piątek, 23 grudnia 2016

Nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów dla modelu trendu

W wielu pakietach ekonometrycznych można użyć Nieliniowej Metody Najmniejszych Kwadratów (NMNK), aby uzyskać bezpośrednio poszukiwany parametr. NMNK ma podobnie jak MNK podstawy teoretyczne - o ile słuszność MNK wynika z twierdzenia Gaussa-Markowa, o tyle NMNK jest słuszna z powodu uogólnionych twierdzeń Gaussa-Markowa [1, 2, 3], a także dowiedzionej asymptotycznej zgodności jej estymatora [4].

NMNK nie jest jednolitą metodą. W Gretlu stosowany jest algorytm Levenberga–Marquardt. Algorytm ten jest kombinacją dwóch znanych metod numerycznych: metody gradientu prostego oraz algorytmu Gaussa-Newtona. W metodzie gradientu prostego suma kwadratów błędów jest korygowana w kierunku spadku nachylenia funkcji (gradientu), bo tam znajduje się minimum. W metodzie Gaussa-Newtona wykorzystuje się z kolei przybliżenie funkcji za pomocą wzoru Taylora; kwadraty różnic pomiędzy prawdziwą funkcją a funkcją Taylora powinny być jak najmniejsze [5].

Na chwilę zostawmy to. Wcześniej (tu oraz tu) pokazałem, jak poprawnie retransformować model trendu, aby uzyskać warunkową oczekiwaną stopę zwrotu. Mamy następujący model trendu:

(1)


Powinniśmy zdefiniować składnik losowy. Powiedzmy, że jest on stacjonarny, posiada wartość oczekiwaną = 0 oraz stałą wariancję. Jeżeli zmienna losowa P(T) ma rozkład log-normalny, to jej wartość oczekiwana wynosi:

(2)

Dzięki NMNK możemy oszacować parametry bezpośrednio z modelu (1), a więc bez potrzeby transformacji logarytmicznej. Przykładowo, biorąc te same dane dla mbanku co w wymienionych na początku artykułach (rocznie 1994-2015; 22 obserwacje), możemy stworzyć w Gretlu model (1). Po zaimportowaniu danych, trzeba kliknąć: Model -> Nieliniowa Metoda Najmniejszych Kwadratów. Pojawi się okno i tam wpisujemy:
.................
scalar a = 1
scalar b = 1
Zamkniecie = exp(a+b*time)
deriv a = exp(a+b*time)
deriv b = exp(a+b*time)*time
.................

gdzie:
Zamkniecie - to szereg czasowy, w naszym przypadku kurs mbanku (zmienna P(T));
time - zmienna czasowa (wygenerowana w opcji Dodawanie zmiennych -> time - zmienna czasowa.
a, b - współczynniki regresji, które trzeba od początku zadeklarować. Są to skalary w naszej funkcji, które przyjmą jakąś początkową wartość, np. 1. Standardowo deklarujemy więc scalar a = 1, scalar b = 1. Mogą być one dowolne, ale może się zdarzyć, że nie wystarczy iteracji, aby zbiegły do prawdziwej wartości wg algorytmu. Jeśli tak się stanie, zmieniamy metodą prób błędów.

deriv - pochodna funkcji po danym współczynniku. Np. pochodna d(Zamkniecie)/d(a) = exp(a+b*time), dlatego jest zapis:
deriv a = exp(a+b*time).
I tak samo dla b: pochodna d(Zamkniecie)/d(b) = exp(a+b*time)*time. Dlatego jest zapis:
deriv b = exp(a+b*time)*time.

Mimo że a i b są to skalary modelu, to są one w funkcji szacowane, czyli pierwotnie są zmiennymi.

Niezbyt przyjemne. Można się obyć bez pochodnej, ale w helpie Gretl rekomenduje jej obliczanie.

Przed kliknięciem OK, możemy zaznaczyć jeszcze opcję "Odporne błędy standardowe". Wtedy OK.



Jak widać na tablicy zbieżność nastąpiła po 27 iteracjach. Gdybyśmy wpisali scalar a = 10, scalar b = 10, zbieżność nastąpiłaby dopiero po 240 iteracjach.




Uzyskany parametr b = 0,0996, natomiast wolny parametr a możemy zignorować, bo interesują nas stopy zmian. W porównaniu do logarytmicznego modelu, gdzie uzyskaliśmy logarytmiczną stopę ponad 11%, może się wydać dziwne, że teraz jest niższa wartość. Przecież otrzymaliśmy od razu stopę, która powinna być właśnie wyższa od tej z modelu logarytmicznego MNK. Co jest tego przyczyną? Stało się tak, bo nasz model jest niepełny. Założyliśmy błędnie, że wygląda jak na poniższym rysunku:


W tym modelu składnik losowy jest stacjonarny, może więc to być zmienna losowa o rozkładzie normalnym. Ta zmienna po prostu jest argumentem funkcji wykładniczej. Ale w rzeczywistości powinna być funkcją czasu. Gdy za tę zmienną losową wstawimy proces Browna, czyli skumulowaną zmienną losową o rozkładzie normalnym, to otrzymamy geometryczny proces ruchu Browna. Wtedy nasz model wygląda mniej więcej tak:



Ogólnie geometryczny proces ruchu Browna ma postać (zob. np. [6]):

(3)

gdzie B(T) jest zwykłym procesem ruchu Browna. B(0) = 0.

