadzeniu do teorii portfela stwierdziłem, iż "maksymalizacja użyteczności oznacza maksymalizowanie zysku przy danym poziomie ryzyka lub minimalizowanie ryzyka przy danym poziomie zysku." Wynikałoby z tego, że dowolny portfel na krzywej minimalnego ryzyka może być optymalny. I faktycznie może, jednak optimum zależy od preferencji gracza giełdowego. Tu zaczyna się pewien problem. Popatrzmy na poniższy przykład krzywej minimalnego ryzyka.



Portfel A i A' charakteryzują się tym samym poziomem ryzyka, lecz A ma wyższą oczekiwana stopę zwrotu. Czy ktoś o zdrowych zmysłach wybrałby portfel A'? Kiedy byłoby to możliwe? Są dwie takie sytuacje. Może być tak, gdy ktoś najbardziej preferuje tylko określony poziom zysku i ryzyka i nie chce mieć więcej ani mniej. Osoba czuje się "altruistą", a w każdym razie odrzuca maksymalny oczekiwany zysk. W drugim przypadku musiałyby zostać spełnione dwa założenia: gracz nie lubiłby ani zysku, ani ryzyka oraz byłby zmuszony do grania. Wtedy krzywa minimalnego ryzyka stałaby się dla niego ograniczeniem wymuszającym grę.

Drugi przypadek jest bardziej interesujący. Dwa towarzyszące mu założenia muszą zostać na siebie nałożone. Zajmijmy się pierwszym. Jak wyglądałyby obrazy preferencji gracza nielubiącego zysku ani ryzyka?

Łatwiej pokazać najpierw obrazy preferencji, gdy gracz lubi zarówno zysk jak i ryzyko (taki hazardzista).

Ale żeby to opowiedzieć, musimy krótko wprowadzić teorię wyboru konsumenta.

Koszyk konsumpcji.

Koszyk konsumpcji, czyli zamknięta lista dóbr i usług, jest przedmiotem wyboru konsumenta. Konsument potrafi uszeregować koszyki według stopnia pożądania. Potrafi więc określić który koszyk jest lepszy lub czy są mu obojętne. Jeśli są mu obojętne, to przynoszą identyczną użyteczność.

Użyteczność.

Hal R. Varian podaje, że użyteczność rozumie się po prostu jako „sposób
opisania preferencji” [Mikroekonomia. Kurs średni – ujęcie nowoczesne, PWN SA, W-wa 2002, str. 82]. Mówiąc inaczej konsument sam wybiera którą strukturę dóbr (koszyk dóbr) preferuje względem innej.

Dlaczego taka definicja, zamiast coś w rodzaju "poziom zadowolenia, satysfakcji"? Przy wyborze koszyka nie jest ważne o ile jest on lepszy od drugiego. Ważne jedynie, że jest wyżej preferowany. Można byłoby powiedzieć, że ten koszyk przynosi mi użyteczność 1, a tamten 3. Drugi jest lepszy o 2, ale tak naprawdę to nie wiadomo o co mi chodzi, gdy nie mam podanych jednostek w jakich wyrażam swoją użyteczność. Ponieważ nie ma jakiegoś odniesienia, równie dobrze możemy pomnożyć te wartości przez 2, tak że dostajemy odpowiednio użyteczność 2 i 6, ale różnica użyteczności już wynosi 4. Widzimy więc, że pojęcie absolutnego poziomu użyteczności dla danego konsumenta nie istnieje.

Krzywa obojętności.

Jeśli koszyki konsumpcji przynoszą zawsze ten sam poziom użyteczności, to każdy taki koszyk można przedstawić graficznie jako punkt tzw. krzywej obojętności. Jeśli konsument lubi dobro X1 i X2, to aby pozostać na tym samym poziomie użyteczności, czyli nie wypaść z danej krzywej obojętności, każdej dodatkowej jednostce danego dobra musi towarzyszyć spadek ilości drugiego dobra. Krzywa obojętności może mieć wtedy następujący kształt:



X oznacza ilość konsumowanego dobra. Skoro konsument lubi oba dobra, to im więcej ich konsumuje, tym lepiej. Czyli coraz wyższe poziomy krzywej obojętności będą wiązały się z wyższym poziomem użyteczności (U).



Ograniczenie budżetowe.