Proces (3) w danym punkcie czasu może przyjąć różne wartości zgodnie z pewnym rozkładem prawdopodobieństwa. Przestaje być więc rozumiany jako proces, a staje się "ruchem" - zmienną stacjonarną. Ten ruch posiada zawsze rozkład log-normalny. Oznacza to, że możemy wyprowadzić analogicznie do (1) wartość oczekiwaną tej zmiennej.


Zauważamy, że składnik losowy w modelu (1) to jest to samo co (odchylenie standardowe razy proces ruchu Browna) w modelu (3), co oznacza, że musi się tak samo przekształcać jak w modelu (2), gdzie występuje wartość oczekiwana procesu. I stąd podstawiając do (3) powyższe wyprowadzenie wariancji, dostaniemy wartość oczekiwaną geometrycznego (procesu) ruchu Browna:

(4)

W tym miejscu rodzi się pytanie czy rzeczywiście znamy wartość początkową P(0). To zależy od tego czy zaczynamy od T = 1 czy T = 0. Musimy zdecydować czy pierwsza wartość już decyduje o funkcji zależnej od czasu czy dopiero kolejna. Jeśli założymy, że P(0) jest znane, to podstawimy pierwszą cenę zamknięcia mbanku z 1994 r., czyli 30, 68. W przeciwnym wypadku P(0) musi zostać oszacowane. Wybór sposobu ma istotne znaczenie dla uzyskanych wyników: dodanie wolnego wyrazu zmienia postać modelu. Ale jeżeli wybierzemy model z wyrazem wolnym, to estymacja NMNK przyniesie ten sam rezultat co dla modelu (2) - czyli powracamy do modelu (1), który przecież uznaliśmy za niepełny. Wstawienie P(0) nie rozwiąże tego problemu, ale możemy sprawdzić do czego doprowadzi.

Wstawiamy pierwszą cenę zamknięcia P(0) = 30,68. Możemy wtedy powtórzyć całą procedurę w Gretlu, używając modelu (4):

.................
scalar b = 1
Zamkniecie = 30.68*exp(b*time)
deriv b = 30.68*exp(b*time)*time
.................

Uzyskane parametry to:


Dostaniemy wykres trendu:



Zatem u = 12,5, czyli efektywna oczekiwana stopa exp(12,5) - 1 = 13,3%.

Mimo iż obliczyliśmy parametr u, to taki estymator jest niezgodny w tym sensie, że nie będzie dążył do prawdziwej wartości parametru u. Żeby była zgodność, składnik losowy musi być stacjonarny (zob. twierdzenia w [4]). Najprawdopodobniej potrzeba użyć uogólnionej nieliniowej metody najmniejszych kwadratów, która pozwoliłaby uwzględnić rosnącą wariancję i autokorelację składnika losowego.

Ostatecznie można ten problem rozwiązać. Łatwo zauważyć, że tylko w punkcie dla T = 1 geometryczny proces ruchu Browna będzie tożsamy z modelem (1), dla którego składnik losowy jest stacjonarny. W tym punkcie obydwie krzywe się przetną. Czyli w tym punkcie model (2) równa się modelowi (4):


Wyrazy wolne możemy do siebie dostosować, aby zachować identyczną interpretację punktu startu. Dlatego przyjmiemy lnP(0) = a. Stąd:

(5)

Ze względu na stacjonarność składnika losowego dla T = 1 estymator u równy b plus połowa wariancji może stać się w końcu zgodny. Wcześniej oszacowany współczynnik b był estymatorem zgodnym (zakładaliśmy początkowo stacjonarność składnika losowego), chociaż występował w modelu niepełnym. Połowa wariancji też jest estymatorem zgodnym. Suma estymatorów zgodnych daje estymator zgodny (wynika to z własności granicy ciągów). Stąd parametr u równy b plus połowa wariancji stanie się estymatorem zgodnym. Parametr b został wcześniej oszacowany, ale wariancję również znamy, bo jest to przecież ten sam składnik, który był obliczany dla MNK. Estymowaliśmy go wcześniej za pomocą błędu standardowego reszt (tu) i wyniósł 0,346. Możemy podstawić:

u = b + 0,5var
u = 0,0996 + 0,5*0,346^2 = 0,1596

Aby uzyskać oczekiwaną (efektywną) stopę zwrotu wstawimy exp(0,1596) - 1 = 17,3%. Dla porównania w Transformacja lognormalnego modelu z nieznanym parametrem wyszła wartość zbliżona, bo 18,7%.


Literatura:
[1] Louton, T., The Gauss-Markov Theorem for Nonlinear Models, Dec. 1982,
[2] Kariya, T., A Nonlinear Version of the Gauss-Markov Theorem, Jun. 1985,
[3] Kariya, T., A Maximal Extension of the Gauss–Markov Theorem and Its Nonlinear Version, 2002,
[4] Wu, C-F, Asymptotic Theory of Nonlinear Least Squares Estimation, May 1981,
[5] Marquardt, D. W., An Algorithm for Least-Squares Estimation of Nonlinear Parameters, Jun. 1963.
[6] https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_Brownian_motion

niedziela, 18 grudnia 2016

Wolność mediów jest zła

Janusz Korwin-Mikke napisał na swoim blogu kilka lat temu w 2011 roku [1]:
"Jestem libertarianinem nie tylko w dziedzinie gospodarczej. Idę znacznie dalej: uważam, że człowiek powinien mieć prawo DZIAŁAĆ jak chce – byle nie szkodził innym – bo tylko on może ocenić, co jest dla niego dobre. Natomiast wcale nie uważam, że człowiek powinien mieć prawo GADAĆ, co chce… W każdym razie nie w mass mediach. Bo tam najczęściej szkodzi! Dlaczego?"

Ogólnie zgadzam się z tym stwierdzeniem, ale mam 4 zastrzeżenia, o których powiem.

Po pierwsze Korwin Mikke błędnie oddziela sferę idei od sfery gospodarczej. Mikke wprawdzie argumentuje ten podział, stwierdzając, że "nie istnieją „banki idej”, skąd za opłatą pobierałoby się ideę i sprzedawało ją komuś… Wtedy istotnie lepsza wypierałaby gorszą.". W rzeczywistości informacja to też jest dobro, które się kupuje i sprzedaje. Np. S. Hawking w książce "Krótka historia czasu" napisał we wprowadzeniu, że na początku ostrzegano go, że z każdym kolejnym wzorem zamieszczonym w swojej książce liczba sprzedanych egzemplarzy spadnie o połowę. A skoro popularyzacja nauki musi polegać na uproszczeniach i mieć formę przystępną dla laika, to znaczy, że dzieje się coś wręcz przeciwnego niż mówi Mikke: "lepsze", tj. dokładne przekazanie idei jest wypierane przez to "gorsze". Użyłem cudzysłowu, bo w przypadku światowej sławy profesora napisanie książki popularno-naukowej zawsze będzie miało wysoką wartość i jakość. Ale dlaczego tak się dzieje? To proste: mało jest osób, które byłyby w stanie zrozumieć (nie mówiąc już o chęci) wywód naukowy, a więc i popyt byłby niski, co obniżałoby cenę. To jest po drugie.

A teraz zauważmy, że w codziennym życiu występuje analogia: prasa przekazuje ludziom wiadomości w taki sposób, aby JAK NAJWIĘCEJ ludzi je przeczytało, obejrzało lub wysłuchało. Aby tak się stało, informacje muszą mieć prosty i jasny przekaz, a tytuł musi być donośny lub kontrowersyjny. Dziennikarze, którzy piszą, np. o nowych odkryciach naukowych, zapewne często głowią się jak zebrany materiał tak uprościć, aby z jednej strony przekazać nić przewodnią, z drugiej aby nie wdawać się w szczegóły. Ale - jeśli czegoś nie wystarczająco dobrze zrozumieją - to łatwo popełnią błąd merytoryczny.

Dziennikarz, który jest przecież pośrednikiem pomiędzy przedsiębiorcą (wydawcą) a konsumentem informacji, nie musi mieć wykształcenia w danej dziedzinie nauki, jednakże musi mieć umiejętność odpowiedniego ubrania trudnych rzeczy w przystępne dla przeciętnego odbiorcy słowa.

Jeżeli dziennikarz wykonuje swoją profesję sumiennie i stara się być obiektywny, to popełniane błędy, jeśli zostaną skorygowane, zostaną wybaczone. Gorzej jeśli dziennikarz ma pewien określony pogląd, który jest przez naukowców podważany lub poddawany w wątpliwość. Oczywiście nie jest niczym złym, jeśli dziennikarz ma poglądy lewicowe lub prawicowe i przemyci do swojego artykułu swoje wątpliwości co do jakiejś reformy czy ustawy - pod warunkiem, że zachowuje obiektywizm w przedstawianiu faktów. Ale w którymś momencie jego poglądy, mogą wychodzić coraz bardziej na powierzchnię, aż w końcu całkowicie przyjąć tylko punkt widzenia jednej strony i dezawuować punkt widzenia drugiej strony, np. przedstawiać tylko argumenty jednych, a pomijać fakty na korzyść drugich.

W ten sposób zaczyna rodzić się propaganda. Takie media, czyli mediatorzy, czyli pośrednicy, są oszustami. Ludzie płacą za gazetę albo obejrzą reklamę, aby mieć dostęp do informacji. Od tego momentu zaczyna się problem. Bo ludzie mogą "kupować" informacje z dwóch pobudek:
A) mogą chcieć dowiedzieć się nowych rzeczy, z czystej ciekawości albo z jakiejś innej potrzeby (np. jakiejś porady). Liczą na to, że przeczytają prawdę.

B) mogą kupować informacje tylko po to, aby móc coś lub kogoś skrytykować. Krytyka ta może przyjąć różne formy: wewnętrznego lub zewnętrznego "hejtingu" albo trollowania na forach. Ta krytyka często przyjmuje formę tzw. "mowy nienawiści". W tym przypadku nie liczy się prawda, właściwie treść nie ma znaczenia, bo i tak jest wykorzystywana jako pretekst do zaatakowania danego podmiotu. A jeżeli autor artykułu czy przemówienia nie spełni ich oczekiwań, to atakują samego autora. Jeżeli natomiast autor przedstawi zamiast prawdziwego obrazu sytuacji jedynie jego własną interpretację, to taki autor będzie chwalony.

Zauważmy do czego to prowadzi. Ludzie z (B) czytają albo słuchają tylko takich portali, które zaspokajają żądze "dokopania" komuś oraz takich, których należy dla zasady skrytykować. A skoro jest na nie popyt, to będzie rodziła się podaż i w ten sposób wyłania podział na dwa antagonistyczne rodzaje mediów.