Oczywiście, to ile konsument będzie faktycznie konsumował, będzie zależało od jego możliwości, na przykład pieniężnych. Ograniczenie budżetowe może być przedstawione jako linia prosta na wykresie X1-X2, co wynika z faktu, że budżet zapisujemy jako suma dostępnych wartości obu dóbr. Dostępna wartość każdego dobra to jego cena razy ilość możliwa do uzyskania. Czyli: budżet = cena*X1 + cena*X2. Możemy to przekształcić i zapisać jako funkcję liniową względem X1 lub X2. Łatwo zauważyć, że nachylenie tej funkcji będzie ujemne. Im większe możliwości budżetowe ma konsument, tym linia ograniczenia budżetowego znajduje się wyżej, gdyż X1 lub X2 jest większe.

Maksymalizacja użyteczności.

Choć nie istnieje absolutny poziom użyteczności, to nie znaczy to, że nie możemy znaleźć koszyka maksymalizującego użyteczność. Możemy bowiem nałożyć wykres krzywych obojętności na ograniczenie budżetowe. Punkt styczności obu krzywych stanowi punkt optymalny - to jest koszyk, który konsument wybierze.



Przedstawiona teoria konsumenta jest bardzo, bardzo skrótowa. Jednym z pytań może być, dlaczego krzywa obojętności ma właśnie taki kształt. Jak napisano, był to jedynie przykład (tzw. preferencji wypukłych). Generalnie założono,że konsument woli konsumować dobra razem niż oddzielnie, co jest całkiem realistycznym założeniem. Zazwyczaj konsumujemy dobra w pewnej proporcji (chociażby udziały akcji). Jeśli wolisz konsumować trochę dobra X1 i X2, to znaczy, że środkowy koszyk będzie lepszy niż koszyk skrajny. Stąd taka wypukłość krzywych obojętności: aby zachować taką samą użyteczność koszyków, koszyki środkowe muszą się "cofnąć" (w kierunku początku układu). Gdyby krzywa obojętności miała stałe nachylenie, to oznaczałoby to, że konsumentowi jest obojętne czy konsumuje po trochu każdego dobra czy też tylko jedno z nich.

Powróćmy więc do problemu omawianego na początku. Zakładamy, że konsument nie lubi ani zyskiwać, ani ryzykować. Oznacza to, że musimy odwrócić sytuację krzywych obojętności: coraz niższe poziomy tych krzywych będą przynosić coraz wyższą użyteczność (konsument najlepiej nie konsumowałby w ogóle). Jednocześnie kształt krzywej obojętności będzie odwrócony, gdyż środkowe koszyki - jeśli mają być lepsze niż skrajne - będą "odchylać się" w kierunku przeciwnym do początku układu współrzędnych, po to, aby zachować obojętność.



Drugim warunkiem było zmuszenie gracza do grania. Może być tak wtedy, gdy jakaś siła z zewnątrz (lub z wewnątrz) każe nam brać udział w ryzykownej inwestycji. W takiej sytuacji osoba nie ma wyjścia i musi ograniczyć się do jakiegoś poziomu gry. Linią ograniczenia budżetowego jest w tym przypadku krzywa minimalnego ryzyka. Nakładamy więc mapę krzywych obojętności na pierwszy rysunek w tym artykule.



Wróćmy do realiów. Chociaż możemy mieć do czynienia z przypadkami psychicznych tortur, hazardzistami-masochistami czy altruistami, nie mają one nic wspólnego z inwestowaniem. Ich portfele leżące na części krzywej, na której ryzyko maleje, a oczekiwany zysk rośnie, są nazywane nieefektywnymi.

Inwestor pożąda maksymalnego zysku i odczuwa awersję do ryzyka. Wzrost odchylenia standardowego powoduje, że inwestor czuje się gorzej, natomiast wzrost oczekiwanej stopy zwrotu przynosi mu lepszy nastrój. Pozwala to potraktować μ jak dobro pożądane, a σ - niepożądane (niechciane). Jeśli ktoś oferuje trochę więcej dobra niechcianego, to aby „nie wypaść” z danego poziomu użyteczności (czyli aby pozostać na tej samej krzywej obojętności), potrzeba dostać także trochę więcej dobra pożądanego. Czyli większa ilość μ rekompensuje większą ilość σ. Wynika z tego, że krzywe obojętności będą mieć tym razem dodatnie nachylenie. Jednocześnie coraz wyższe poziomy krzywych obojętności w kierunku wzrostu oczekiwanego zysku z portfela, przynoszą coraz wyższą użyteczność.