Gdyby istnieli tylko ludzie z (B), nie byłoby żadnego problemu. Ale kłopot polega na tym, że ludzie (A) są pokrzywdzoną stroną w tym konflikcie. A przecież zgodziłem się ze stwierdzeniem Korwina Mikke, że ludzie mogą robić co chcą, dopóki nie szkodzą innym. Wprawdzie nikt nie każe czytać (A) kłamliwych bądź przeinaczonych wypowiedzi, ale chodzi o to, że treść jest wystawiona na pokaz, która może dotrzeć do mniej świadomej osoby czy to w internecie przez przypadek, czy w innym medium, za które jeszcze zapłaciła.
Stąd płynie logiczny wniosek, że pełna wolność mediów jest zła. 

Dlatego jedną z roli państwa powinno być dbanie o jakość informacji przekazywanych przez media dokładnie na tej samej zasadzie jak kontrolowana jest żywność w sklepach. Oczywiście tylko przez naukowców. Kontrola powinna odbywać się w specjalnych warunkach, do których politycy ogólnie nie powinni mieć wstępu. Jeżeli byłyby to informacje ekonomiczne, to kontrolą powinni zajmować się tylko ekonomiści.

Nie byłby to świat, w którym każda napisana notatka na Twitterze byłaby analizowana przez sztab naukowców. Są tutaj dwie drogi.
1) wybieranie do badań statystycznych próbek
2) działanie podobne jak w wikipedii (połączenie weryfikowania źródeł przez niekoniecznie specjalistów w danej dziedzinie oraz przez sztuczną inteligencję, zob. np. tutaj)

Nie będę wdawał się w szczegóły co zrobić, kiedy już taka instytucja odkryje fałszywe informacje na jakiejś stronie. Jasne jest, że jeśli będą podawane przez oficjalny podmiot (np. dziennikarzy), to kary powinny być surowsze. Np. najpierw polecenie usunięcia, a potem jeśli podobne zdarzenie się powtórzy, jakieś kary finansowe. W przypadku użytkowników anonimowych również powinny być wysyłane ostrzeżenia, a po pewnym czasie - jeśli nie byłoby poprawy - sprawa powinna trafić do prokuratury itd.

Pytanie co zrobić w sytuacji, gdy ktoś napisze ostrą satyrę na temat rządu. Wiadomo, że to jest fikcja literacka, nawet jeśli zawiera wydarzenia i postaci prawdziwe. I tu pojawia się trzecie moje zastrzeżenie w cytacie Korwina Mikke. Stwierdził on, że publiczne słowa nie powinny szkodzić innym. Otóż ostra satyra, parodia czy groteska szkodzi rządowi. Ale jest społecznie pożyteczna. Dlatego zdanie to powinno zostać doprecyzowane i na przykład słowo "innym" zastąpić "społeczeństwu". Co natomiast w przypadku jakiegoś antyrządowego bloga? Ogólna zasada powinna być taka, że dopóki autor wyraża tylko swój pogląd, którego nie można zweryfikować, bo nie dotyczy sfery nauki, to może pisać bloga. Jeżeli jednak zaczyna mieszać politykę z ekonomią i np. głosi, że program 500+ przyniesie co roku 1 pkt proc. wzrostu PKB, to należy bezwzględnie kazać mu usunąć takie herezje.

Czwarte moje zastrzeżenie dotyczy już wniosków całego tekstu. Otóż Korwin Mikke wydaje się bronić ustawy medialnej Orbana na Węgrzech, którą z kolei krytykuje inny publicysta J. Woziński. Cytując Wozińskiego, zgodnie z tą  ustawą "35% muzyki granej w radiach ma stanowić muzyka węgierska, połowa programów telewizyjnych musi być produkcji europejskiej, a jedna trzecia z nich – węgierskiej" [2]. Nie trudno zrozumieć Mikkego, że woli, aby społeczeństwo było wychowywane w duchu kultury wyższej, zamiast chłamu amerykańskiego. Problem polega na tym, że w ten sposób zabiera się wybór konsumentom. Przecież gdyby nie chcieli słuchać i oglądać tego chłamu, toby nie oglądali, a wtedy media musiałyby zmienić repertuar. Ale oglądają, bo przecież "większość jest głupich niż mądrych", cytując JKM. Zatem gdyby media zostały zmuszone do puszczania codziennie filmów Felliniego czy Antonioniego zamiast "Rambo", to ludzie przestaliby oglądać telewizję i zysk prywatnych stacji spadły, a może nawet zamieniłby się w stratę. PKB spadłoby. Do takiego efektu doprowadziłby centralny plan wyższej kultury Mikkego. Przecież komunizm i socjalizm zbankrutował dlatego, że właśnie ograniczał wybór jednostki.

Zupełnie inny charakter mają media publiczne. To właśnie ich rolą powinno być krzewienie wyższej kultury, a także stawianie na jakość podawanej informacji, stanowiąc przeciwwagę dla mediów komercyjnych. Dlatego takie ustawy powinny być ustawami tylko mediów publicznych.