Po nałożeniu tych krzywych obojętności na krzywą minimalnego ryzyka otrzymujemy optymalny punkt, w którym możliwie najwyżej położona krzywa obojętności styka się z krzywą minimalnego ryzyka. Punkt ten reprezentuje właściwy portfel inwestora:



W zależności od nachylenia krzywej obojętności, optymalny portfel znajdować się będzie w różnych punktach krzywej minimalnego ryzyka. Jednakże widać, że inwestor jest zainteresowany jedynie tym odcinkiem krzywej, który jest rosnący w kierunku wzrostu ryzyka. Tę część krzywej nazywa się granicą portfeli efektywnych. Portfele efektywne przynoszą z jednej strony najniższe ryzyko przy wymaganej stopie zwrotu, z drugiej - najwyższe oczekiwane stopy zwrotu przy danym ryzyku.

Jeśli ktoś z Was pomyślał przez chwilę, że nauczył się już teorii portfela, to muszę z przykrością oznajmić, że to dopiero początek. W końcu dotychczas omawialiśmy sytuację, gdy w portfelu znajdują się tylko dwa walory. Sytuacja staje się trudniejsza, gdy mamy ich dużo więcej.

Teoria portfela Markowitza. Krzywa minimalnego ryzyka

Dziś szczegółowo przedstawiam pierwszą część modelu Markowitza, związaną z tzw. krzywą minimalnego ryzyka. Aby go dobrze zrozumieć będę posługiwał się przykładami. Większość poniższego tekstu zaczerpnąłem z dostępnego za darmo w internecie podręcznika Tadeusza Bołta "Rynek kapitałowy - część druga".

Załóżmy, że dysponujesz kwotą F = 5000 zł, którą zamierzasz zainwestować w ryzykowne walory (np. akcje zwykłe) oraz, że przeznaczasz kwotę F(A) = 2000 zł na zakup waloru A, natomiast pozostałą kwotę tj. F(B) = 3000 zł na zakup waloru B. Zatem:



Dzieląc obie strony powyższej równości przez F otrzymamy:



Współczynniki:



określające, jaka część ogólnego funduszu jest przeznaczona na zakup poszczególnych walorów, nazywać będziemy wagami portfelowymi. W rozpatrywanym przykładzie tak określone wagi wynoszą:



W ogólnym przypadku wagi portfelowe mogą być dodatnie lub ujemne. Ogólna definicja wagi portfelowej stanowi bowiem, że:



Dodatnia waga portfelowa x(A) oznacza, że inwestor zakupuje walor A. Czynność tę nazywamy inaczej zajmowaniem tzw. długiej pozycji na rynku waloru A. Możliwe jest także zajęcie przez inwestora tzw. krótkiej pozycji lub dokonanie tzw. krótkiej sprzedaży waloru A. Wtedy waga portfelowa dla tego waloru jest ujemna.

Co to jest krótka sprzedaż?

Krótka sprzedaż nie jest sprzedażą waloru, który się posiada, lecz sprzedażą waloru, którego się nie posiada. Załóżmy, że inwestor pożycza od kogoś, zwykle przez pośrednika, 100 akcji firmy B. Inwestor zobowiązuje się zwrócić po pewnym okresie tych 100 akcji osobie, od której pożyczył. Licząc na to, że akcje B spadną sprzedaje je po cenie bieżącej, np. 10 złotych, zarabiając 1 tys. złotych. Po pewnym czasie cena B spada do 5 złotych. Zatem inwestor wraca na rynek i kupuje 100 akcji B, które musi oddać, płacąc za nie 500 złotych (zamiast 1 tys. zł). Następnie inwestor zwraca osobie, od której pożyczył owe 100 akcji i w ten sposób krótka sprzedaż zostaje zakończona. Inwestor zyskuje na tej operacji 500zł. Jeśli w czasie trwania krótkiej sprzedaży zostanie wypłacona dywidenda, inwestor musi ją zwrócić właścicielowi.