Na koniec, już tylko dla refleksji, ponieważ ostatnie dni - piątek, sobota 16-17.12.2016 - obfitowały w najbardziej emocjonujące wydarzenia w polskiej polityce od wielu lat (zakończone zamieszkami protesty pod sejmem spowodowane dążeniem przez PIS do ograniczenia swobody obserwowania sejmu przez dziennikarzy), przytoczę inny fragment cytowanego powyżej artykułu Wozińskiego z 5 stycznia 2011 r. [2]:
"Posunięć węgierskich konserwatywnych purytanów nie można niestety uznać za przypadek odosobniony. O podobnych zarządzeniach marzą w wielu innych krajach rozmaite typy Kaczyńskich i Orbánów, którym jednak nie poszczęściło się nigdy na tyle, aby wygrać wybory z wynikiem 53% głosów. Gdyby w Polsce malowana prawica spod znaku PiS uzyskała kiedykolwiek podobny wynik, mielibyśmy zapewne do czynienia (z zapowiadaną przecież wielokrotnie) falą idiotycznych ustaw w rodzaju Nowego Medialnego Ładu, nacjonalizacją przedsiębiorstw o „strategicznym znaczeniu dla narodu”, zakazami określonych manifestacji, likwidacją sex shopów itd., itp."


Źródło:
[1] Korwin-Mikke: Zasada ograniczania wolności mediów nie jest zła!, http://nczas.com/wiadomosci/polska/korwin-mikke-zasada-ograniczania-wolnosci-mediow-nie-jest-zla/
[2] Prawdziwe arcydzieło pobożnego i purytańskiego socjalizmu ma Węgrzech, http://nczas.com/wiadomosci/europa/absurdalne-purytansko-nacjonalistyczne-zmiany-w-wegierskiej-telewizji/

niedziela, 20 listopada 2016

Współczynnik Kaitza jako predyktor giełdy?

Zgodnie z hipotezą efektywnego rynku wszelkie informacje mające wpływ na wartość aktywa są uwzględnione przez cenę rynkową tego aktywa natychmiast po ich ujawnieniu się. Oznacza to, że jeśli np. teraz pojawia się informacja o stanie gospodarki, to za moment zostanie ona zdyskontowana przez giełdę. W ostatnich 3 artykułach wskazywałem na prace sugerujące negatywny wpływ płacy minimalnej (PM) na gospodarkę poprzez wzrost bezrobocia albo inflacji. Np. Dańska-Borsiak [1] doszła do wniosku, że wzrost współczynnika Kaitza (WK), czyli stosunku płacy minimalnej do przeciętnej, zwiększa stopę młodych bezrobotnych z rocznym opóźnieniem. Jeżeli rynek jest efektywny, to ceny akcji powinny spaść natychmiast po informacji, że nastąpi wzrost WK. Nie ma więc znaczenia data wprowadzenia nowej PM, a tym bardziej nie powinno być żadnego wpływu po roku, gdy wystąpią już spadki inwestycji czy PKB.

Przetestowałem więc tę hipotezę, porównując zmiany logarytmicznego WIG ze zmianami logarytmicznego WK z opóźnieniem 1 roku dla Polski w latach 1995-2015 (20 obserwacji minus 1 z powodu opóźnienia). Dane roczne WIG wzięte ze stooq.pl, natomiast zmiany WK obliczyłem, wykorzystując strony Mpips , GUS. Okazuje się, że autokorelacja Pearsona między log-stopami WIG oraz log-stopami WK (ale tylko opóźnionego o 1 rok) jest ujemna i wynosi -0,375 przy p value  = 0,1132. Trzeba tu jednak zwrócić uwagę, że korelacja rang Spearmana wynosi 0, co sugeruje, że może nie chodzić tu o sam znak (kierunek) skorelowania skorelowania, ale o siłę. Następnie w Excelu zrobiłem klasyczną regresję liniową:



Jak widać p-value identycznie na poziomie 0,1132 wskazuje na bliską istotność na poziomie 10%. Średnia elastyczność wychodzi na poziomie -2,31, co oznacza w tym przypadku, że wzrost WK o 1 pkt proc. wywoduje średnią log-stopę WIG na poziomie -2,31% w następnym roku. Trzeba dodać jednak, że dopasowany R^2 jest poniżej 10%, co wskazuje, że model nie posiada mocy predykcyjnej. Porównać można to z wykresem, na którym zmienna opóźniona log-stopa WK(-1) stanowi wartość aktualną (actual), a log-stopa WIG wartość dopasowaną (fitted):




Wykres actual nie uwzględnia roku 2015, bo prognozowany kolejny rok 2016 jeszcze się nie skończył. Stąd dziś możemy prognozować stopę na 2016 i 2017. Na końcu roku 2015 log-stopa WK wyniosła ok. +2,5% (ln[WK(2015)/WK(2014)] = 2,5%; WK(2015) = 1850/3899,78 = 0,474; WK(2014) = 1750/3783,46 = 0,4625) lub inaczej log-WK wzrósł o 2,5%. Możemy prognozować, że pod koniec 2016 r. log-WIG spadnie o 2,5%*2,31 = 5,78%. Gdyby przekształcić to do zwykłej stopy, dostalibyśmy exp(-0,0578)-1 = -5,61%. Przypomnę jednak, że takie przekształcenie dostarcza tylko informacji o medianie (zob. Czy mediana jest lepsza od średniej?), a nie wartości oczekiwanej. Aby uzyskać wartość oczekiwaną stopy możemy posłużyć się estymatorem Duana dla dowolnego rozkładu, ale najlepiej by nie był lognormalny (zob. Smarujący estymator). "Smarujący estymator" Duana ma następującą postać:

(1)
 
Jest to minimalnie bardziej ogólna postać niż ta, którą podałem w artykule Smarujący estymator , bo tam czas był zmienną objaśniającą, która się redukowała po zamianie na stopę; smarujący estymator jest szczegółowo opisany w [2]. Sumę exp(składnik losowy(t)) uzyskałem w Gretlu. Podstawiam dane do (1):



Zatem powinniśmy oczekiwać, że WIG z końca 2015 spadnie o niecałe 3% na koniec 2016. Z dzisiejszego punktu widzenia oznacza to poziom ok. 45070 i od obecnego punktu (18.11.2016) prognozuje to ok. 4% spadku:




Dodatkowo policzmy jeszcze potencjalną zmianę w 2017. Ostatni komunikat GUS głosi, że płaca przeciętna wyniosła w 3 kw. 4055 zł. Zakładając, że na koniec 2016 r. będzie to 4060 oraz wiedząc, że od początku 2017 r. PM = 2000 zł, możemy obliczyć WK(2016) = 2000/4060 = 0,49. WK(2015) = 0,474, stąd ln(0,49/0,474) = 0,0332. Mediana zwykłej stopy będzie w takim razie wynosiła ok. exp(-0,0332*2,31)-1 = -7,38%. Gdyby założyć, że suma składników losowych jest taka sama jak w 2015, to podstawiając do (1) prognozowalibyśmy następującą oczekiwaną stopę zwrotu WIG w 2017:


Czyli przy takich założeniach WIG spadłby o kolejne 4,6%. Jednak tak jak wspomniałem, moc predykcyjna jest zbyt słaba by traktować poważnie taki model. Może jednak wskazywać siłę kierunku zmian cen: jeśli w jednym okresie WK rośnie, to w następnym WIG może wolniej wzrosnąć (czy po prostu spaść).


Warto jeszcze spojrzeć na profesjonalne prace, np. Bella i Machina, którzy wykorzystują tzw. analizę zdarzeń do oszacowania efektywności brytyjskiego rynku na wiadomość o podniesieniu PM [3]. Anomalną (abnormal) skumulowaną stopę zwrotu z akcji spółek, które zatrudniają pracowników na PM, autorzy porównali z teoretyczną stopą CAPM przed i po komunikacie. Wyniki pokazują, że w obydwu przypadkach wartości rynkowe istotnie spadały. W ciągu 10 dni od ogłoszenia ceny tych firm były niższe o ok. 3%. Zbiorowe wyniki przedstawia poniższa tabela:



 NMW - National Minimum Wage jest to zmienna sztuczna (dummy), która przyjmuje wartości 1 (firma zatrudnia wielu za PM) lub 0 (firma nie zatrudnia wielu za PM).
 Najważniejsza wydaje się tu kolumna (1) i (2). Wiersz NMW - Kolumna (1) wskazuje, że anomalna 15-dniowa stopa zwrotu wyniosła -2,6% i jest istotna na poziomie 1% istotności. Kolumna (2) uwzględnia dodatkowe czynniki (literka Y), jak np. wielkość spółki lub to czy przed ogłoszeniem nowej PM stopy spadały. Wtedy efekt nawet rośnie: firmy, które zatrudniają za PM, o prawie 4% tracą nadmiernie na wartości. Sytuację ilustruje poniższy wykres:


 
Podsumowując, można powiedzieć, że wpływ zmiany płacy minimalnej na rynek akcji jest istotnie negatywny, co więcej można przypuszczać, że stanowi jedną z anomalii rynku akcji, pozwalając prognozować spadek stóp zwrotu.


Literatura:

[1] B. Dańska-Borsiak, Płaca Minimalna A Liczba Młodych Pracujących. Związki Przyczynowe I Prognozy Wariantowe, Uniwersytet Łódzki, 2014,
[2] N. Duan, Smearing Estimate: A Nonparametric Retransformation Method, Sep. 1983,
[3] B. Bell, S. Machin, Minimum Wages and Firm Value, Nov. 2015.