Wyjaśnijmy teraz, jak wyglądają wagi portfelowe, gdy suma uzyskana w wyniku przeprowadzenia krótkiej sprzedaży waloru B jest przeznaczona na dodatkowy zakup waloru A.
Załóżmy, że inwestor ma F = 1000 zł własnych pieniędzy (jego fundusz inwestycyjny), które inwestuje w walory A i B. Załóżmy, że sprzedaje on krótko akcje B za 100zł i wykorzystuje tę kwotę na dodatkową inwestycję w walor A. Zatem kupuje akcje A za F(A) = 1100 zł. Waga portfelowa waloru A wynosi więc:



natomiast waga dla waloru B wynosi



ponieważ akcje B musimy odkupić i zwrócić. Waga portfelowa jest w tym przypadku ujemna. W dalszym ciągu jednak wagi sumują się do jedności



Naszym celem jest optymalizacja portfela inwestycyjnego. Oznacza to, ze musimy znaleźć odpowiednie stopy zwrotu portfela i towarzyszące mu ryzyko. Zatem kolejnym obok wag portfela elementem analizy portfela stanowią parametry rozkładu prawdopodobieństwa stopy zwrotu portfela.

Jeśli stopa zwrotu posiada rozkład zbliżony do rozkładu Gaussa, to mamy do czynienia z dwoma parametrami: wartością oczekiwana stopy zwrotu oraz odchyleniem standardowym stopy zwrotu. Konwencjonalnie małymi literkami oznaczamy konkretne wartości z próby losowej - w naszym przypadku historyczne stopy zwrotu (r), a dużymi literami zmienne losowe w tej próbie (R). Oczekiwaną stopę zwrotu z waloru A z okresu T określa wzór:



oraz dla waloru B:



gdzie c to częstość zdarzenia w okresie T.

Wariancja stopy zwrotu z waloru A:



Odchylenie standardowe stopy zwrotu z waloru A:



oraz z waloru B:





Jeśli wartości zmiennej losowej (a więc tez prawdopodobieństwa) będą zmieniać się w sposób ciągły, to rozkład prawdopodobieństwa będziemy nazywać gęstością prawdopodobieństwa. W naszym przypadku dopiero wtedy otrzymamy pełny rozkład Gaussa. A na rysunku przykładowo wygląda to tak:



Teraz możemy utworzyć wreszcie stopę zwrotu portfela (Rp). Stopa zwrotu portfela dwuskładnikowego jest kombinacją liniową stóp zwrotu walorów wchodzących do portfela.



Wartość oczekiwana stopy zwrotu portfela dwuskładnikowego jest kombinacją liniową wartości oczekiwanych stóp zwrotu walorów tworzących portfel. Zatem:



W ogólnym przypadku odchylenie standardowe - ryzyko finansowe, maleje wraz ze wzrostem liczby niezależnych stopni swobody w portfelu. Dzieje się tak, ponieważ niezależne fluktuacje statystyczne częściowo się znoszą. Dywersyfikacja zmniejsza ryzyko.

Jednakże prosta analiza danych historycznych wskazuje na istnienie silnych korelacji pomiędzy cenami. Rynek zawiera wiele mniej lub bardziej ukrytych korelacji. Jedne wynikają z podziału rynku na sektory, inne z zależności kapitałowych, a jeszcze inne z psychologii inwestorów. Nie można zatem traktować cen akcji jako niezależnych stopni swobody. Podział portfela pomiędzy skorelowane akcje prowadzi do pozornej dywersyfikacji i nie zmniejsza ryzyka. Aby dokonać rzeczywistego zróżnicowania, należy najpierw wyłuskać niezależne stopnie swobody. Informacja o nich zakodowana jest w tzw. macierzy kowariancji, opisującej poziom skorelowania poszczególnych akcji. Wektory własne tej macierzy mówią, jakie kombinacje liniowe akcji można traktować jako niezależne stopnie swobody, wartości własne natomiast – jakie jest ryzyko z nimi związane.

Statystyczną współzależność obu stóp zwrotu mierzy kowariancja:



Można pokazać, ze kowariancja stanowi iloczyn odchyleń standardowych stóp zwrotu z walorów A i B oraz współczynnika korelacji liniowej pomiędzy tymi stopami zwrotu.