Źródło danych:
http://stooq.pl/
http://stat.gov.pl/
http://www.mpips.gov.pl/

piątek, 18 listopada 2016

Większa płaca minimalna prowadzi do bezrobocia albo inflacji

W poprzednich dwóch artykułach wskazywałem na empiryczne dowody, że płaca minimalna (PM) nie stanowi żadnego rozwiązania problemu biedy. Po pierwsze zostało w wielu opracowaniach wykazane, że bezpośredni wpływ PM na poziom biedy najmniej zarabiających jest statystycznie zerowy. Po drugie podałem pracę dotyczącą polskiego rynku pracy, w której dowodzi się, że z rocznym opóźnieniem występuje dodatnia korelacja między wzrostem PM a liczbą młodych bezrobotnych oraz że przy wysokim stosunku PM do średniej krajowej (powyżej 40%) wpływ wzrostu płacy minimalnej jest szkodliwy dla polskiej gospodarki. W swojej książce Balcerowicz "Trzeba się bić z PIS o Polskę" stwierdził stanowczo, że dla niego PM jest przestępstwem, bo ogranicza zatrudnianie młodocianych. Jakby to nie nazwać, PM wyrządza więcej szkód niż pożytku. Politycy chcieliby zmusić przedsiębiorców do tego, aby swoim własnym kosztem płacili więcej pracownikom. Jednak ten sposób byłby możliwy tylko w systemie totalitarnym. Społeczeństwa nie godzą się na taki system, ale - ponieważ jednocześnie nie godzą się na pełną gospodarkę rynkową - wybierają coś po środku, czyli tzw. "społeczną gospodarkę rynkową", z którą mamy do czynienia. W związku z tym efekt jest taki, że pracodawcy poszukują sposobów na ograniczenie lub przeniesienie dodatkowych kosztów. Ograniczenie kosztów na pewno nie jest łatwe w praktyce. Pracodawca nie będzie sam się ograniczał tylko dlatego, że jacyś socjalistyczno-populistyczni politycy dobrali się do władzy i mówią mu teraz, ile musi płacić pracownikowi. Dlatego ciężar zrzuci na ludzi: będzie zatrudniał mniej ludzi, ale za to będzie wyciskał z nich wszystkie soki. A że nie wszyscy dają radę, będzie zatrudniał tylko tych, którzy radę dają (czytaj: dają się wykorzystywać). Wyniki badań Neumarka i Waschera [1] potwierdzają hipotezę zastępowania słabo-produktywnych na wysoko-produktywnych pracowników w USA. Autorzy ci tworzą nawet model logit zawierający związki pomiędzy PM, bezrobociem oraz uczeniem się w szkołach. Wykrywają, że wzrost popytu na bardziej produktywnych nastolatków wywołuje taki efekt, że ci nastolatkowie opuszczają szkołę, aby iść do pracy. Następstwem tego jest to, że mniej produktywni nastolatkowie, którzy także opuścili szkołę, nie mają ani pracy, ani szkoły. Niektórzy mogliby powiedzieć, że to nawet dobrze, bo gospodarka powinna się zachowywać zgodnie z teorią Darwina. Równie dobrze można byłoby powiedzieć, że to nawet pozytywne, że jakiś kraj prowadzi wojnę z innym krajem, bo tylko najsilniejsze kraje powinny przetrwać. A jeśli ktoś uważa ten przykład za zbyt skrajny, to weźmy coś podobnego do podatku: to nawet dobrze, że z każdej strony ktoś ludzi okrada, bo tylko najsilniejsi powinni przetrwać. Łatwo zauważyć, że takie rozumowanie prowadzi do patologii. Kłopot polega na tym, że już bez ograniczeń PM przedsiębiorcy będą wybierać tych produktywnych, więc efekt PM tylko sztucznie zwiększa taką presję. Stąd firmy zaczynają wyciskać pracowników jak cytryny. Potem, oczywiście, ludzie (być może ogłupieni przez demagogię i populizm polityków), którzy sami są zwolennikami PM, narzekają na podłość czy chciwość kapitalistów. Po raz kolejny mamy więc do czynienia z krótkowzrocznością lub hipokryzją socjalistów.

Są jednak granice ludzkie i kosztów nie zawsze da się w ten sposób ograniczać, szczególnie gdy następuje, tak jak u nas, co rok podnoszenie PM. Pracodawcy są więc zmuszeni do przeniesienia kosztów na konsumentów, czyli zaczynają podnosić ceny produktów. Nie trzeba być mistrzem w teorii gier, by stwierdzić, że skoro przedsiębiorca wie, że inni przedsiębiorcy są w tej samej sytuacji co on, będą postępować w ten sam sposób, a więc nie staną się bardziej konkurencyjni dla konsumenta, co kształtuje ogólny konsensus, że trzeba podnosić ceny dóbr i usług. W ten sposób rodzi się inflacja. Jest wiele publikacji potwierdzających tę tezę. Aaronson przeprowadził badania na restauracjach w USA i Kanadzie dla okresu 1978-1995 i doszedł do wniosku, że wzrost płacy minimalnej rzeczywiście skutkuje wzrostem ceny za posiłek w restauracjach (w tym fast-foody). Parametry regresji jego modelu zamieściłem poniżej w tabelach.
Dla USA:




 Dla Kanady:


Najważniejsza jest kolumna oznaczona (3), która uwzględnia pełen okres 1978-1995, inflację krajową, bezrobocie, różnice międzyczasowe i regionalne pomiędzy miastami (wiadomo, że zanim zostaną wprowadzone nowe przepisy, musi minąć pewien czas). Autor sprawdził jak się zachowuje inflacja przed i po wdrożeniu nowej PM, dla różnych okresów. W przypadku USA najsilniejszy efekt występuje w oknie 2 miesiące przed i 2 miesiące po tym wydarzeniu, tj. dla okresu (t-2, t+2), gdzie t to miesiąc wprowadzenia nowej PM. Wtedy średnio biorąc wzrost płacy minimalnej o 1% prowadzi do wzrostu inflacji o 0,056%. W przypadku Kanady jest to odpowiednio okno (t-3, t+3) ze średnią elastycznością 0,08%. Gdyby PM urosła o 10%, ceny posiłków za domem wzrosłyby średnio o 0,8% (precyzyjnie byłoby to 0,803% bo model powstaje z logarytmu, więc delogarytmizacja oznacza exp(0,08) = 1,0803).

Pytanie jak wpływałby wzrost PM na całkowitą inflację, a nie tylko tych dóbr, których koszty silnie zależą od PM. Lemos [3] testowała efekt inflacyjny w obliczu wzrostu PM dla Brazylii z lat 1982-2000. Autorka doszła do wniosku, że wzrost PM o 10% powoduje 0,02% wzrostu cen w pierwszym miesiącu nowej stawki, a po dwóch miesiącach o 0,12%. Sumując efekt dostaniemy exp(ln(1,02*1,12)) = 0,1424% wzrostu inflacji w pierwszych 3 miesiącach nowej PM.

Struktura rynków pracy często różni się między krajami, np. w USA stawki PM różnią się w zależności od stanu, natomiast w większości krajów ustanowiona jest tylko jedna uniwersalna stawka. W droższych miastach wzrost PM będzie miał naturalnie słabszy wpływ na ceny. Drugą kwestią są efekty sezonowości (w cenach), które nie zawsze występują w tych samych miesiącach. Są to problemy, które powodują, że model liniowy może nie odzwierciedlać w sposób prawidłowy wpływu zmiany PM na ceny. Dotyczy to np. Francji, dlatego np. Fougere, Gautier i Le Bihan [4] tworzą model nieliniowy, który ma za zadanie poradzić sobie z tymi przeszkodami dla tego kraju z lat 1994-2003. Wnioski z tego modelu są zamieszczone w poniższej tabeli.


Najważniejsza wydaje się tu kolumna oznaczona (1), (2) i (5). W (1) są podane różne poziomy wzrostu PM. W (2) przedstawione są odpowiednie nieliniowe skumulowane po 57 miesiącach skutki (elastyczności) wzrostu PM na ceny dóbr odpowiednio tradycyjnych restauracji i fast-foodów. Kolumna (5) przedstawia długość okresu w miesiącach w jakim utrzymywało się 90% skumulowanego efektu. Średnio 1% wzrostu PM powodował 0,1% skumulowanego wzrostu inflacji po 57 miesiącach. Natomiast 5% wzrostu PM, powodował ok. 0,53% wzrostu cen po tym samym okresie.

Oczywiste jest, że wzrost PM nie prowadzi do identycznego wzrostu inflacji, chociażby z tego powodu, że PM dotyczy tylko pewnego procentu społeczeństwa, podczas gdy inflacja dotyczy wszystkich. Stąd jeżeli PM podnoszona jest o 5%, to nawet te 0,5% większej inflacji po paru latach nie może budzić jakiegoś niepokoju, co więcej po kilku latach psychologia wszystko rozmywa. Dlatego warto spojrzeć na sprawę zmian inflacji w kontekście przed i po wprowadzeniu PM.

Wadsworth [5] testuje nadwyżkową inflację w Wielkiej Brytanii, która wprowadziła PM w kwietniu 1999 r. Poniższa tabela zawiera niektóre parametry wyników, dla okresu od 1997 do 2003.



RPI to retail price index, odpowiednik CPI (consumer price index) lub PPI (producer price index). Wszystkie te idenksy są wskaźnikami stopy inflacji.
NMW to National Minimum Wage.

W wierszu 'Min. wage' i kolumnie 'All NMW goods' mamy wskazaną nadwyżkową roczną inflację w stosunku do ogólnego RPI. W całym okresie roczna inflacja dla dóbr, dla których wprowadzenie PM miało znaczenie (chodzi tu 10 pierwszych sektorów o najwyższym udziale kosztów w PM), była wyższa o 1,12 pkt proc. niż ogólne RPI. W wierszu 'Min. wage x April 1999+' i kolumnie 'All NMW goods' mamy wskazaną nadwyżkową roczną inflację po wprowadzeniu PM w danym okresie, czyli to samo co wcześniej, ale od kwietnia 1999 do końca 2003. W tym przypadku średnioroczna inflacja dla sektorów PM była wyższa o 0,71 pkt proc. w porównaniu do ogólnego RPI. Różnica 1,12 i 0,71 może świadczyć o tym, że przedsiębiorcy dostosowywali ceny do PM jeszcze zanim ta się pojawiła.
Na innej jeszcze tabeli autor porównał inflację z sektorów PM do inflacji z sektorów niezwiązanych z PM i dla okresu po wprowadzeniu PM uzyskał 0,85 pkt proc. rocznej nadwyżki inflacji w sektorach PM.

Podsumowując badania wpływu płacy minimalnej na ceny, powiemy, że już samo wprowadzenie PM zwiększa inflację o ok. 1 pkt proc. (czyli np. z 2% do 3%), natomiast wzrost PM o 10% implikuje wzrost inflacji w restauracjach o ok. 1%. W kontekście giełdy warto też przypomnieć, że empirycznie stwierdzono, że inflacja jest ujemnie skorelowana ze stopami zwrotu z akcji, zob. Czy inflacja jest dobra dla akcji?.

Podsumowując zaś cały artykuł, powiemy, że jego tytuł mógłby się nazywać "Płaca minimalna jako wyciskarka potu i portfeli".


Literatura:
[1] D. Neumark, W. Wascher, Minimum Wage Effects on Employment and School Enrollment, Apr. 1995;
[2] D. Aaronson, Price Pass-through and the Minimum Wage, Feb. 2001
[3] S. Lemos, Empirical Equations to Estimate the Effect of the Minimum Wage on Prices, Iniversity of Leicester, Aug 2004
[4] D. Fougère, E. Gautier, H. Le Bihan, Restaurant Prices and the Minimum Wage, Oct 2010
[5] J. Wadsworth, Did the National Minimum Wage Affect UK Prices?, Mar 2010.