Współczynnik korelacji ρ zawiera się w przedziale od -1 do 1. Jego duże wartości powyżej zera nie sprzyjają, natomiast niskie wartości poniżej zera sprzyjają dywersyfikacji ryzyka.

Utwórzmy odchylenie standardowe portfela. Tu warto się chwilę zatrzymać. Ze względu na to, ze ryzyko jest pierwiastkiem z wariancji, w ogólnym przypadku nie jest ono równe kombinacji liniowej odchyleń standardowych stóp zwrotu z poszczególnych walorów, czyli:



Najpierw należy obliczyć wariancję stopy zwrotu z portfela:



Czyli:



Lub inaczej:




Powyższy wzór ma ciekawą interpretację:

Ryzyko portfela = ryzyko wariancyjne + ryzyko kowariancyjne.

Przy czym właściwe ryzyko portfela jest równe:



Załóżmy, ze parametry rozkładu waloru A i B są następujące:



W zależności od wielkości współczynnika korelacji, dostajemy różne sytuacje.

1. Ryzyko portfela, gdy



W takim przypadku stopy zwrotu obu walorów "zmieniają się tak samo". Wariancja portfela jest w tej sytuacji równa:



W konsekwencji, ryzyko portfela jest ważoną sumą ryzyk związanych z inwestowaniem w akcje A i B, czyli:



Poniżej przedstawiono przykładowe wagi portfela i odpowiadające im parametry rozkładu. Można pokazać, że występuje tutaj liniowa zależność pomiędzy wartością oczekiwaną a odchyleniem standardowym stopy zwrotu portfela.



W zacienionych na żółto wierszach zapisano wyniki obliczeń w sytuacji, w której inwestor zajmuje krótką pozycję. W trzech pierwszych wierszach inwestor zajmuje krótką pozycję w stosunku do waloru B, a uzyskaną w trakcie krótkiej sprzedaży kwotę przeznacza na dodatkową inwestycję w walor A. Zapewnia mu to niższą oczekiwaną stopę zwrotu portfela (niższą niż stopa zwrotu dla A i dla B), lecz jednocześnie niższe ryzyko portfela. W dwóch ostatnich wierszach tej tablicy zapisano natomiast wyniki obliczeń w sytuacji, w której sprzedajemy krótko walor A i uzyskaną kwotę lokujemy dodatkowo w B. Daje nam to wyższe wartości oczekiwane portfela lecz także wyższe ryzyko. Wykorzystując krótką sprzedaż możemy skonstruować portfel zawierający walory dwa ryzykowne walory A i B i pozbawiony ryzyka.

2. Ryzyko portfela, gdy



Wariancja portfela jest w tej sytuacji równa:



Oznacza to, że uzyskaliśmy redukcję ryzyka w stosunku do sytuacji nr 1.

W tablicy poniżej pokazano wyliczone wartości oczekiwanych stóp zwrotu portfela oraz błędu standardowego portfela (ryzyka) w zależności od wag portfelowych. W omawianym przypadku występuje nieliniowa zależność między wartością oczekiwaną a odchyleniem standardowym portfela.



Podobnie jak w poprzednim przykładzie zacieniowane obszary oznaczają wykorzystanie krótkiej sprzedaży.

Dodatkowo pojawiają się tu w wierszu oznaczonym (*) parametry portfela o najmniejszej wariancji. Widać zatem, że można skonstruować portfel składający się z dwóch walorów ryzykownych A i B (bez krótkiej sprzedaży), którego oczekiwany zysk jest dodatni i dla którego ryzyko 4,95 jest mniejsze od najmniejszego ryzyka składowej portfela równego 5.

3. Ryzyko portfela, gdy



Wariancja portfela jest w tej sytuacji równa:



Charakterystyki rozkładu stóp zwrotu portfela są wtedy następujące:



4. Ryzyko portfela, gdy



Wariancja portfela jest w tej sytuacji równa:



Wówczas



Ponownie w wierszu oznaczonym (*), znajdują się parametry portfela o najmniejszej wariancji. Zwróćmy uwagę, ze można skonstruować portfel składający się z dwóch walorów ryzykownych A i B (bez krótkiej sprzedaży), którego ryzyko 3,05, na skutek ujemnego znaku ryzyka kowariancyjnego, jest wyraźnie mniejsze od najmniejszego ryzyka składowej portfela równego 5.

4. Ryzyko portfela, gdy



Jest to oczywiście najbardziej pożądana sytuacja dla inwestorów. W szczególności pozwala ona na zredukowanie ryzyka do zera. Choć pozornie wydaje się, ze jeśli jeden walor rośnie, a drugi spada, to oczekiwana stopa zwrotu powinna tez wynieść zero, to jednak, jak sie okazuje, wcale tak nie jest, co potwierdza poniższa tabela.



..............................................................................

Jeśli założymy ciągłość zmiany proporcji wag portfela, wówczas, korzystając z rachunku rózniczkowego, mozemy odnaleźć wagę, przy której ryzyko porftela jest minimalne. Zapiszmy wzór na wariancję portfela, wykorzystując równość:



Obliczając pierwszą pochodną względem x(A) otrzymamy:



Przyrównując pierwszą pochodną do zera oraz przekształcając, otrzymujemy wzór na poszukiwaną wagę:



oraz



Należy się tu najważniejsza w naszym temacie uwaga. Choć odnaleźliśmy portfel o globalnie najmniejszym ryzyku (przy danym poziomie współczynnika korelacji), to wyznaczony poziom tego ryzyka nie zależał w ogóle od oczekiwanego zysku. Możemy jednak przedstawić obrazy portfeli, które przy danym poziomie zysku posiadają najmniejsze ryzyko. Takie portfele poprzednio budowaliśmy. Stąd możemy utworzyć krzywą, której każdy punkt obrazuje portfel minimalnego ryzyka dla założonego poziomu oczekiwanego zysku. Oznacza to, że dla założonego poziomu oczekiwanego zysku nie można utworzyć portfela o mniejszym ryzyku, przy założeniu, że suma wag portfelowych wynosi 1, niż takie jakimi charakteryzują się portfele na omawianej krzywej.

Porftele inwestycyjne budujemy na mapie z osią ryzyka (oś pozioma) oraz oczekiwanego zysku (oś pionowa). Każdemu odchyleniu standardowemu o określonych udziałach portfela i współczynniku korelacji przypisujemy określoną oczekiwaną stopę zwrotu.



Na powyższym rysunku oznaczono literami (a), (b), (c), (d), (e) zbiory wszystkich możliwych portfeli utworzonych z walorów A i B, przy zachowaniu warunku, że suma wag portfelowych jest równa jedności. Każda literka odpowiada innej wartości współczynnika korelacji - odpowiednio: 1; 05; 0; -0,5; -1.

Portfele leżące na segmentach tych krzywych pomiędzy punktami A i B są skonstruowane bez wykorzystania krótkiej sprzedaży. Portfele leżące na ramionach krzywych na prawo od punktu B są skonstruowane z wykorzystaniem krótkiej sprzedaży waloru A, natomiast na prawo od punktu A skonstruowane są z wykorzystaniem krótkiej sprzedaży waloru B (w tym ostatnim przypadku wyjątkiem jest linia oznaczona (a), która przechodzi przez punkt A i podąża na ukos w kierunku osi pionowej).

Warto zwrócić uwagę na dwie półproste, przecinające się w punkcie N1, będące obrazem graficznym portfeli utworzonych z A i B, przy założeniu, że współczynnik korelacji pomiędzy stopami zwrotu tych walorów jest równy -1. W punkcie N1 leży portfel pozbawiony ryzyka.

Jednym z elementów każdej krzywej zamieszczonej na rysunku jest portfel o najmniejszej wariancji spośród wszystkich możliwych portfeli. (Jedynie wykres dla współczynnika korelacji równego 1 nie zmieścił się w całości).

Patrząc na przedstawione krzywe minimalnego ryzyka łatwo zauważyć istnienie lepszych i gorszych portfeli. Widać bowiem, ze znajdują się takie, gdzie dla dwóch różnych portfeli ryzyko jest identyczne, ale oczekiwany zysk dla jednego z nich jest większy. Należy jednak pamiętać, ze to "idzie" tylko w jedną stronę, albowiem przy danym poziomie oczekiwanego zysku dowolny portfel ma zawsze najmniejsze ryzyko. Natomiast problem efektywności portfeli zostanie przedyskutowany w następnym odcinku.